Quesito di meccanica razionale
Potreste aiutarmi su questo quesito:
Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare pesante omogenea di massa m e raggio r con un elemento del bordo fisso rispetto a un osservatore terrestre e vincolata a muoversi mantenendosi sempre verticale. Sull'elemento del bordo del disco opposto a quello fisso agisce la forza elastica di costante k e centro posto alla stessa quota del punto occupato costantemente dall'elemento fisso del disco e a distanza 4r da esso.
Si riconosca che il sistema è a due gradi di libertà e...(chiede poi le equazioni pure del moto, le configurazioni di equilibrio e la loro stabilità, chiede se il sistema può compiere moti piani...).
a) Io sto impazzendo perchè con tutte le coppie di coordinate lagrangiane che ho preso per una posizione generica del disco, dopo aver trovato l'espressione del potenziale, mi viene sempre fuori un sistema per trovare le posizioni di equilibrio (quello fatto con le derivate parziali prime del potenziale rispetto alle coordinate scelte, uguali a zero) praticamente impossibile da risolvere e quindi poi non posso studiare la stabilità delle stesse e tutto il resto.
Potreste darmi un'idea su come posso fare? Ci sono coordinate che portano a un sistema come sopra detto, risolvibile?
Ho provato anche a risolvere l'equazione dei momenti rispetto al punto fisso(così non avevo il problema della reazione vincolare) uguagliando il tutto a zero , ho così trovato le possibili posizioni di equilibrio che però ho visto che non rispettano il sistema sopra detto fatto con le derivate parziali del potenziale (lo avrebbero dovuto rispettare).
b) Per scoprire se il sistema può compiere moti piani si può proiettare la prima equazione cardinale sull'asse perpendicolare al piano del moto o occorre fare altro?
Grazie per l'attenzione e l'eventuale collaborazione.
Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare pesante omogenea di massa m e raggio r con un elemento del bordo fisso rispetto a un osservatore terrestre e vincolata a muoversi mantenendosi sempre verticale. Sull'elemento del bordo del disco opposto a quello fisso agisce la forza elastica di costante k e centro posto alla stessa quota del punto occupato costantemente dall'elemento fisso del disco e a distanza 4r da esso.
Si riconosca che il sistema è a due gradi di libertà e...(chiede poi le equazioni pure del moto, le configurazioni di equilibrio e la loro stabilità, chiede se il sistema può compiere moti piani...).
a) Io sto impazzendo perchè con tutte le coppie di coordinate lagrangiane che ho preso per una posizione generica del disco, dopo aver trovato l'espressione del potenziale, mi viene sempre fuori un sistema per trovare le posizioni di equilibrio (quello fatto con le derivate parziali prime del potenziale rispetto alle coordinate scelte, uguali a zero) praticamente impossibile da risolvere e quindi poi non posso studiare la stabilità delle stesse e tutto il resto.
Potreste darmi un'idea su come posso fare? Ci sono coordinate che portano a un sistema come sopra detto, risolvibile?
Ho provato anche a risolvere l'equazione dei momenti rispetto al punto fisso(così non avevo il problema della reazione vincolare) uguagliando il tutto a zero , ho così trovato le possibili posizioni di equilibrio che però ho visto che non rispettano il sistema sopra detto fatto con le derivate parziali del potenziale (lo avrebbero dovuto rispettare).
b) Per scoprire se il sistema può compiere moti piani si può proiettare la prima equazione cardinale sull'asse perpendicolare al piano del moto o occorre fare altro?
Grazie per l'attenzione e l'eventuale collaborazione.
Risposte
l'ideale sarebbe che tu posta un'immagine del sistema....e i tuoi conti così possiamo dargli un'occhiata 
Ecco i calcoli svolti:
se $\phi$ è un parametro lagrangiano non puoi ometterlo!
Devi trovarne uno in funzione dell'altro e risolvere il sistema.....non si capisce tanto da quel disegno.
