"Gara" tra parallelepipedo e disco - Corpi rigidi
Ciao a tutti, ho l'ennesimo dubbio riguardante un problema, spero qualcuno possa aiutarmi nel risolverlo:
"Un disco pieno D, di raggio R e massa M, è fatto rotolare giù da un piano ruvido inclinato di angolo $alpha=18^circ$ rispetto alla direzione orizzontale insieme a un parallelepipedo P anch'esso di massa M. sapendo che il coefficiente di attrito statico tra piano e bordo del disco è sufficiente per evitare che il disco scivoli e che il coefficiente di attrito cinetico tra piano e parallelepipedo è pari a $mu_d=0,2$, determinare quale dei due corpi ha la maggiore velocità di traslazione."
Sistema di riferimento usato: ascissa perpendicolare al piano inclinato e origine del punto di contatto del corpo rigido col piano inclinato.
Partendo dal disco D,
metto a sistema la conservazione del momento angolare (nel caso di puro rotolamento), il teorema di Huygens-Steiner e la conservazione della energia meccanica:
${(MRv_c=Iw),(I=I_c+MR^2=3/2MR^2),(Mgh=1/2I_cw^2+1/2Mv_c^2):}$
Risolvendolo per $w$ e $v_c^2$:
${(w=2/3v_c/R),(v_c^2=18/11gh):}$
Per il parallelepipedo P,
metto a sistema le equazioni delle forze agenti su di esso:
${(Mg sen(alpha)-f_a=Ma_x),(N-Mg cos(alpha)=Ma_y=0),(f_a=mu_dN):}$
Mi calcolo il lavoro della forza di attrito fatto dal parallelepipedo mentre scivola, sapendo che lo spostamento è in funzione della altezza ($x=h/(sen(alpha)$):
$L_a=-mu_dMgcos(alpha)h/(sen(alpha))=-mu_dMghcot(alpha)$
Usando l'energia totale del parallelepipedo:
$E=-Mgh+1/2Mv_c^2-L_a=0 rarr v_c^2=2gh(1-mu_dcot(alpha))$
Qualcosa non va, dato che la velocità di traslazione del disco (a parità di altezza) è maggiore di quella del parallelepipedo, quando dovrebbe essere il contrario.
Correzioni?
Grazie mille in anticipo.
"Un disco pieno D, di raggio R e massa M, è fatto rotolare giù da un piano ruvido inclinato di angolo $alpha=18^circ$ rispetto alla direzione orizzontale insieme a un parallelepipedo P anch'esso di massa M. sapendo che il coefficiente di attrito statico tra piano e bordo del disco è sufficiente per evitare che il disco scivoli e che il coefficiente di attrito cinetico tra piano e parallelepipedo è pari a $mu_d=0,2$, determinare quale dei due corpi ha la maggiore velocità di traslazione."
Sistema di riferimento usato: ascissa perpendicolare al piano inclinato e origine del punto di contatto del corpo rigido col piano inclinato.
Partendo dal disco D,
metto a sistema la conservazione del momento angolare (nel caso di puro rotolamento), il teorema di Huygens-Steiner e la conservazione della energia meccanica:
${(MRv_c=Iw),(I=I_c+MR^2=3/2MR^2),(Mgh=1/2I_cw^2+1/2Mv_c^2):}$
Risolvendolo per $w$ e $v_c^2$:
${(w=2/3v_c/R),(v_c^2=18/11gh):}$
Per il parallelepipedo P,
metto a sistema le equazioni delle forze agenti su di esso:
${(Mg sen(alpha)-f_a=Ma_x),(N-Mg cos(alpha)=Ma_y=0),(f_a=mu_dN):}$
Mi calcolo il lavoro della forza di attrito fatto dal parallelepipedo mentre scivola, sapendo che lo spostamento è in funzione della altezza ($x=h/(sen(alpha)$):
$L_a=-mu_dMgcos(alpha)h/(sen(alpha))=-mu_dMghcot(alpha)$
Usando l'energia totale del parallelepipedo:
$E=-Mgh+1/2Mv_c^2-L_a=0 rarr v_c^2=2gh(1-mu_dcot(alpha))$
Qualcosa non va, dato che la velocità di traslazione del disco (a parità di altezza) è maggiore di quella del parallelepipedo, quando dovrebbe essere il contrario.
