Reazione vincolare della saldatura
Nell'immagine in figura sono saldate all'asta due masse $m$ e $M$ nelle estremità. Il sistema viene lasciato libero ad un certo angolo iniziale, chiede di determinare le componenti della reazione vincolare che la saldatura applica alla massa $m$ saldata in $B$ in funzione di $theta$.
Ho calcolato l'accelerazione angolare dell'asta rispetto al punto C in funzione di theta, fatto ciò, dovrei considerare adesso le forze agenti sulla massa m in B, divido quindi le componenti della reazione della saldatura in una normale all'asta $N_theta$e in una radiale $N_r$, applicando quindi la seconda legge della dinamica alla massa in B dovrei avere, detta $l$ la distanza di $B$ dal centro di rotazione C:
$N_theta-mgsintheta=mlddot(theta)$
$N_r+mgcostheta=momega^2l$
Dato che ho determinato $ddot(theta)$ in funzione di $theta$, la prima equazione è facilmente risolta, la seconda però mi mette in difficoltà perché non so come determinare $omega$ in funzione di $theta$.
Un'idea ce l'avrei, cioè, dato che so l'angolo iniziale in cui si trova il sistema, potrei calcolare l'energia meccanica iniziale del sistema, e quindi imponendo la conservazione dell'energia meccanica potrei trovare $omega^2$ in funzione di $theta$
E' giusto il procedimento?, esiste qualche altra via più breve? Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi.
Ho calcolato l'accelerazione angolare dell'asta rispetto al punto C in funzione di theta, fatto ciò, dovrei considerare adesso le forze agenti sulla massa m in B, divido quindi le componenti della reazione della saldatura in una normale all'asta $N_theta$e in una radiale $N_r$, applicando quindi la seconda legge della dinamica alla massa in B dovrei avere, detta $l$ la distanza di $B$ dal centro di rotazione C:
$N_theta-mgsintheta=mlddot(theta)$
$N_r+mgcostheta=momega^2l$
Dato che ho determinato $ddot(theta)$ in funzione di $theta$, la prima equazione è facilmente risolta, la seconda però mi mette in difficoltà perché non so come determinare $omega$ in funzione di $theta$.
Un'idea ce l'avrei, cioè, dato che so l'angolo iniziale in cui si trova il sistema, potrei calcolare l'energia meccanica iniziale del sistema, e quindi imponendo la conservazione dell'energia meccanica potrei trovare $omega^2$ in funzione di $theta$
E' giusto il procedimento?, esiste qualche altra via più breve? Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi.
Risposte
Se conosci l'accelerazione angolare in funzione dell'angolo, la velocità angolare la puoi trovare integrando.
I passaggi matematici sono i seguenti:
$$\eqalign{
& \ddot \theta = f\left( \theta \right) \cr
& \ddot \theta = \frac{{d\dot \theta }}
{{dt}} = \frac{{d\dot \theta }}
{{d\theta }}\frac{{d\theta }}
{{dt}} = \frac{{d\dot \theta }}
{{d\theta }}\dot \theta = f\left( \theta \right) \cr
& \int\limits_0^{\dot \theta } {\dot \theta d\dot \theta } = \int\limits_{{\theta _0}}^\theta {f\left( \theta \right)d\theta } \cr
& \frac{1}
{2}{{\dot \theta }^2} = \int\limits_{{\theta _0}}^\theta {f\left( \theta \right)d\theta } \cr
& \dot \theta = \sqrt {2\int\limits_{{\theta _0}}^\theta {f\left( \theta \right)d\theta } } \cr} $$
(il che equivale in sostanza a fare un'operazione simile a quella che si farebbe implicitamente passando per i concetti energetici che suggerivi)
I passaggi matematici sono i seguenti:
$$\eqalign{
& \ddot \theta = f\left( \theta \right) \cr
& \ddot \theta = \frac{{d\dot \theta }}
{{dt}} = \frac{{d\dot \theta }}
{{d\theta }}\frac{{d\theta }}
{{dt}} = \frac{{d\dot \theta }}
{{d\theta }}\dot \theta = f\left( \theta \right) \cr
& \int\limits_0^{\dot \theta } {\dot \theta d\dot \theta } = \int\limits_{{\theta _0}}^\theta {f\left( \theta \right)d\theta } \cr
& \frac{1}
{2}{{\dot \theta }^2} = \int\limits_{{\theta _0}}^\theta {f\left( \theta \right)d\theta } \cr
& \dot \theta = \sqrt {2\int\limits_{{\theta _0}}^\theta {f\left( \theta \right)d\theta } } \cr} $$
(il che equivale in sostanza a fare un'operazione simile a quella che si farebbe implicitamente passando per i concetti energetici che suggerivi)
Oh, già, giustissimo, grazie!
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