Edit: ad esempio non capisco perchè la coordinata $y$ di $G$ l'hai scritta in funzione di $\phi$. Io credo che la formula corretta sia $G=R(\cos\theta\hat{e}_1+\sin\theta\hat{e}_2)$. Occhio poi a come scrivi il potenziale elastico. Il modulo di un vettore è solo la somma delle componenti al quadrato.
guardati questo esercizio (è il numero 3) è molto simile al tuo.
http://www.ing.unitn.it/~siboni/proveMR ... ug2005.pdf
o il numero 1 di questo:
http://www.ing.unitn.it/~siboni/proveMR ... et2007.pdf
in entrambi ci sono le soluzioni e sono spiegati davvero strabene.
Se hai ancora dubbi posta pure, ma cerca di essere un pò più ordinato perchè da quell'immagine non si capisce molto, anzi non vien nemmeno voglia di guardarla ad esser sincero. Soprattutto non si capisce qual è l'angolo $\phi$, anche perchè in teoria dovrebbe esser riferito ad un'asse fisso.
Devi trovarne uno in funzione dell'altro e risolvere il sistema.....non si capisce tanto da quel disegno.
Edit: ad esempio non capisco perchè la coordinata $y$ di $G$ l'hai scritta in funzione di $\phi$. Io credo che la formula corretta sia $G=R(\cos\theta\hat{e}_1+\sin\theta\hat{e}_2)$. Occhio poi a come scrivi il potenziale elastico. Il modulo di un vettore è solo la somma delle componenti al quadrato.
guardati questo esercizio (è il numero 3) è molto simile al tuo.
http://www.ing.unitn.it/~siboni/proveMR ... ug2005.pdf
o il numero 1 di questo:
http://www.ing.unitn.it/~siboni/proveMR ... et2007.pdf
in entrambi ci sono le soluzioni e sono spiegati davvero strabene.
Se hai ancora dubbi posta pure, ma cerca di essere un pò più ordinato perchè da quell'immagine non si capisce molto, anzi non vien nemmeno voglia di guardarla ad esser sincero. Soprattutto non si capisce qual è l'angolo $\phi$, anche perchè in teoria dovrebbe esser riferito ad un'asse fisso.
Caro Elwood, ti ringrazio moltissimo dell’aiuto fornitomi e degli esercizi del mitico Siboni.
Mi scuso per la scarsa chiarezza di quanto ho esposto(in più mi sono reso conto grazie a te di aver scelto l’angolo “phi” in maniera un po’ infelice).
Ho notato però che gli esercizi siboniani sono simili ma più facili rispetto al mio perché il punto di applicazione della forza elastica( “P” per me) o è diametralmente opposto al punto fisso o è addirittura il baricentro del disco.La difficoltà nel mio esercizio è proprio dettata dal fatto che P non è diametralmente opposto al punto fisso o coincide con il baricentro del disco(a quel punto avrei un grado di libertà invece di due) e non riesco a trovare due coordinate lagrangiane che mi forniscano contemporaneamente un’espressione abbordabile, per i calcoli successivi, per P e per il baricentro G che mi servono per il potenziale. Comunque ho fatto un altro tentativo che ti ho riportato spero più chiaramente qui sotto anche se non sono arrivato a nulla.Infatti alla fine ti prego, se puoi e se vuoi, di farmi vedere come lo risolveresti tu perché io ormai sono in tilt e non so più come fare.Grazie della collaborazione.
Mi scuso per la scarsa chiarezza di quanto ho esposto(in più mi sono reso conto grazie a te di aver scelto l’angolo “phi” in maniera un po’ infelice).
Ho notato però che gli esercizi siboniani sono simili ma più facili rispetto al mio perché il punto di applicazione della forza elastica( “P” per me) o è diametralmente opposto al punto fisso o è addirittura il baricentro del disco.La difficoltà nel mio esercizio è proprio dettata dal fatto che P non è diametralmente opposto al punto fisso o coincide con il baricentro del disco(a quel punto avrei un grado di libertà invece di due) e non riesco a trovare due coordinate lagrangiane che mi forniscano contemporaneamente un’espressione abbordabile, per i calcoli successivi, per P e per il baricentro G che mi servono per il potenziale. Comunque ho fatto un altro tentativo che ti ho riportato spero più chiaramente qui sotto anche se non sono arrivato a nulla.Infatti alla fine ti prego, se puoi e se vuoi, di farmi vedere come lo risolveresti tu perché io ormai sono in tilt e non so più come fare.Grazie della collaborazione.
Ps: assieme al testo non hai il disegno?
Perchè tu dici che il punto P non è diametralmente opposto.....invece dalla dicitura del testo io capirei di si:
Però in questo caso avresti solo un grado di libertà definito dall'angolo $\theta$.....
A meno che il fatto che dica
può riferirsi al fatto che possa anche traslare verticalmente....ma sinceramente non credo, perchè il punto è fisso.
Se dovessi risolverlo io metterei in campo l'ipotesi che il punto $P$ possa scorrere arbitrariamente lungo il bordo del disco.
Solo che mi ritrovo con un sistema abbastanza incasinato.....che almeno io come (quasi)ingegnere non saprei come risolvere, forse tu ce la faresti.
comunque controlla perchè magari ho sbagliato qualcosa:
$G-O=r\cos\theta\hat{e}_1+r\sin\theta\hat{e}_2$
$P-C=P-O-(C-O)=r(\cos\theta+\cos\phi)\hat{e}_1+r(\sin\theta+\sin\phi)\hat{e}_2-4r\hat{e}_1$
$U_g=-mgr\sin\theta$
$U_{el}=-k/2 |P-C|^2=-k/2[r(\cos\theta+\cos\phi-4)\hat{e}_1+r(\sin\theta+\sin\phi)\hat{e}_2]^2=-(kr^2)/2[-8\cos\theta+2\cos(\theta-\phi)-8cos\phi]+C$
$U_{\mbox{tot}}=-mgr\sin\theta-k/2 |P-C|^2=-k/2[r(\cos\theta+\cos\phi-4)\hat{e}_1+r(\sin\theta+\sin\phi)\hat{e}_2]^2=-(kr^2)/2[-8\cos\theta+2\cos(\theta-\phi)-8cos\phi]+C$
$\{(\frac{\partial U}{\partial\theta}=-\frac{2mg}{kr}\cos\theta-8\sin\theta+2\sin(\theta-\phi)=0),(\frac{\partial U}{\partial\phi}=-\frac{kr^2}{2}[2\sin(\theta-\phi)+8\sin\phi]=0):}$
Sicuramente si può risolvere, ma non saprei come......magari qualche affinato matematico ce la farebbe più facilmente.
Perchè tu dici che il punto P non è diametralmente opposto.....invece dalla dicitura del testo io capirei di si:
"petrol89":
Sull'elemento del bordo del disco opposto a quello fisso agisce la forza elastica di costante k e centro posto alla stessa quota del punto occupato costantemente dall'elemento fisso del disco e a distanza 4r da esso.
Però in questo caso avresti solo un grado di libertà definito dall'angolo $\theta$.....
A meno che il fatto che dica
"petrol89":
vincolata a muoversi mantenendosi sempre verticale
può riferirsi al fatto che possa anche traslare verticalmente....ma sinceramente non credo, perchè il punto è fisso.
Se dovessi risolverlo io metterei in campo l'ipotesi che il punto $P$ possa scorrere arbitrariamente lungo il bordo del disco.
Solo che mi ritrovo con un sistema abbastanza incasinato.....che almeno io come (quasi)ingegnere non saprei come risolvere, forse tu ce la faresti.
comunque controlla perchè magari ho sbagliato qualcosa:
$G-O=r\cos\theta\hat{e}_1+r\sin\theta\hat{e}_2$
$P-C=P-O-(C-O)=r(\cos\theta+\cos\phi)\hat{e}_1+r(\sin\theta+\sin\phi)\hat{e}_2-4r\hat{e}_1$
$U_g=-mgr\sin\theta$
$U_{el}=-k/2 |P-C|^2=-k/2[r(\cos\theta+\cos\phi-4)\hat{e}_1+r(\sin\theta+\sin\phi)\hat{e}_2]^2=-(kr^2)/2[-8\cos\theta+2\cos(\theta-\phi)-8cos\phi]+C$
$U_{\mbox{tot}}=-mgr\sin\theta-k/2 |P-C|^2=-k/2[r(\cos\theta+\cos\phi-4)\hat{e}_1+r(\sin\theta+\sin\phi)\hat{e}_2]^2=-(kr^2)/2[-8\cos\theta+2\cos(\theta-\phi)-8cos\phi]+C$
$\{(\frac{\partial U}{\partial\theta}=-\frac{2mg}{kr}\cos\theta-8\sin\theta+2\sin(\theta-\phi)=0),(\frac{\partial U}{\partial\phi}=-\frac{kr^2}{2}[2\sin(\theta-\phi)+8\sin\phi]=0):}$
Sicuramente si può risolvere, ma non saprei come......magari qualche affinato matematico ce la farebbe più facilmente.
Ti ringrazio Elwood, ora proverò a risolverlo con le tue coordinate lagrangiane e rifarò il tuo sistema.
Ti farò sapere.
Per quanto riguarda il disegno, magari ci fosse stato!!!!! C'era il testo nudo e crudo e basta.
Il prof di Meccanica Razionale che ha dato a un esame questo esercizio dice che i disegni e le coordinate lagrangiane le devono ricavare gli studenti da soli dal testo perchè è specialmente da lì che si capisce se sono preparati.(punti di vista).
Ciao.
Ti farò sapere.
Per quanto riguarda il disegno, magari ci fosse stato!!!!! C'era il testo nudo e crudo e basta.
Il prof di Meccanica Razionale che ha dato a un esame questo esercizio dice che i disegni e le coordinate lagrangiane le devono ricavare gli studenti da soli dal testo perchè è specialmente da lì che si capisce se sono preparati.(punti di vista).
Ciao.
Sei riuscito?
Non mi sono messo a svolgerlo questo problema, quindi non ho equazioni in mano.
Mi pare che il testo dell'esercizio sia stato interpretato un po' male.
Dal testo si deduce che il punto P è fisso rispetto al disco e che il disco è vincolato a ruotare mantenedosi verticale, che non è uguale a dire "mantenendosi sullo stesso piano verticale tale che entrambi i punti fissi (quello del disco e quello della molla) appartengano al piano".
L'ulteriore grado di libertà direi che è dato dalla rotazione del disco attorno all'asse y
Mi pare che il testo dell'esercizio sia stato interpretato un po' male.
Dal testo si deduce che il punto P è fisso rispetto al disco e che il disco è vincolato a ruotare mantenedosi verticale, che non è uguale a dire "mantenendosi sullo stesso piano verticale tale che entrambi i punti fissi (quello del disco e quello della molla) appartengano al piano".
L'ulteriore grado di libertà direi che è dato dalla rotazione del disco attorno all'asse y
"nnsoxke":
Non mi sono messo a svolgerlo questo problema, quindi non ho equazioni in mano.
Mi pare che il testo dell'esercizio sia stato interpretato un po' male.
Dal testo si deduce che il punto P è fisso rispetto al disco e che il disco è vincolato a ruotare mantenedosi verticale, che non è uguale a dire "mantenendosi sullo stesso piano verticale tale che entrambi i punti fissi (quello del disco e quello della molla) appartengano al piano".
L'ulteriore grado di libertà direi che è dato dalla rotazione del disco attorno all'asse y
Anch'io pensavo ad una cosa analoga, ma la rotazione attorno all'asse y la descrivi con l'unico angolo $\thetha$
"ELWOOD":
[quote="nnsoxke"]Non mi sono messo a svolgerlo questo problema, quindi non ho equazioni in mano.
Mi pare che il testo dell'esercizio sia stato interpretato un po' male.
Dal testo si deduce che il punto P è fisso rispetto al disco e che il disco è vincolato a ruotare mantenedosi verticale, che non è uguale a dire "mantenendosi sullo stesso piano verticale tale che entrambi i punti fissi (quello del disco e quello della molla) appartengano al piano".
L'ulteriore grado di libertà direi che è dato dalla rotazione del disco attorno all'asse y
Anch'io pensavo ad una cosa analoga, ma la rotazione attorno all'asse y la descrivi con l'unico angolo $\thetha$[/quote]
L'angolo $\thetha$ descrive la rotazione attorno all'asse z. Se non c'è rotazione attorno all'asse y il sistema ha un solo grado di libertà, quindi la configurazione non deve essere espressa mediante due parametri, ma uno solo.
