Raggio interno affinché sia minimo il valore del campo
La differenza di potenziale fissata è calcolata tra il centro del cilindro e il raggio esterno? Cioè $V_0$ a cosa si riferisce?
Risposte
LA ddp è calcolata tra le due superfici del condensatore cilindrico.
Hai presente la definizione di ddp ? ( lavoro eseguito dal campo per spostare la carica elettrica unitaria tra due punti dati. Qualcuno dice che la ddp è l'opposto di tale valore, guarda per esempio questa discussione:
differenza-di-potenziale-e-i-meno-che-ballano-t106378.html )
Quindi il problema ti chiede, assegnata la ddp , di trovare il raggio $r$ affinché il valore del campo $E$ sia minimo.
Hai presente la definizione di ddp ? ( lavoro eseguito dal campo per spostare la carica elettrica unitaria tra due punti dati. Qualcuno dice che la ddp è l'opposto di tale valore, guarda per esempio questa discussione:
differenza-di-potenziale-e-i-meno-che-ballano-t106378.html )
Quindi il problema ti chiede, assegnata la ddp , di trovare il raggio $r$ affinché il valore del campo $E$ sia minimo.
Io ho trovato il campo elettrico con Gauss
$E = \lambda / (2 \pi \varepsilon_0 x)$ quindi $V(r) -V(R) = \lambda / (2 \pi \varepsilon_0) \log (R/r) = V_o$
ed ora?
$E = \lambda / (2 \pi \varepsilon_0 x)$ quindi $V(r) -V(R) = \lambda / (2 \pi \varepsilon_0) \log (R/r) = V_o$
ed ora?
La domanda dell'esercizio mi sembra abbastanza bizzarra. Innanzi tutto perché il campo dentro al condensatore non è costante ma è una funzione della posizione, e quindi non si capisce bene cosa si intenda con "che renda minimo il campo". Volendo assumere che ciò significhi che, fissata la posizione nel condensatore (cioè la distanza $x$ dall'asse del cilindro), il campo debba essere minimo, si può osservare che dalla condizione sulla ddp, si ricava l'espressione della densità di carica $\lambda$ in funzione del raggio interno $r$:
\(\displaystyle \lambda (r)=\frac{2\pi\epsilon_0V_0}{\ln (\frac{R}{r})} \)
da cui si ricava l'espressione del campo
\(\displaystyle E(x)=\frac{V_0}{x\ln (\frac{R}{r})} \)
Ora, fissata x, e considerando $E$ come funzione d $r$, si vede facilmente che il minimo di $E$ si ha per $r=0$ e tale minimo vale zero. E qui si vede l'altra ragione per cui, a mio giudizio, la domanda è bizzarra. Più che di un minimo nel senso stretto, direi infatti che si tratta di un estremo inferiore, dal momento che la condizione $r=0$ corrisponde ad una situazione limite irrealizzabile in cui, in pratica, l'armatura interna ha dimensioni nulle.
\(\displaystyle \lambda (r)=\frac{2\pi\epsilon_0V_0}{\ln (\frac{R}{r})} \)
da cui si ricava l'espressione del campo
\(\displaystyle E(x)=\frac{V_0}{x\ln (\frac{R}{r})} \)
Ora, fissata x, e considerando $E$ come funzione d $r$, si vede facilmente che il minimo di $E$ si ha per $r=0$ e tale minimo vale zero. E qui si vede l'altra ragione per cui, a mio giudizio, la domanda è bizzarra. Più che di un minimo nel senso stretto, direi infatti che si tratta di un estremo inferiore, dal momento che la condizione $r=0$ corrisponde ad una situazione limite irrealizzabile in cui, in pratica, l'armatura interna ha dimensioni nulle.
anche io sono arrivato alla tua conclusione però so che il risultato sia 3.7 cm, si il testo è bizzarro!
Ciao. Premesso il fatto che concordo sulla bizzarria dell'esercizio per le ragioni che avete esposto, si potrebbe impostare in questi termini.
