Quesito trasformazioni cicliche
Ciao,
ho questo esercizio:
un gas perfetto compie una ciclo reversibile (senso antiorario) passando per 3 stati di equilibrio A-B-C
Da A a B il gas si contrae e p è costante
Da B a C la pressione aumenta, V è costante
Da C ad A c'è una trasformazione rettilinea.
A e C giacciono, inoltre, su una isoterma.
1)Qual è la variazione dell'energia interna del gas associata complessivamente alle 2 trasformazioni? (quindi da A a B e da B a C?)
Mio svolgimento: calcolerei la variazione di energia su ogni singolo tratto: da A a B abbiamo una isobara, il volume diminuisce e quindi la variazione dell'energia sarà sicuramente negativa, quindi \(\displaystyle -nc_v(T_2-T_1) \)
Da B a C abbiamo una isocora, quindi la variazione dell'energia è >0.
Il mio dubbio: viene, dunque, 0?
2) Supponiamo che la temperatura di A sia 3 volte quella di B. Qual è il lavoro totale compiuto dal gas in un ciclo come funzione di pressione \(\displaystyle p_A \) e volume \(\displaystyle V_A \) nello stato A? Spiegare il segno in accordo col primo principio della termodinamica.
Mio svolgimento: Anche qui ragionerei sommando, nell'isocora dovrebbe essere 0 il lavoro...mentre nell'isobara nR(T2-T1).
Mi sono perso solo sulla fine, perchè il primo princpio dice dU=Q-L, però non riesco a legare il ragionamento...
Grazie.
ho questo esercizio:
un gas perfetto compie una ciclo reversibile (senso antiorario) passando per 3 stati di equilibrio A-B-C
Da A a B il gas si contrae e p è costante
Da B a C la pressione aumenta, V è costante
Da C ad A c'è una trasformazione rettilinea.
A e C giacciono, inoltre, su una isoterma.
1)Qual è la variazione dell'energia interna del gas associata complessivamente alle 2 trasformazioni? (quindi da A a B e da B a C?)
Mio svolgimento: calcolerei la variazione di energia su ogni singolo tratto: da A a B abbiamo una isobara, il volume diminuisce e quindi la variazione dell'energia sarà sicuramente negativa, quindi \(\displaystyle -nc_v(T_2-T_1) \)
Da B a C abbiamo una isocora, quindi la variazione dell'energia è >0.
Il mio dubbio: viene, dunque, 0?
2) Supponiamo che la temperatura di A sia 3 volte quella di B. Qual è il lavoro totale compiuto dal gas in un ciclo come funzione di pressione \(\displaystyle p_A \) e volume \(\displaystyle V_A \) nello stato A? Spiegare il segno in accordo col primo principio della termodinamica.
Mio svolgimento: Anche qui ragionerei sommando, nell'isocora dovrebbe essere 0 il lavoro...mentre nell'isobara nR(T2-T1).
Mi sono perso solo sulla fine, perchè il primo princpio dice dU=Q-L, però non riesco a legare il ragionamento...
Grazie.
Risposte
1) Da A->B->C
la U è una funzione di stato ovvero dipende solo dal punto finale e iniziale. Inoltre per un g.p. dipende solo dalla temperatura. Quindi
$Delta U=n*C_v*(T_c-T_A)=0$ perchè A e C giacciono su un'isoterma.
2) Il lavoro sul piano PV è l'area del ciclo. Dalla legge dei g.p. la pressione se la temperatura in A è 3 volte in B anche il volume lo è a P=costante. Inoltre se il volume in B ovvero in C è 1/3 di quello in A, a parità di temperatura la pressione è 3 volte quella in A. Quindi
$L = ((3P_A-P_A)(V_A-1/3V_A ))/2 = 2/3P_A*V_A$
L>0 perchè il ciclo percorso in senso orario. Verifichiamo trasformazione per trasformazione.
A-B
$L=-2/3P_A*V_A$
$DeltaU=-nC_V*2T_A/3$
$Q=DeltaU+L$
B->C
$L=0$
$DeltaU=+nC_V*2T_A/3$
$Q=DeltaU$
C->A
In questa trasformazione $P=3P_A-3P_A/V_A*(V-V_A/3)$ per cui
$L=int_(V_A/3)^(V_A) P dv = 4/3 P_A*V_A$
$DeltaU=0$
$Q=L$
Totale $L=-2/3P_A*V_A+0+4/3 P_A*V_A=2/3P_A*V_A$
la U è una funzione di stato ovvero dipende solo dal punto finale e iniziale. Inoltre per un g.p. dipende solo dalla temperatura. Quindi
$Delta U=n*C_v*(T_c-T_A)=0$ perchè A e C giacciono su un'isoterma.
2) Il lavoro sul piano PV è l'area del ciclo. Dalla legge dei g.p. la pressione se la temperatura in A è 3 volte in B anche il volume lo è a P=costante. Inoltre se il volume in B ovvero in C è 1/3 di quello in A, a parità di temperatura la pressione è 3 volte quella in A. Quindi
$L = ((3P_A-P_A)(V_A-1/3V_A ))/2 = 2/3P_A*V_A$
L>0 perchè il ciclo percorso in senso orario. Verifichiamo trasformazione per trasformazione.