....anche se nel suo problema gli veniva fatto notare esplicitamente che ha 2 gradi di libertà
Da come è formulato il problema, riesco a vedere un solo grado di libertà.
Con riferimento alla figura, risulta che
$\vecF_(el)=k\vec(PQ)=2rk(-cos\theta,2-sin\theta)$ e quindi $U_(el)=-8kr^2sin\theta$
La lagrangiana è quindi $1/2 I ((d\theta)/(dt))^2+8kr^2sin\theta-mgr(1-cos\theta)$, dove I è il momento d'inerzia della piastra intorno a O.
Per $tg\theta=(8kr)/(mg)$ si ha un minimo dell’energia potenziale.
Non ho controllato i calcoli per cui forse ci sono degli errori.
Vi ringrazio tutti per la collaborazione e mi scuso con Elwood se non ho risposto subito per alcuni problemi che ho avuto in questi giorni.
Comunque la questione è tutta nei due gradi di libertà perchè con uno solo è chiarissima la soluzione (l'avevo svolta sin dal primo momento).
Finora non sono riuscito a trovare le posizioni di equilibrio con due gradi di libertà, i sistemi che escono fuori non portano a soluzioni.
Ho anche sottoposto la questione a un bravo matematico come mi suggeriva Elwood, ma, al momento, ancora non mi ha risposto(in genere rispondeva subito), e comunque lui faceva l'ipotesi, che a questo punto comincio a pensare anch'io visti anche i vostri tentativi, che il professore abbia pensato al sistema a due gradi di libertà forse rendendosi conto in seguito che il problema si poteva risolvere solo con un grado di libertà (certo il "trovare LE equazioni pure del moto e non LA equazione pura del moto " della prima domanda fa sempre pensare che si possa risolvere con 2 anzichè con 1 grado di libertà; poveracci quelli che hanno avuto questo esercizio alla prova scritta d'esame).
Fatemi sapere se trovate altro perchè io a questo punto mi arrendo.
In seguito l'esercizio chiedeva di dire "se il sistema può compiere moti piani": può bastare la proiezione della prima equazione cardinale sull'asse perpendicolare al piano del moto (z) o occorre seguire un'altra strada secondo voi ?
Arigrazie e scusate il trambusto attorno a questo esercizio, anche se il bello di questo Forum penso sia proprio questo: lo scambio di idee e l'aiuto reciproco.
Ciao a tutti.
P.S. Ho il MATHPLAYER installato (con Internet Explorer), però le formule non me le visualizza per nulla, cosa posso fare?
Il test d'installazione è positivo cioè mi dice che secondo lui il MathPlayer è installato correttamente ma, in pratica, è come se non ci fosse(tutte a me...).
Comunque la questione è tutta nei due gradi di libertà perchè con uno solo è chiarissima la soluzione (l'avevo svolta sin dal primo momento).
Finora non sono riuscito a trovare le posizioni di equilibrio con due gradi di libertà, i sistemi che escono fuori non portano a soluzioni.
Ho anche sottoposto la questione a un bravo matematico come mi suggeriva Elwood, ma, al momento, ancora non mi ha risposto(in genere rispondeva subito), e comunque lui faceva l'ipotesi, che a questo punto comincio a pensare anch'io visti anche i vostri tentativi, che il professore abbia pensato al sistema a due gradi di libertà forse rendendosi conto in seguito che il problema si poteva risolvere solo con un grado di libertà (certo il "trovare LE equazioni pure del moto e non LA equazione pura del moto " della prima domanda fa sempre pensare che si possa risolvere con 2 anzichè con 1 grado di libertà; poveracci quelli che hanno avuto questo esercizio alla prova scritta d'esame).
Fatemi sapere se trovate altro perchè io a questo punto mi arrendo.
In seguito l'esercizio chiedeva di dire "se il sistema può compiere moti piani": può bastare la proiezione della prima equazione cardinale sull'asse perpendicolare al piano del moto (z) o occorre seguire un'altra strada secondo voi ?