Correzioni?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
L’accelerazione del disco , per cui puoi leggere qui , vale :
$a_d = 2/3gsenalpha = 2.021 m/s^2 $
L’accelerazione del parallelepipedo si trova da :
$ma_p = mgsenalpha - mu_dmgcosalpha rarr a_p = g(senalpha- mu_dcosalpha) $
cioè, mettendo i valori numerici : $a_p = 1.165 m/s^2 $
Lasciando andare dalla quiete sia il disco che il parallelepipedo lungo il piano inclinato, il moto di traslazione del CM di entrambi è uniformemente accelerato, con le accelerazioni dette. Quindi le velocità sono :
$v_d = 2.021*t m/s$
$v_p = 1.165 *t m/s $
Il disco è più veloce del parallelepipedo, a parità di tempo di percorrenza. Perchè dici che dovrebbe essere il contrario ?
$a_d = 2/3gsenalpha = 2.021 m/s^2 $
L’accelerazione del parallelepipedo si trova da :
$ma_p = mgsenalpha - mu_dmgcosalpha rarr a_p = g(senalpha- mu_dcosalpha) $
cioè, mettendo i valori numerici : $a_p = 1.165 m/s^2 $
Lasciando andare dalla quiete sia il disco che il parallelepipedo lungo il piano inclinato, il moto di traslazione del CM di entrambi è uniformemente accelerato, con le accelerazioni dette. Quindi le velocità sono :
$v_d = 2.021*t m/s$
$v_p = 1.165 *t m/s $
Il disco è più veloce del parallelepipedo, a parità di tempo di percorrenza. Perchè dici che dovrebbe essere il contrario ?
"Kanal":
L’accelerazione del disco , per cui puoi leggere qui , vale :
$a_d = 2/3gsenalpha = 2.021 m/s^2 $
L’accelerazione del parallelepipedo si trova da :
$ma_p = mgsenalpha - mu_dmgcosalpha rarr a_p = g(senalpha- mu_dcosalpha) $
cioè, mettendo i valori numerici : $a_p = 1.165 m/s^2 $
Lasciando andare dalla quiete sia il disco che il parallelepipedo lungo il piano inclinato, il moto di traslazione del CM di entrambi è uniformemente accelerato, con le accelerazioni dette. Quindi le velocità sono :
$v_d = 2.021*t m/s$
$v_p = 1.165 *t m/s $
Il disco è più veloce del parallelepipedo, a parità di tempo di percorrenza. Perchè dici che dovrebbe essere il contrario ?
Il mio libro (Fisica generale Focardi-Massa) afferma che "nelle condizioni date, il parallelepipedo scende più velocemente del disco" senza fornire ulteriori spiegazioni. Anche a me suscita non poche perplessità.
Perfettamente capito il tuo ragionamento.
Io mi ero ricavato la velocità in funzione dell'altezza, erano giusti i procedimenti logici?
Ma sei sicuro? Che io mi ricordi non ha esercizi
Sai la pagina?
Sai la pagina?
Se il tuo libro fa una affermazione senza giustificarla, non mi sembra corretto. Ora non posso verificare i tuoi calcoli, forse più tardi.
"Capitan Harlock":
Ma sei sicuro? Che io mi ricordi non ha esercizi
Sai la pagina?
Si, pagina 398 esercizio 8-14, capitolo sui corpi rigidi.
Il mio è la seconda edizione.
"Kanal":
Se il tuo libro fa una affermazione senza giustificarla, non mi sembra corretto. Ora non posso verificare i tuoi calcoli, forse più tardi.
Ti ringrazio per il tempo dedicato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo