"Integrale primo dell'equazione dell'orbita"
Il titolo è fra virgolette perché non ho capito bene l'argomento. Il problema del corpo nel campo centrale l'ho imparato dal Goldstein, forse prima edizione. Si ricava l'equazione differenziale dell'orbita che è $\frac{l^2u^2}{m}(\frac{d^2u}{d \theta^2}+u)=-f(u^{-1})$. Nella terza edizione, se vado a vedere i passaggi sono gli stessi fino a quando scrive l'equazione non in termini della forza ma in termini dell'energia potenziale ovvero $\frac{d^2u}{d \theta ^2}+u=-\frac{m}{l^2}\frac{d}{du}V(u^{-1})$. Dove va a finire quell'$u^2$ presente nella prima equazione e che nella seconda scompare? Negli esercizi svolti che ho a disposizione e che devo sapere risolvere nell'esame di meccanica parla di una equazione dell'orbita data da $\frac{l^2}{m}\frac{d^2u}{d\theta^2}=-\frac{V_{eff}(u^{-1})}{du}$ e del suo integrale primo (non ho capito quale sia il calcolo) $H=\frac{l^2}{2m}(\frac{du}{d\theta})^2+V_{eff}(u^{-1})$. Ora:
$1.$ Qual è il passaggio nel Goldstein per passare da una forma all'altra?
$2.$ Che significa l'equazione dei miei esercizi?
Vediamo ad esempio un esercizio (nulla di complicato, sono solo passaggi matematici che svolgo io). Ho un sistema la cui energia totale (in coordinate polari) è data da $H=\frac{m}{2} (\frac{ d\rho}{dt}) ^2 (1+\frac{R^4}{\rho^4})+V_{eff}(\rho)$ con $V_{eff}(\rho)=-\frac{mgR^2}{\rho}+\frac{l^2}{2m\rho^2}$. Con un cambio di coordinate $u^{-1}=\rho$ diventa $H=\frac{m}{2} (\frac{d(u^{-1})}{dt}) ^2 (1+R^4u^4)+V_{eff}(\rho)$ con $V_{eff}(u)=-mgR^2u+\frac{l^2u^2}{2m}$. Poi dice "passiamo all'integrale primo dell'orbita" dato da $H=\frac{L^2}{2m}(\frac{du}{d\theta})^2(1+R^4u^4)+V_{eff}(u)$. Elencando due formule note nella teoria:
$*$ $\frac{d}{dt}=\frac{l}{m\rho ^2}\frac{d}{d \theta}$
$*$ $\frac{1}{\rho ^2}\frac{d \rho}{d \theta}=-\frac{d(1 \/ \rho)}{d \theta}$ (e da come si ricava, questa formula con $\rho$ dentro vale anche per $u$ al posto di $\rho$).
Sostituendo le precedenti in $H=\frac{m}{2} (\frac{d(u^{-1})}{dt}) ^2 (1+R^4u^4)+V_{eff}(u)$ ottengo $H=\frac{m}{2}(\frac{l}{m\rho ^2}\frac{d(u^{-1})}{d \theta})^2(1+R^4u^4)+V_{eff}(u)$ e ancora $H=\frac{m}{2}(-\frac{l}{m\rho ^2}\frac{1}{u ^2}\frac{d u}{d \theta})^2(1+R^4u^4)+V_{eff}(u)=\frac{l^2}{2m}(\frac{d u}{d \theta})^2(1+R^4u^4)+V_{eff}(u)$. Se vado a vedere nella soluzione trovo la stessa equazione, solamente che lui se la ricava in non so quale modo con la formula precedente
Approssimando il potenziale in serie di potenze vicino al punto di minimo per il potenziale e con alcune sostituzioni trovo $(\frac{du}{d \theta})^2(1+R^4u^4)+(u-u_{c})^{2}=\epsilon ^2 u_{c}^{^2}$ (dove $u_c=\frac{m^2gR^2}{L^2}$ rende minimo il potenziale efficace). Nell'esercizio è scritto che la soluzione "al primo ordine in $\epsilon$" è $u=u_c+\epsilon u_c cos(\Omega \theta)$ e che sostituendo (come? cosa?) $\Omega=(1+R^4u_{c}^{2})^{1\/ 2}$. Allora:
$3.$ Come si risolve l'equazione differenziale dell'orbita? Qualche traccia oltre a impara la matematica?
$1.$ Qual è il passaggio nel Goldstein per passare da una forma all'altra?
$2.$ Che significa l'equazione dei miei esercizi?
