Reazione vincolare
Buongiorno a tutti. Sicuramente qualcuno mi saprà illuminare. Allora. Ecco il problema. Immaginiamo di avere un punto materiale con una certa massa $m$ che si muove di moto circolare uniforme NON all'INTERNO di una guida circolare ma all'ESTERNO di essa. Quando il punto si trova nella posizione più bassa , la reazione vincolare della guida sarà diretta nella stessa direzione della forza peso del corpo e la somma dei moduli di entrambe dovrà essere uguale al modulo della forza centripeta affinché il corpo rimanga attaccato. Ovvero chiamando $R$ , la reazione normale della guida , $P$ la forza peso e $F$ la forza centripeta sarà : $ -R -P = F$ . È corretto ragionare in questo modo? Grazie 
Risposte
E chi è che dà la forza centripeta alla massa, in grado di far cambiare la direzione della velocità, cioè chi imprime l'accelerazione centripeta? Pensaci, e poi rispondi tu stesso.
Scusa il ritardo, stavo facendo degli esercizi. La guida consente di avere un accelerazione centripeta. Altrimenti se non ci fosse la guida il punto non si muoverebbe secondo un moto circolare. Correggimi se sbaglio. Ho pensato così: dato che il corpo segue la guida (ad esempio una rotaia) è tirato dalla guida,cioè è costretto a seguirla e quindi la forza esercitata dalla guida, che è poi $R$ , è diretta come $F$, verso il centro.
E può mai stare fuori della guida il corpo? Stai parlando di una guida posta in un piano verticale , perché metti di mezzo la forza peso. Ma lo stesso ragionamento potrei fartelo se la guida fosse orizzontale, messa su un piano liscio.
Nel caso della guida messa nel piano verticale, se essa (supponiamo una rotaia) è un vincolo unilatero, cioè agisce da una sola parte, in questo caso dal centro verso l'esterno, e il corpo è messo fuori, e metti inizialmente il corpo sulla cima della rotaia, dopo un po' che lo hai lasciato cadere senza spinta iniziale il corpo abbandona la guida. Abbiamo fatto il calcolo qui alcune volte. Se poi gli dai una spinta iniziale, abbandona la guida anche prima!
Per poter esercitare la forza centripeta, deve trattarsi allora di un vincolo bilatero, cioè che agisce in entrambi i sensi. Ovvero, il corpo deve necessariamente stare dentro, non fuori.
Nel caso della guida messa nel piano verticale, se essa (supponiamo una rotaia) è un vincolo unilatero, cioè agisce da una sola parte, in questo caso dal centro verso l'esterno, e il corpo è messo fuori, e metti inizialmente il corpo sulla cima della rotaia, dopo un po' che lo hai lasciato cadere senza spinta iniziale il corpo abbandona la guida. Abbiamo fatto il calcolo qui alcune volte. Se poi gli dai una spinta iniziale, abbandona la guida anche prima!
Per poter esercitare la forza centripeta, deve trattarsi allora di un vincolo bilatero, cioè che agisce in entrambi i sensi. Ovvero, il corpo deve necessariamente stare dentro, non fuori.
Ho capito quello che intendi... Adesso mando il problema che mi ha fatto venire questi dubbi.
La reazione della guida nel punto chiesto dal problema è diretta verso il centro. Ma la reazione della guida è diversa dalla reazione normale alla superficie giusto?
La reazione della guida nel punto chiesto dal problema è diretta verso il centro. Ma la reazione della guida è diversa dalla reazione normale alla superficie giusto?
Si certo sono due reazioni diverse
Ma leggi bene il testo : "il blocco comincia a scendere lungo la guida, cui è vincolato"
Questo deve farti capire che si tratta di un vincolo bilatero: trattiene il corpo , non lo fa cadere ! .
Che cosa hai chiesto ora, non l'ho mica capito. LA reazione della guida nella prima metà ha anche una componente tangenziale per via dell'attrito, oltre naturalmente alla componente normale. Nella seconda metà la reazione della guida è solo normale, perché essa è liscia.
Questo deve farti capire che si tratta di un vincolo bilatero: trattiene il corpo , non lo fa cadere ! .
Che cosa hai chiesto ora, non l'ho mica capito. LA reazione della guida nella prima metà ha anche una componente tangenziale per via dell'attrito, oltre naturalmente alla componente normale. Nella seconda metà la reazione della guida è solo normale, perché essa è liscia.
