Raggio per il potenziale

[angel021]

ciao ho trovato questo esercizio svolto molto simile ad uno che sto svolgendo, solo che non capisco alcune cose.
Vi riporto il testo dell'esercizio con la risoluzione :

Una sfera metallica cava ha raggio esterno R1 = 10 cm, raggio interno
R2 = 7 cm ed al suo interno, in modo concentrico, è presente una sfera
metallica piena di raggio R3 = 5 cm. Su entrambe le sfere è depositata
una carica Q0 = 10−8 C. Determinare il campo elettrico sui due corpi e
calcolare il potenziale elettrostatico al centro della sfera interna.

Il calcolo del campo elettrico va scomposto nelle diverse regioni di spazio. Partendo
dal centro della sfera, per r < R3:
E(r) = 0
Poichè in un conduttore il campo è sempre nullo. Per calcolare il campo in R3 E =Q0/4πε0*r^2
Di nuovo la regione R2 < r < R1 è interna ad un conduttore, quindi:
E(r) = 0
Inne, per r > R1, tramite teorema di Gauss:
E =2*Q0/4πε0*r^2
Per il calcolo del potenziale partiamo dalla supercie esterna di raggio R1:
V(R1)=2*Q0/4πε0*R1
Tra R1 ed R2 il campo è nullo, quindi il potenziale rimane costante.
V (R2) = V (R1) =2Q0/4πε0*R1 [size=150]perchè su R2 non è V (R2) =Q0/4πε0*R2 ???????[/size]
Sulla supercie R3:
V (R3) − V (R2)=Q0/4πε0 (1/R3- 1/R2)
Il potenziale V (R3) è anche quello presente al centro delle sfera, pari a:
V (R3) =Q0/4πε0 (1/R3 - 1/R2 + 2/R1)= 2300V

[size=150]Potete dirmi[/size] perchè il potenziale in R3 è dato dalla somma dei raggi?
io avrei detto che valeva: V=Q0/4πε0R3
Come faccio a giungere alla soluzione del testo? che formula ha adottato? oppure è sbagliata?

Grazie mille per l'aiuto

[RenzoDF]

"angel02":...Tra R1 ed R2 il campo è nullo, quindi il potenziale rimane costante.
V (R2) = V (R1) =2Q0/4πε0*R1 [size=150]perchè su R2 non è V (R2) =Q0/4πε0*R2 ???????[/size]

Perché quella relazione è valida solo se stiamo cercando il potenziale su un punto di una sfera carica che "veda" l'infinito e, per vedere l'infinito, in questo caso particolare, dobbiamo andare sulla superficie esterna della sfera cava con raggio R1, è da lì in poi che dobbiamo andare ad integrare il campo elettrico fino all'infinito, fra R2 e R1 non c'è campo e quindi l'incremento del potenziale (integrale del campo) è nullo, sul tratto R2

"angel02":...
[size=150]Potete dirmi[/size] perchè il potenziale in R3 è dato dalla somma dei raggi?
io avrei detto che valeva: V=Q0/4πε0R3
Come faccio a giungere alla soluzione del testo?

Perché fissando all'infinito il riferimento a zero per il potenziale devi partire la lì e farti tutta la strada che ti porta alla sfera interna, e non lo puoi calcolare con quella formula per la solita ragione: dalla superficie della sfera interna di raggio R3, l'infinito non lo "vedi".

[angel021]

Potresti scrivermi come si evolve l'integrale nell'ultimo caso se pongo gli estremi , come dici tu, tra R3 e inf ed arrivare quindi a quella soluzione?!!

[RenzoDF]

Per integrare da R3 a infinito, visto che il campo elettrico presenta delle discontinuità, devi integrare sui vari intervalli e sommare i vari contributi, prova a tracciare su un foglio il campo elettrico nelle diverse zone: avrai un campo fra R3 e R2 proporzionale a $1/r^2$, campo nullo fra R2 e R1 e campo ancora proporzionale a $1/r^2$ per r > R1.

E' chiaro comunque che i due integrali non nulli forniranno le differenze di potenziale presente fra R3 e R2 il primo e fra R1 e infinito il secondo; differenze di potenziale che sommate ti porteranno alla relazione con la somma algebrica dei reciproci dei raggi.