Radiazione di corpo nero

[Newton_1372]

E' una domanda più di matematica che di fisica.
Voglio trovare l'espressione esatta del potenziale vettore $\vec A$ in un corpo nero di forma cubica (lato L).
I libri mi spiattellano in faccia direttamente l'espressione del tipo:
$$A_x = A_x(t) \cos(\pi n_x/L) \sin(\pi n_y/L) \sin(\pi n_z/L)$$ (1)
e così via.
Ma vorrei proprio che mi si dimostrasse questa formula. Cioè, partiamo dall'espressione di A più generale possibile:
$$\vec A(\vec x,t) = \sum_{\vec k}\vec Q_k e^{i\omega_k t} e^{i\vec k\cdot \vec x}$$
con $$|k| = \omega_k/c$$
Questa è la più generale delle soluzioni dell'equazione di d'Alembert: sovrapposizione di onde piane.
Quello che voglio io è che il vettore di Poynting nelle pareti della scatola deve essere parallelo alla scatola stessa (altrimenti fuoriuscirebbe dell'energia dalla scatola, ma ciò non è perchè stiamo studiando il corpo nero).

Mi potete fare il conto esatto che mostra che il campo di corpo nero più generale possibile è quello dato da (1)?
In particolare, come si derivano:
a). le frequenze esatte, cioè che tutte e sole le frequenze appartengono al reticolo $\vec n \pi/L$
b). l'espressione dei campi esplicita come in (1)

[GianlucaN2]

Bisogna imporre alla soluzione la condizione di nodo al bordo della scatola $A_x(0,t)=A_x(L,t)=0 \forall t$. Puoi trovare come si fa con le funzioni trigonometriche in tipici esercizi di risoluzione dell'equazione di Dalembert per la corda vibrante fissata a due estremità-
Cosa significa "vettore di Poynting parallelo alla scatola?"