Quindi se mi voglio calcolare la reazione della guida chiesta dal problema devo considerarla diretta verso il centro! Perché come hai detto tu, lo trattiene e non lo fa cadere. Io mi sono a sbagliato a considerare la reazione della guida come reazione normale, se sbaglio correggimi, e quindi a considerarla diretta verso l'esterno.
Calma Pippo. Ragioniamo.
Abbiamo detto che la reazione della guida, nella prima metà del percorso, ha una componente normale e una tangenziale, visto che c'è attrito tra corpo e guida. Sai stabilire il verso di queste componenti? Tieni presente che la componente normale è quella che dà l'accelerazione centripeta.
Nella seconda parte del percorso, la guida diventa liscia. Vuol dire che la reazione della guida sul corpo è solo normale, ed è sempre questa la forza che causa l'accelerazione centripeta, cioè "reazione normale della guida = forza centripeta" .
Ora come imposteresti la soluzione del problema?
Abbiamo detto che la reazione della guida, nella prima metà del percorso, ha una componente normale e una tangenziale, visto che c'è attrito tra corpo e guida. Sai stabilire il verso di queste componenti? Tieni presente che la componente normale è quella che dà l'accelerazione centripeta.
Nella seconda parte del percorso, la guida diventa liscia. Vuol dire che la reazione della guida sul corpo è solo normale, ed è sempre questa la forza che causa l'accelerazione centripeta, cioè "reazione normale della guida = forza centripeta" .
Ora come imposteresti la soluzione del problema?
Ma scusa quando ho un corpo appoggiato su di un tavolo ad esempio la reazione normale è diretta verso l'alto e bilancia la forza peso del corpo affinché risulti appoggiato sul tavolo.
Qui se ragiono allo stesso modo ottengo che la reazione normale ha lo stesso verso della forza peso. Imposterei questa equazione qui :
$-R -mgcos\alpha = F$
Ma come hai detto tu la reazione normale determina la forza centripeta, quindi dovrei considerare la reazione normale positiva e quindi mi viene che $R = mgcos\a + F$ .
È giusto considerare sempre la reazione normale che determina la forza centripeta?
Grazie mille per la tua pazienza.
Qui se ragiono allo stesso modo ottengo che la reazione normale ha lo stesso verso della forza peso. Imposterei questa equazione qui :
$-R -mgcos\alpha = F$
Ma come hai detto tu la reazione normale determina la forza centripeta, quindi dovrei considerare la reazione normale positiva e quindi mi viene che $R = mgcos\a + F$ .
È giusto considerare sempre la reazione normale che determina la forza centripeta?
Grazie mille per la tua pazienza.
Scusa, non vorrei averti tratto in inganno dicendo che "reazione normale = forza centripeta" . Ho detto una cosa inesatta. Diciamo più chiaramente : la seconda equazione della dinamica in forma vettoriale si scrive in questo caso :
$ vecR + mvec(g)= mveca$
e questa equazione va proiettata su degli assi opportuni.
infatti, come giustamente hai osservato tu, se il corpo fosse fermo nel punto più basso della guida, avrei che comunque esiste una reazione normale della guida, diretta verso l'alto, che equilibra il peso in condizioni statiche :
$ vecR + mvec(g) = 0 $
per cui ho, in poche parole, che la reazione equilibra il peso.
Ma torniamo al tuo caso. Io direi che per prima cosa ti devi determinare questa benedetta accelerazione centripeta, nel punto che ti dice l'esercizio. Altrimenti non puoi arrivare al calcolo della reazione della guida in quel punto.
Io dividerei il problema in due parti. Nella prima parte , il corpo parte dalla cima con una certa velocità, e descrive $1/4$ di circonferenza dove c'è attrito; in questo tratto, applica un po' questo fatto :
"lavoro delle forze agenti = variazione dell'energia cinetica"
e così puoi trovare la velocità alla fine del primo tratto….Quali sono le forze agenti? Che lavoro fanno?
Oppure, in maniera del tutto equivalente, puoi scrivere una equazione di bilancio energetico, tenendo conto che c'è una dissipazione di energia a causa dell'attrito.
Poi viene il secondo tratto dove la guida è liscia. In questo tratto, il corpo parte dalla posizione precedente con una certa energia cinetica.
