Rappresentazioni irriducibili su(2)
Salve, avrei qualche domanda sulle rappresentazioni irriducibili. Non ho ben chiaro come capire che una rappresentazione è irriducibile. So che bisogna fare distinzione fra rappresentazioni del gruppo e dell'algebra associata. Vorrei sapere se esiste un criterio per vedere ad occhio se una rappresentazione è irriducibile, sia essa del gruppo o dell'algebra. So dalla definizione che una rappresentazione irriducibile di un gruppo non possiede sottospazi invarianti non banali. La stessa cosa dovrebbe valere per quella dell'algebra.
Ora io so che gli autovettori di una matrice formano autospazi che sono sottospazi invarianti, e ad esempio le matrici di Pauli ammettono autovettori. Eppure da quello che so dovrebbero essere una rappresentazione irriducibile di su(2). Ma credo di star facendo confusione, perché una rappresentazione non è una semplice matrice e penso che non possa essere trattata come tale. Essa è un omomorfismo che associa tutti gli elementi di gruppo al gruppo delle matrici invertibili. Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a fare chiarezza e fornirmi un metodo per comprendere se una rappresentazione è irriducibile? Purtroppo il corso che ho seguito è stato un po' superficiale su questi aspetti. Mille grazie.
Ora io so che gli autovettori di una matrice formano autospazi che sono sottospazi invarianti, e ad esempio le matrici di Pauli ammettono autovettori. Eppure da quello che so dovrebbero essere una rappresentazione irriducibile di su(2). Ma credo di star facendo confusione, perché una rappresentazione non è una semplice matrice e penso che non possa essere trattata come tale. Essa è un omomorfismo che associa tutti gli elementi di gruppo al gruppo delle matrici invertibili. Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a fare chiarezza e fornirmi un metodo per comprendere se una rappresentazione è irriducibile? Purtroppo il corso che ho seguito è stato un po' superficiale su questi aspetti. Mille grazie.
Risposte
Ma sottospazi invarianti per l'endomorfismo oppure invarianti per l'azione del gruppo?questi due concetti coincidono?
La domanda è per \(SU(2)\), per \(\mathfrak{su}(2)\) o per un gruppo generico?
Per un gruppo generico non c'è speranza. Per un gruppo di Lie con certe ipotesi, ci sono dei risultati di classificazione, ma sono onerosi.
Per \(SU(2)\) in particolare, si sono classificate tutte, cerca su wikipedia.
Per la sua algebra di Lie, e in generale quando un gruppo è semplicemente connesso, una rappresentazione dell'algebra ne induce una del gruppo.
Buon Natale!
Per un gruppo generico non c'è speranza. Per un gruppo di Lie con certe ipotesi, ci sono dei risultati di classificazione, ma sono onerosi.
Per \(SU(2)\) in particolare, si sono classificate tutte, cerca su wikipedia.
Per la sua algebra di Lie, e in generale quando un gruppo è semplicemente connesso, una rappresentazione dell'algebra ne induce una del gruppo.
Buon Natale!
e in generale quando un gruppo è semplicemente connesso
Sempre gruppi di Lie suppongo.
Non ho capito!
Ma nulla tranquillo, tu hai scritto "in generale" ma in generale un gruppo non è uno spazio topologico.
Ah, no; mi riferivo a SU(2): una rappresentazione di \(\mathfrak{su}(2)\) ne induce una di \(SU(2)\), e la stessa cosa è vera per \(\mathfrak g\) quando \(G\) è semplicemente connesso; perché abbia senso parlare della sua algebra di Lie, certamente \(G\) deve essere semplicemente connesso, sicuro.
Be io quando penso a questo ho in mente i numeri complessi e la loro forma esponenziale.
Se avessi pensato a questi, mi sarebbero rimasti concetti piuttosto astratti
Se avessi pensato a questi, mi sarebbero rimasti concetti piuttosto astratti
Non ho capito: \(SU(2)\) ha naturalmente una struttura complessa; certamente ha anche una struttura reale (la dimensione come gruppo/varietà raddoppia, e così fanno anche le dimensioni delle sue rappresentazioni).
La cosa che volevo dire è che in generale, in tutti gli esempi che mi vengono in mente, le irrep sono difficili da classificare: si ragiona caso per caso, e se spesso si sanno fare delle caratterizzazioni esplicite (vedi ad esempio Fulton-Harris, dove la classificazione di interi gruppi prende capitoli interi). Non so però se hai una domanda più precisa.
La cosa che volevo dire è che in generale, in tutti gli esempi che mi vengono in mente, le irrep sono difficili da classificare: si ragiona caso per caso, e se spesso si sanno fare delle caratterizzazioni esplicite (vedi ad esempio Fulton-Harris, dove la classificazione di interi gruppi prende capitoli interi). Non so però se hai una domanda più precisa.
La cosa che volevo sapere era se e perché matrici di Pauli sono una rappresentazione irriducibile di su(2,$\mathbb C$), visto che io trovo che ammettono autovettori. Esponenziandole ottengo la rappresentazione fondamentale del gruppo SU(2,$\mathbb C$), ovvero: $e^{i\left(a_1\frac{\sigma_1}{2} +a_2 \frac{\sigma_2}{2} + a_3 \frac{\sigma_3}{2}\right)}=\cos{\abs{\frac{a}{2}}}\cdot \mathbb{I}+ + i(\frac {a_1 \sigma_1+ a_2 \sigma_2 + a_3 \sigma_3}{\abs a})\cdot \sin{\abs{\frac{a}{2}}}$, dove $mathbb I$ è l'identità e le $\sigma_i$ sono le matrici di Pauli. Ma trovo comunque che questa matrice ha due autovettori con autovalori $e^{\pm i\abs \frac {a}{2}}$ con $\abs a=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} $ e perciò posso diagonalizzarla su $\mathbb C$. Quindi a me sembrerebbe completamente riducibile.
Hai ragione, ma le matrici di Pauli non hanno gli autovalori corretti, hanno un riadattamento, quindi non è proprio una vera rappresentazione, ma funziona
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