Vediamo ad esempio un esercizio (nulla di complicato, sono solo passaggi matematici che svolgo io). Ho un sistema la cui energia totale (in coordinate polari) è data da $H=\frac{m}{2} (\frac{ d\rho}{dt}) ^2 (1+\frac{R^4}{\rho^4})+V_{eff}(\rho)$ con $V_{eff}(\rho)=-\frac{mgR^2}{\rho}+\frac{l^2}{2m\rho^2}$. Con un cambio di coordinate $u^{-1}=\rho$ diventa $H=\frac{m}{2} (\frac{d(u^{-1})}{dt}) ^2 (1+R^4u^4)+V_{eff}(\rho)$ con $V_{eff}(u)=-mgR^2u+\frac{l^2u^2}{2m}$. Poi dice "passiamo all'integrale primo dell'orbita" dato da $H=\frac{L^2}{2m}(\frac{du}{d\theta})^2(1+R^4u^4)+V_{eff}(u)$. Elencando due formule note nella teoria:
$*$ $\frac{d}{dt}=\frac{l}{m\rho ^2}\frac{d}{d \theta}$
$*$ $\frac{1}{\rho ^2}\frac{d \rho}{d \theta}=-\frac{d(1 \/ \rho)}{d \theta}$ (e da come si ricava, questa formula con $\rho$ dentro vale anche per $u$ al posto di $\rho$).
Sostituendo le precedenti in $H=\frac{m}{2} (\frac{d(u^{-1})}{dt}) ^2 (1+R^4u^4)+V_{eff}(u)$ ottengo $H=\frac{m}{2}(\frac{l}{m\rho ^2}\frac{d(u^{-1})}{d \theta})^2(1+R^4u^4)+V_{eff}(u)$ e ancora $H=\frac{m}{2}(-\frac{l}{m\rho ^2}\frac{1}{u ^2}\frac{d u}{d \theta})^2(1+R^4u^4)+V_{eff}(u)=\frac{l^2}{2m}(\frac{d u}{d \theta})^2(1+R^4u^4)+V_{eff}(u)$. Se vado a vedere nella soluzione trovo la stessa equazione, solamente che lui se la ricava in non so quale modo con la formula precedente
Approssimando il potenziale in serie di potenze vicino al punto di minimo per il potenziale e con alcune sostituzioni trovo $(\frac{du}{d \theta})^2(1+R^4u^4)+(u-u_{c})^{2}=\epsilon ^2 u_{c}^{^2}$ (dove $u_c=\frac{m^2gR^2}{L^2}$ rende minimo il potenziale efficace). Nell'esercizio è scritto che la soluzione "al primo ordine in $\epsilon$" è $u=u_c+\epsilon u_c cos(\Omega \theta)$ e che sostituendo (come? cosa?) $\Omega=(1+R^4u_{c}^{2})^{1\/ 2}$. Allora:
$3.$ Come si risolve l'equazione differenziale dell'orbita? Qualche traccia oltre a impara la matematica?
Risposte
"5mrkv":
Dove va a finire quell'$u^2$ presente nella prima equazione e che nella seconda scompare?
Derivazione di funzione di funzione:
[tex]\frac{d}{du} V(u^{-1}) = -\frac{1}{u^2} V \ '(u^{-1})[/tex]
e se poni [tex]f(x) = - V \ '(x)[/tex], che vuol dire che la forza e' il gradiente del potenziale cambiato di segno, trovi l'altra formula.
Negli esercizi svolti che ho a disposizione e che devo sapere risolvere nell'esame di meccanica parla di una equazione dell'orbita data da $\frac{l^2}{m}\frac{d^2u}{d\theta^2}=-\frac{V_{eff}(u^{-1})}{du}$ e del suo integrale primo (non ho capito quale sia il calcolo) $H=\frac{l^2}{2m}(\frac{du}{d\theta})^2+V_{eff}(u^{-1})$.
Moltiplica ambo i membri per [tex]\frac{d u}{d \theta}[/tex]. Poi a sinistra usi il fatto che [tex]\frac{d u}{d\theta} \frac{d^2 u}{d\theta^2} = \frac{1}{2} \frac{d}{d\theta} (\frac{d u}{d\theta})^2[/tex] e a destra il fatto che [tex]\frac{d}{d\theta} = \frac{d u}{d\theta}\frac{d}{d u}[/tex] visto che [tex]u = u(\theta)[/tex] segue l'espressione dell'integrale primo $H$, a meno di una costante. Che poi sarebbe l'energia totale.
Ti ringrazio molto 
Adesso che ci penso quello che ho scritto io è anche il modo in cui si calcola nella teoria l'equazione differenziale dell'orbita. Bisogna soltanto saperla risolvere. Qualcuno mi da un indirizzo per il punto $3$?
Adesso che ci penso quello che ho scritto io è anche il modo in cui si calcola nella teoria l'equazione differenziale dell'orbita. Bisogna soltanto saperla risolvere. Qualcuno mi da un indirizzo per il punto $3$?
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