Dai, forza. Non è difficile.
$ vecR + mvec(g)= mveca$
e questa equazione va proiettata su degli assi opportuni.
infatti, come giustamente hai osservato tu, se il corpo fosse fermo nel punto più basso della guida, avrei che comunque esiste una reazione normale della guida, diretta verso l'alto, che equilibra il peso in condizioni statiche :
$ vecR + mvec(g) = 0 $
per cui ho, in poche parole, che la reazione equilibra il peso.
Ma torniamo al tuo caso. Io direi che per prima cosa ti devi determinare questa benedetta accelerazione centripeta, nel punto che ti dice l'esercizio. Altrimenti non puoi arrivare al calcolo della reazione della guida in quel punto.
Io dividerei il problema in due parti. Nella prima parte , il corpo parte dalla cima con una certa velocità, e descrive $1/4$ di circonferenza dove c'è attrito; in questo tratto, applica un po' questo fatto :
"lavoro delle forze agenti = variazione dell'energia cinetica"
e così puoi trovare la velocità alla fine del primo tratto….Quali sono le forze agenti? Che lavoro fanno?
Oppure, in maniera del tutto equivalente, puoi scrivere una equazione di bilancio energetico, tenendo conto che c'è una dissipazione di energia a causa dell'attrito.
Poi viene il secondo tratto dove la guida è liscia. In questo tratto, il corpo parte dalla posizione precedente con una certa energia cinetica.
Dai, forza. Non è difficile.
Mi dispiace ma credo di non aver capito allora ... 
... 
La soluzione è :
Io non ho capito come devo considerare la reazione normale, se con il verso negativo come la forza peso, o positivo come la forza centripeta... Grazie per la pazienza.
... La soluzione è :
Io non ho capito come devo considerare la reazione normale, se con il verso negativo come la forza peso, o positivo come la forza centripeta... Grazie per la pazienza.
Forse ci sono.. Ho ragionato seguendo lo stesso filo logico del giro della morte.
Allora nel punto chiesto dal problema, il corpo è appoggiato alla guida, la guida è sopra ma comunque ha verso opposto a $mgcos\alpha$ , perché diretta come la forza centripeta , e tira il corpo verso il centro. Quindi ho che $R = - mgcos\alpha$ . A questo punto uso la seconda legge della dinamica per scrivere la risultante e uguaglio alla forza centripeta.
$R + (-mgcos\alpha) = F$ .
Se così non fosse allora non so proprio dove il mio ragionamento fa cilecca..
Allora nel punto chiesto dal problema, il corpo è appoggiato alla guida, la guida è sopra ma comunque ha verso opposto a $mgcos\alpha$ , perché diretta come la forza centripeta , e tira il corpo verso il centro. Quindi ho che $R = - mgcos\alpha$ . A questo punto uso la seconda legge della dinamica per scrivere la risultante e uguaglio alla forza centripeta.
$R + (-mgcos\alpha) = F$ .
Se così non fosse allora non so proprio dove il mio ragionamento fa cilecca..
Ti spiego tutto il ragionamento, perché il risultato finale non serve a niente se non capisci come ci si arriva.
1) Primo tratto, con forza di attrito $F_a$ per 1/4 di circonferenza .
Chiama $O$ il punto da cui parte il corpo, in cima alla guida, con velocità data $v_0$. Chiama $P$ il punto dove finisce l'attrito, quindi alla stessa altezza del centro della guida. Il bilancio energetico tra O e P ( spero sia chiaro!) ci dice che :
$1/2mv_0^2 + mgR = 1/2mv_P^2 + F_a* (2\piR)/4 $ -------(1)
2) 2° tratto , da $P$ al punto $Q$ più basso del percorso, che si trova sul raggio inclinato di $30°$ con la verticale (v. figura) .
Questo tratto è liscio. Per cui, il bilancio energetico tra il punto P di inizio e il punto Q finale, in cui la velocità incognita vale $v$, ci dice che :
$1/2mv_P^2 + mgRcos\theta = 1/2mv^2$ -------(2)
da cui : $1/2mv_P^2 = - mgRcos\theta + 1/2mv^2$ -------(3)
ora sostituisci la (3) nella (1) per liberarti de termine con $v_P$, che non occorre, e isola il termine con la velocità incognita finale che ci interessa calcolare :
$1/2mv^2 = 1/2mv_0^2 + mgR(1 + cos \theta) - F_a\piR/2 $ -------(4)
questa è perfettamente identica alla soluzione del tuo libro. Da essa si ricava : $ v = 6.54 m/s$
Questa velocità determina la forza centripeta, diretta verso il centro : $mv^2/R$ .
