Recipiente adiabatico..Domanda stupida?
Un recipiente adiabatico non scambia calore con l'esterno..Ma all'interno lo scambia?Ad esempio se comprimo con un pistone un gas in un recipiente adiabatico, il gas cederà calore al recipiente?
Risposte
Dipende dal livello a cui si vuole schematizzare.
In genere si trascura la massa del recipiente quindi la domanda è irrilevante: puoi pensare il gas e il recipiente sempre alla stessa temperatura, ma nessuno scambio di calore con l'ambiente esterno.
Se invece il recipiente avesse una massa e un suo calore specifico, potrebbe trovarsi a temperatura diversa dal gas, ma comunque se si dice che il recipiente è adiabatico rispetto all'esterno non ci sarebbe scambio di calore con l'esterno comunque, ma solo scambio tra gas e recipiente.
Dipende insomma...
In genere si trascura la massa del recipiente quindi la domanda è irrilevante: puoi pensare il gas e il recipiente sempre alla stessa temperatura, ma nessuno scambio di calore con l'ambiente esterno.
Se invece il recipiente avesse una massa e un suo calore specifico, potrebbe trovarsi a temperatura diversa dal gas, ma comunque se si dice che il recipiente è adiabatico rispetto all'esterno non ci sarebbe scambio di calore con l'esterno comunque, ma solo scambio tra gas e recipiente.
Dipende insomma...
Ok ma quindi tra gas e recipiente ci sta scambio di calore?
Prendendo l'esempio che ho fatto prima, se non so nulla sul contenitore a parte che è adiabatico, so che il gas viene compresso, posso considerarla una trasformazione adiabatica?
"claudio.s":
Prendendo l'esempio che ho fatto prima, se non so nulla sul contenitore a parte che è adiabatico, so che il gas viene compresso, posso considerarla una trasformazione adiabatica?
Bisogna leggere esattamente il testo, ma in linea di massima direi di sì.
Come ti ha detto Faussone, se il problema non cita espressamente la capacità del contenitore la trasformazione può essere considerata adiabatica perché il contenitore va considerato ideale cioè a capacità zero.
Se invece il contenitore avesse una sua capacità, pur essendo adiabatico verso l'esterno, allora il problema si complicherebbe.
Provo a mostrarti matematicamente le implicazioni di questo caso, nel caso semplificativo del gas ideale.
Partendo dalla legge dei gas, se la trasformazione è adiabatica e quasi statica, e il contenitore è ideale a capacità nulla, si ha la seguente relazione:
$$\eqalign{
& \delta Q = \delta L + dU \cr
& 0 = PdV + n{c_V}dT \cr} $$
Lo zero a primo membro dice che non c'è calore scambiato tra il gas e l'ambiente.
Se però c'è il contenitore che assorbe o cede calore, allora a primo membro dobbiamo mettere questo calore, che sta in relazione con la temperatura mediante la capacità termica del contenitore:
$$ - {C_c}dT = PdV + n{c_V}dT$$
Il segno meno sta a significare che il gas cede calore al contenitore a spese della sua energia interna, se la temperatura aumenta.
Procedendo con i calcoli si giunge a una equazione differenziale a variabili separate:
$$\eqalign{
& PV = nRT \cr
& PdV + VdP = nRdT \cr
& \frac{P}
{{nR}}dV + \frac{V}
{{nR}}dP = dT \cr
& - \frac{P}
{{n{c_V} + {C_c}}}dV = dT = \frac{P}
{{nR}}dV + \frac{V}
{{nR}}dP \cr
& - \left( {\frac{{nR}}
{{n{c_V} + {C_c}}} + 1} \right)\frac{{dV}}
{V} = \frac{{dP}}
{P} \cr} $$
Se il contenitore fosse ideale, cioè con capacità nulla, la relazione si semplifica nel seguente modo:
$$\eqalign{
& {C_c} = 0 \cr
& \frac{{nR}}
{{n{c_V}}} + 1 = \frac{R}
{{{c_V}}} + 1 = \frac{{R + {c_V}}}
{{{c_V}}} = \frac{{{c_P}}}
{{{c_V}}} = \gamma \cr} $$
si ha dunque la relazione differenziale:
$$\gamma \frac{{dV}}
{V} = - \frac{{dP}}
{P}$$
che integrata dà luogo alla classica funzione della adiabatica:
$$P{V^\gamma } = {\text{cost}}{\text{.}}$$
Se invece la capacità termica del contenitore è diversa da zero, allora si ha:
$$\eqalign{
& {C_c} \ne 0 \cr
& \frac{{nR}}
{{n{c_V} + {C_c}}} + 1 = \frac{{nR + n{c_V} + {C_c}}}
{{n{c_V} + {C_c}}} = \frac{{n{c_P} + {C_c}}}
{{n{c_V} + {C_c}}} = \frac{{\gamma + \frac{{{C_c}}}
{{n{c_V}}}}}
{{1 + \frac{{{C_c}}}
{{n{c_V}}}}} = {\gamma _{eq}} < \gamma \cr
& P{V^{{\gamma _{eq}}}} = {\text{cost}}{\text{.}} \cr} $$
Come si vede la presenza della capacità del contenitore dà luogo a una relazione analoga a quella della adiabatica ma con un gamma equivalente minore di quello ideale.