A-B
$L=-2/3P_A*V_A$
$DeltaU=-nC_V*2T_A/3$
$Q=DeltaU+L$
B->C
$L=0$
$DeltaU=+nC_V*2T_A/3$
$Q=DeltaU$
C->A
In questa trasformazione $P=3P_A-3P_A/V_A*(V-V_A/3)$ per cui
$L=int_(V_A/3)^(V_A) P dv = 4/3 P_A*V_A$
$DeltaU=0$
$Q=L$
Totale $L=-2/3P_A*V_A+0+4/3 P_A*V_A=2/3P_A*V_A$
Scusami non mi è chiaro il passaggio del lavoro...il primo proprio
Il ciclo è percorso in senso antiorario, quindi non ho capito nemmeno l 'osservazione sul lavoro positivo
"WhiteC":
Scusami non mi è chiaro il passaggio del lavoro...il primo proprio
Il ciclo è sul piano PV un triangolo e quindi la sua area è banalmente base x altezza/2.
"WhiteC":
Il ciclo è percorso in senso antiorario, quindi non ho capito nemmeno l 'osservazione sul lavoro positivo
Il piano PV (o di Clapeyron), che è quello solitamente utilizzato, ha V in ascissa e P in ordinata. Secondo tale piano il ciclo è in senso orario e sono positivi i lavori in cui aumenta V e negativi quelli in cui V diminuisce. E a parità di V conta se siamo con pressioni più grandi. Per cui se percorro il ciclo in senso orario il totale netto sarà positivo.
Se disegni invece invece il ciclo con P in ascissa e V in ordinata allora il ciclo è in senso antiorario e tutti i discorsi vanno invertiti.
"ingres":
Se disegni invece invece il ciclo con P in ascissa e V in ordinata allora il ciclo è in senso antiorario e tutti i discorsi vanno invertiti.
Quindi il lavoro che in questo ragionamento è positivo diventa negativo e viceversa.
Solo una cosa, non avendo studiato gli integrali come posso vedere il lavoro da C ad A?
inoltre in A-->B la variazione di energia non dovrebbe essere -ncv(Tb-Ta) e quindi -ncv(2/3Ta)?
Si, hai ragione ho dimenticato il 3 sotto la T.
Correggo il post.
Quanto al lavoro è l'area sottesa (positiva se aumenta il volume come in questo caso).
L'area sottesa è un trapezio con
Base maggiore 3Pa
Base minore Pa
Altezza 2/3Va
Area = (3Pa+Pa)*2/3 Va/2 =4/3 PaVa
Correggo il post.
Quanto al lavoro è l'area sottesa (positiva se aumenta il volume come in questo caso).
L'area sottesa è un trapezio con
Base maggiore 3Pa
Base minore Pa
Altezza 2/3Va
Area = (3Pa+Pa)*2/3 Va/2 =4/3 PaVa
"ingres":
Quanto al lavoro è l'area sottesa (positiva se aumenta il volume come in questo caso).
L'area sottesa è un trapezio con
Base maggiore 3Pa
Base minore Pa
Altezza 2/3Va
Area = (3Pa+Pa)*2/3 Va/2 =4/3 PaVa
Anche in altri post si parla di trapezio. io non riesco a vederlo,in questo caso il disegno che visualizzo sul mio piano di clapeyron è un triangolo rettangolo la cui base è la trasformazione AB, altezza BC ed ipotenusa CA..su questo vado in palla completamente
Fai conto che non ci siano le altre trasformazioni e concentrati solo su CA
Disegna il segmento retto congiungente A con l'asse delle V (sia A' il punto sull'asse delle V) e il segmento retto congiungente C con l'asse delle V (sia C' il punto sull'asse delle V).
Che figura è il quadrilatero C A A' C' ? Quanto valgono i suoi lati?
Disegna il segmento retto congiungente A con l'asse delle V (sia A' il punto sull'asse delle V) e il segmento retto congiungente C con l'asse delle V (sia C' il punto sull'asse delle V).
Che figura è il quadrilatero C A A' C' ? Quanto valgono i suoi lati?
ok, non mi è mai stata chiara questa cosa perchè per me l'area sotto la curva , in questo caso CA, la immagino come TUTTA l'area che c'è, quindi una figura "strana" (a meno che non sia tracciata come il triangolo che ti citavo).
In questo caso il concetto mi è chiaro ma comunque in generale mi riesce difficile visualizzarlo autonomamente..cioè, potrei usare quindi una qualsiasi figura che mi faccia calcolare l'area sotto la curva? Se avessi abbastanza dati potrei usare CA come lato di un rettangolo, per esempio? Avrei un'area però diversa... non so se ho espresso il mio dubbio per bene
In questo caso il concetto mi è chiaro ma comunque in generale mi riesce difficile visualizzarlo autonomamente..cioè, potrei usare quindi una qualsiasi figura che mi faccia calcolare l'area sotto la curva? Se avessi abbastanza dati potrei usare CA come lato di un rettangolo, per esempio? Avrei un'area però diversa... non so se ho espresso il mio dubbio per bene
"ingres":
Base maggiore 3Pa
Base minore Pa
Altezza 2/3Va
come sono usciti questi valori?
No deve essere l'area sottesa alla curva come se avessi una sorgente di luce molto in alto e volessi vedere la zona d'ombra fino al terreno (l'asse delle V).
Un disegno probabilmente chiarisce più di 100 parole.
Qui si vede il trapezio rettangolo, adagiato con l'altezza sull'asse delle V e si capisce anche da dove derivano i valori che ho indicato.
Base Maggiore C-C' : 3PA
Base Minore A-A': PA
Altezza A'C' = 2/3 VA
Qui si vede il trapezio rettangolo, adagiato con l'altezza sull'asse delle V e si capisce anche da dove derivano i valori che ho indicato.
Base Maggiore C-C' : 3PA
Base Minore A-A': PA
Altezza A'C' = 2/3 VA
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