Tale forza centripeta, è la differenza tra la reazione normale della guida sul corpo, diretta anch'essa verso il centro della guida in questo punto, e la componente del peso diretta verso l'esterno, pari in valore a $mgcos30°$ . Infatti la soluzione riporta :
$mv^2/R = R_N - mgcos30°$
da cui si ricava $R_N = 3.28 N $
Spero sia chiaro.
1) Primo tratto, con forza di attrito $F_a$ per 1/4 di circonferenza .
Chiama $O$ il punto da cui parte il corpo, in cima alla guida, con velocità data $v_0$. Chiama $P$ il punto dove finisce l'attrito, quindi alla stessa altezza del centro della guida. Il bilancio energetico tra O e P ( spero sia chiaro!) ci dice che :
$1/2mv_0^2 + mgR = 1/2mv_P^2 + F_a* (2\piR)/4 $ -------(1)
2) 2° tratto , da $P$ al punto $Q$ più basso del percorso, che si trova sul raggio inclinato di $30°$ con la verticale (v. figura) .
Questo tratto è liscio. Per cui, il bilancio energetico tra il punto P di inizio e il punto Q finale, in cui la velocità incognita vale $v$, ci dice che :
$1/2mv_P^2 + mgRcos\theta = 1/2mv^2$ -------(2)
da cui : $1/2mv_P^2 = - mgRcos\theta + 1/2mv^2$ -------(3)
ora sostituisci la (3) nella (1) per liberarti de termine con $v_P$, che non occorre, e isola il termine con la velocità incognita finale che ci interessa calcolare :
$1/2mv^2 = 1/2mv_0^2 + mgR(1 + cos \theta) - F_a\piR/2 $ -------(4)
questa è perfettamente identica alla soluzione del tuo libro. Da essa si ricava : $ v = 6.54 m/s$
Questa velocità determina la forza centripeta, diretta verso il centro : $mv^2/R$ .
Tale forza centripeta, è la differenza tra la reazione normale della guida sul corpo, diretta anch'essa verso il centro della guida in questo punto, e la componente del peso diretta verso l'esterno, pari in valore a $mgcos30°$ . Infatti la soluzione riporta :
$mv^2/R = R_N - mgcos30°$
da cui si ricava $R_N = 3.28 N $
Spero sia chiaro.
La guida si oppone sempre alla componente del peso ortogonale alla guida stessa, però nel primo quarto di giro (partendo dalla sommità) la componente del peso ortogonale alla guida è centripeta mentre nella seconda parte tale componente è centrifuga. Essendo il corpo vincolato la reazione della guida si opporrà a questa: nella parte sopra "spingerà fuori" il corpo mentre nella parte sotto lo "tratterrà".
L'esercizio lo puoi risolvere in vari modi, come già detto da navigatore per esempio; io userei quello energetico.
All'inizio il corpo ha una certa energia cinetica e una certa energia potenziale gravitazionale, entrambe note. Ad un quarto di giro l'energia meccanica sarà diminuita del lavoro compiuto dall'attrito, che essendo sempre tangenziale non è difficile da calcolare. Da qui in poi l'energia meccanica si conserva e quindi è possibile calcolare la velocità del corpo nel punto di interesse, dalla quale ottenere la forza centripeta.
A questo punto la reazione vincolare sarà data dalla somma della forza centripeta e dalla componente del peso ortogonale alla guida.
Mi pare che funzioni ...
Cordialmente, Alex
EDIT: Ciao navigatore! Ho visto il tuo post solo dopo ... il mio lo lascio lo stesso (se è giusto però
)
L'esercizio lo puoi risolvere in vari modi, come già detto da navigatore per esempio; io userei quello energetico.
All'inizio il corpo ha una certa energia cinetica e una certa energia potenziale gravitazionale, entrambe note. Ad un quarto di giro l'energia meccanica sarà diminuita del lavoro compiuto dall'attrito, che essendo sempre tangenziale non è difficile da calcolare. Da qui in poi l'energia meccanica si conserva e quindi è possibile calcolare la velocità del corpo nel punto di interesse, dalla quale ottenere la forza centripeta.
A questo punto la reazione vincolare sarà data dalla somma della forza centripeta e dalla componente del peso ortogonale alla guida.
Mi pare che funzioni ...
Cordialmente, Alex
EDIT: Ciao navigatore! Ho visto il tuo post solo dopo ... il mio lo lascio lo stesso (se è giusto però
)
Tutto ok Alex, ho adottato proprio il metodo energetico per risolverlo.
Pippo, se vuoi chiarirti le idee ancor di più, pensa a una massa legata con un filo, che fai roteare nel piano verticale. È un caso diverso dal tuo, ma interessante. E pensa ai tre vettori : tensione $vecT$ nel filo, applicata dalla mano ; peso $vecP$ ; forza centripeta $mveca_c$ . come sono diretti questi vettori durante tutto il moto?
Pensa in particolare a 4 posizioni : in alto, in basso, a destra, a sinistra.
Pippo, se vuoi chiarirti le idee ancor di più, pensa a una massa legata con un filo, che fai roteare nel piano verticale. È un caso diverso dal tuo, ma interessante. E pensa ai tre vettori : tensione $vecT$ nel filo, applicata dalla mano ; peso $vecP$ ; forza centripeta $mveca_c$ . come sono diretti questi vettori durante tutto il moto?
Pensa in particolare a 4 posizioni : in alto, in basso, a destra, a sinistra.
Vi ringrazio tantissimo ma a navigatore vorrei dire una cosa. Io ho capito come ci si arriva a quel punto. Tutta la spiegazione del primo tratto l'ho capita bene e l'ho fatta, il valore della velocità l'ho trovato. Pero non ho ragionato con il bilancio energetico dividendolo in due punti.. mi sono chiesto da cosa dipendesse la velocità nel punto Q . Io mi chiedevo solo come considerare la Reazione della guida perché non capivo se diretta verso l'esterno o verso l'interno. Alla fine ho ragionato nello stesso modo di axpgn , quando è sopra lo"spinge fuori" quando sotto lo "trattiene" e quindi nel punto chiesto dal problema avrà verso opposto alla forza peso ma uguale alla forza centripeta.Ora comunque ho capito e vi ringrazio entrambi tantissimo, siete sempre molto pazienti e chiari. Meno male che ci siete. grazie navigatore per la tua disponibilità . Non vorrei esseri sembrato proprio un "pippo"
grazie navigatore per la tua disponibilità . Non vorrei esseri sembrato proprio un "pippo"
Bene. Comunque quando si affrontano questi problemi è sempre opportuno partire dalla 2° eq. della dinamica, o da quelle equazioni che servono. Altrimenti, che le hanno inventate a fare queste equazioni?
Nell'esempio che ti fatto sopra, deve essere : $vecT + vecP = mveca $ , ovvio. Il filo è sempre teso, fin quando la massa si tiene a distanza $R$ dal centro, ovvio. Un esercizio che spesso capita è questo: determinare che velocità deve avere la massa nel punto più alto del cerchio, perché in quel punto la tensione sia nulla, ma la massa non cada.
Ma dovrebbe essere altrettanto ovvio che nell'equazione scritta sopra la $veca$ è l'accelerazione totale della massa, nel riferimento inerziale, ed ha una componente centripeta e una componente tangenziale. Non c'è solo la centripeta! Pensa a quando il filo passa per la posizione orizzontale.
Ciao, e non preoccuparti per le pippe.
Nell'esempio che ti fatto sopra, deve essere : $vecT + vecP = mveca $ , ovvio. Il filo è sempre teso, fin quando la massa si tiene a distanza $R$ dal centro, ovvio. Un esercizio che spesso capita è questo: determinare che velocità deve avere la massa nel punto più alto del cerchio, perché in quel punto la tensione sia nulla, ma la massa non cada.
Ma dovrebbe essere altrettanto ovvio che nell'equazione scritta sopra la $veca$ è l'accelerazione totale della massa, nel riferimento inerziale, ed ha una componente centripeta e una componente tangenziale. Non c'è solo la centripeta! Pensa a quando il filo passa per la posizione orizzontale.
Ciao, e non preoccuparti per le pippe.
Perfetto. Grazie mille ancora
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