Se invece il contenitore avesse una sua capacità, pur essendo adiabatico verso l'esterno, allora il problema si complicherebbe.
Provo a mostrarti matematicamente le implicazioni di questo caso, nel caso semplificativo del gas ideale.
Partendo dalla legge dei gas, se la trasformazione è adiabatica e quasi statica, e il contenitore è ideale a capacità nulla, si ha la seguente relazione:
$$\eqalign{
& \delta Q = \delta L + dU \cr
& 0 = PdV + n{c_V}dT \cr} $$
Lo zero a primo membro dice che non c'è calore scambiato tra il gas e l'ambiente.
Se però c'è il contenitore che assorbe o cede calore, allora a primo membro dobbiamo mettere questo calore, che sta in relazione con la temperatura mediante la capacità termica del contenitore:
$$ - {C_c}dT = PdV + n{c_V}dT$$
Il segno meno sta a significare che il gas cede calore al contenitore a spese della sua energia interna, se la temperatura aumenta.
Procedendo con i calcoli si giunge a una equazione differenziale a variabili separate:
$$\eqalign{
& PV = nRT \cr
& PdV + VdP = nRdT \cr
& \frac{P}
{{nR}}dV + \frac{V}
{{nR}}dP = dT \cr
& - \frac{P}
{{n{c_V} + {C_c}}}dV = dT = \frac{P}
{{nR}}dV + \frac{V}
{{nR}}dP \cr
& - \left( {\frac{{nR}}
{{n{c_V} + {C_c}}} + 1} \right)\frac{{dV}}
{V} = \frac{{dP}}
{P} \cr} $$
Se il contenitore fosse ideale, cioè con capacità nulla, la relazione si semplifica nel seguente modo:
$$\eqalign{
& {C_c} = 0 \cr
& \frac{{nR}}
{{n{c_V}}} + 1 = \frac{R}
{{{c_V}}} + 1 = \frac{{R + {c_V}}}
{{{c_V}}} = \frac{{{c_P}}}
{{{c_V}}} = \gamma \cr} $$
si ha dunque la relazione differenziale:
$$\gamma \frac{{dV}}
{V} = - \frac{{dP}}
{P}$$
che integrata dà luogo alla classica funzione della adiabatica:
$$P{V^\gamma } = {\text{cost}}{\text{.}}$$
Se invece la capacità termica del contenitore è diversa da zero, allora si ha:
$$\eqalign{
& {C_c} \ne 0 \cr
& \frac{{nR}}
{{n{c_V} + {C_c}}} + 1 = \frac{{nR + n{c_V} + {C_c}}}
{{n{c_V} + {C_c}}} = \frac{{n{c_P} + {C_c}}}
{{n{c_V} + {C_c}}} = \frac{{\gamma + \frac{{{C_c}}}
{{n{c_V}}}}}
{{1 + \frac{{{C_c}}}
{{n{c_V}}}}} = {\gamma _{eq}} < \gamma \cr
& P{V^{{\gamma _{eq}}}} = {\text{cost}}{\text{.}} \cr} $$
Come si vede la presenza della capacità del contenitore dà luogo a una relazione analoga a quella della adiabatica ma con un gamma equivalente minore di quello ideale.
capito grazie!!
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