Arigrazie e scusate il trambusto attorno a questo esercizio, anche se il bello di questo Forum penso sia proprio questo: lo scambio di idee e l'aiuto reciproco.
Ciao a tutti.
P.S. Ho il MATHPLAYER installato (con Internet Explorer), però le formule non me le visualizza per nulla, cosa posso fare?
Il test d'installazione è positivo cioè mi dice che secondo lui il MathPlayer è installato correttamente ma, in pratica, è come se non ci fosse(tutte a me...).
"nnsoxke":
Dal testo si deduce che il punto P è fisso rispetto al disco e che il disco è vincolato a ruotare mantenedosi verticale, che non è uguale a dire "mantenendosi sullo stesso piano verticale tale che entrambi i punti fissi (quello del disco e quello della molla) appartengano al piano".
L'ulteriore grado di libertà direi che è dato dalla rotazione del disco attorno all'asse y
Mi ero dimenticato di questo. Ecco l'ulteriore grado di libertà.
Infatti il testo richiede anche di verificare dalle equazioni se sono possibili moti piani.
Giusto!!!!!!
Perchè non ci ho pensato all'inizio!
In effetti mi ero chiesto il perchè della domanda dei moti piani visto che, non avendo ben riflettuto sulla "verticalità" del moto della lamina, ho fatto muovere la stessa solo nel piano xy, quindi mi dicevo:"ma il moto è già piano..."
Se ci fosse stata la figura, come nel 95% dei testi d'esame di meccanica razionale oserei dire nel mondo, non ci sarebbe stato alcun problema!
Ora ho provato a risolverlo con questi due gradi di libertà : l'angolo tra il piano del moto della lamina e l'asse x, e l'angolo tra il segmento che congiunge i due punti fissi ( O e P, diametralmente opposti, ora sì,delle mie figure precedenti) e l'orizzontale per O sul piano stesso del moto intorno a O della lamina, e sono finalmente pervenuto a due posizioni di equilibrio la cui stabilità ho analizzato però con l'andamento grafico del potenziale perchè, a meno che non abbia commesso errori, l'hessiano mi viene, nelle due posizioni, negativo, mentre con lo studio del potenziale viene una stabile e l'altra instabile.
Immagino poi che i moti piani siano quelli che soddisfano le equazioni del moto (che ho ottenuto con Lagrange per i due gradi di libertà) ponendo uguale a zero l'angolo di rotazione del piano della lamina attorno all'asse y in funzione del tempo e le sue derivate prima e seconda rispetto al tempo (o no ?? ).
Many, many thanks.
Perchè non ci ho pensato all'inizio!
In effetti mi ero chiesto il perchè della domanda dei moti piani visto che, non avendo ben riflettuto sulla "verticalità" del moto della lamina, ho fatto muovere la stessa solo nel piano xy, quindi mi dicevo:"ma il moto è già piano..."
Se ci fosse stata la figura, come nel 95% dei testi d'esame di meccanica razionale oserei dire nel mondo, non ci sarebbe stato alcun problema!
Ora ho provato a risolverlo con questi due gradi di libertà : l'angolo tra il piano del moto della lamina e l'asse x, e l'angolo tra il segmento che congiunge i due punti fissi ( O e P, diametralmente opposti, ora sì,delle mie figure precedenti) e l'orizzontale per O sul piano stesso del moto intorno a O della lamina, e sono finalmente pervenuto a due posizioni di equilibrio la cui stabilità ho analizzato però con l'andamento grafico del potenziale perchè, a meno che non abbia commesso errori, l'hessiano mi viene, nelle due posizioni, negativo, mentre con lo studio del potenziale viene una stabile e l'altra instabile.
Immagino poi che i moti piani siano quelli che soddisfano le equazioni del moto (che ho ottenuto con Lagrange per i due gradi di libertà) ponendo uguale a zero l'angolo di rotazione del piano della lamina attorno all'asse y in funzione del tempo e le sue derivate prima e seconda rispetto al tempo (o no ?? ).
Many, many thanks.
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