Rappresentazione matriciale di un operatore associato ad un osservabile

[JimmyBrighy]

Buongiorno,
Sto avendo problemi con un esercizio preso da "Problemi di Meccanica Quantistica" di Picasso e d'Emilio.
Mi viene fornita la base di vettori $|e_1>$ e $|e_2>$ e mi viene chiesto di rappresentare in forma matriciale l'operatore $\Pi_\theta$ che ha come autostati due stati di polarizzazione lineare ortogonali tra di loro:

$|1> = cos \theta|e_1> + sin\theta|e_2>$ e $|2> =-sin\theta|e_1>+cos\theta|e_2>$

I due autostati hanno autovalori rispettivamente $+1$ e $-1$
Seguendo una delle tracce della soluzione proposta impongo le condizioni per la matrice:
\begin{equation} \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
cos\theta \\
sin\theta
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
cos\theta \\
sin\theta
\end{bmatrix}
\end{equation}

\begin{equation} \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
-sin\theta \\
cos\theta
\end{bmatrix} = - \begin{bmatrix}
-sin\theta \\
cos\theta
\end{bmatrix}
\end{equation}
Risolvendo il sistema di equazioni, per sempio per $a$ e $b$ ho:
\begin{cases}
a\cdot cos\theta+b\cdot sin\theta &= cos\theta \\
-a\cdot sin\theta+b\cdot cos\theta &= -sin\theta
\end{cases}
Dalla quale mi risulta essere $a=1$ e $b=0$, la soluzione data dal testo però è differente: dove sbaglio?

Grazie mille in anticipo

[anonymous_0b37e9]

Molto più elegantemente, avendo i due autovalori e i rispettivi autovettori ortonormali, è sufficiente un cambiamento di base:

$\pi_\theta=[[cos\theta,-sin\theta],[sin\theta,cos\theta]][[1,0],[0,-1]][[cos\theta,sin\theta],[-sin\theta,cos\theta]]=[[cos2\theta,sin2\theta],[sin2\theta,-cos2\theta]]$

Ad ogni modo, avevi commesso una svista:

$\{(acos\theta+bsin\theta=cos\theta),(-asin\theta+bcos\theta=sin\theta):}$