Posto che il modulo del campo varia secondo la: [tex]E(x)=\frac{V_0}{x\cdot \ln\frac{R}{r}}[/tex]__con : $r<=x<=R$ (e supponendo $V_0>0$),
il massimo modulo in tale intervallo si ottiene per $x=r$ , e vale: [tex]E(r)=\frac{V_0}{r\cdot \ln\frac{R}{r}}[/tex] ;
derivando rispetto ad $r$ si trova che il minimo di tale modulo massimo (scusate il bisticcio di parole
) si ha quando:
$r=R/e$ , cioè circa $3.68 " cm"$.
Considerando l'andamento di $E(x)$ , per qualsiasi altro valore di $r$ il campo sarebbe, a parità di $x$ , maggiore. Mi pare un po' contorta come possibilità ma mi sembra che funzioni.
Posto che il modulo del campo varia secondo la: [tex]E(x)=\frac{V_0}{x\cdot \ln\frac{R}{r}}[/tex]__con : $r<=x<=R$ (e supponendo $V_0>0$),
il massimo modulo in tale intervallo si ottiene per $x=r$ , e vale: [tex]E(r)=\frac{V_0}{r\cdot \ln\frac{R}{r}}[/tex] ;
derivando rispetto ad $r$ si trova che il minimo di tale modulo massimo (scusate il bisticcio di parole
) si ha quando: $r=R/e$ , cioè circa $3.68 " cm"$.
Considerando l'andamento di $E(x)$ , per qualsiasi altro valore di $r$ il campo sarebbe, a parità di $x$ , maggiore. Mi pare un po' contorta come possibilità ma mi sembra che funzioni.
perfetto! solo una cosa: perchè poni $x=r$ ottenendo il valore massimo del campo, quando serve trovare il valore minimo che poi si trova derivando...so di non essere stato chiarissimo...
inoltre vale sempre l'approssimazione di questo sistema a un filo indefinito uniformemente carico?
@smaug: Premesso che la risposta alla tua ultima domanda è sì (lo dimostri facilmente col teorema di Gauss), devo rettificare una mia inesattezza precedente.
Nel grafico che segue l'andamento del modulo $E(x)$ nell'intervallo $[r, 10"]"$ per alcuni valori di $r$. Per ciascuno di questi valori il massimo del campo (che è inversamente proporzionale ad $x$ ) è per $x=r$ ; di questi valori massimi il più piccolo si ottiene per $r=10/e approx 3.7$ (la curva in grassetto il cui punto iniziale corrisponde appunto ad un'ascissa pari a circa $3.7$); mentre non è vero che per altri valori di $x$ nell'intervallo considerato la curva corrispondente a tale scelta di $r$ sia la più "bassa" dell'intero fascio:
Per cui i casi che vedo sono due:
- la richiesta è che il campo fosse minimo nel punto in cui ha massimo modulo, cioè nei punti a contatto col cilindro interno, ed allora la mia procedura mi pare corretta;
- la richiesta è diversa (e in ambo i casi è mal formulata), allora la mia procedura è errata ed il risultato coincide con quello corretto per puro caso.
Nel grafico che segue l'andamento del modulo $E(x)$ nell'intervallo $[r, 10"]"$ per alcuni valori di $r$. Per ciascuno di questi valori il massimo del campo (che è inversamente proporzionale ad $x$ ) è per $x=r$ ; di questi valori massimi il più piccolo si ottiene per $r=10/e approx 3.7$ (la curva in grassetto il cui punto iniziale corrisponde appunto ad un'ascissa pari a circa $3.7$); mentre non è vero che per altri valori di $x$ nell'intervallo considerato la curva corrispondente a tale scelta di $r$ sia la più "bassa" dell'intero fascio:
Per cui i casi che vedo sono due:
- la richiesta è che il campo fosse minimo nel punto in cui ha massimo modulo, cioè nei punti a contatto col cilindro interno, ed allora la mia procedura mi pare corretta;
- la richiesta è diversa (e in ambo i casi è mal formulata), allora la mia procedura è errata ed il risultato coincide con quello corretto per puro caso.
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