Quesito di Fisica 2

[Mike November]

Buonasera, recentemente mi sono imbattuto in un esercizio di Fisica 2 che non riesco a risolvere.
Testo:
Una distribuzione volumica di carica elettrica `e contenuta tra due superfici cilindriche indefinite e coassiali,
la prima di raggio R = 0.0594 m e la seconda di raggio 2R. La distribuzione ha simmetria cilindrica
(il suo valore dipende solamente dalla distanza dall’asse comune delle due superfici cilindriche) ed è in
rotazione attorno all’asse delle superfici cilindriche con velocità angolare ω = 10.4 × 103 $(rad)/s$ e genera un
campo magnetico parallelo all’asse delle superfici cilindriche la cui intensità è B(r) = $(B_0R)/r$ all’interno della
distribuzione di carica, con $B_0$ = 0.0722 gauss e r distanza dall’asse delle superfici cilindriche.
Determinare il valore della densità di carica elettrica, in $C/m^3$, in un punto P che si trova alla distanza $3/2R$ dall’asse comune delle due superfici cilindriche.

Ho provato a risolverlo in diversi metodi:
Ho provato a impostare l'equilibrio imponendo l'uguaglianza tra la forza centrifuga e la forza di attrazione (come nell'esericizio 361 del cap 21 Irodov) prima usando un elementino volumetrico dq e poi calcolando J (densità di corrente). In entrambi i casi ottengo un risultato sbagliato.

Ringrazio in anticipo chi mi può aiutare, ma ci sto un po' ammattendo... grazie.

[Quinzio]

Ciao e benvenuto.
L'idea di fare il bilancio tra la forza centrifuga e di attrazione potrebbe essere uno spunto interessante, ma se ci pensi un attimo le cariche dello stesso segno si respingono, non si attraggono, per cui questa carica sarebbe spinta all'esterno del cavo coassiale.
Quello che devi immaginare e' un solenoide.
https://it.wikipedia.org/wiki/Solenoide#Funzionamento
Il campo magnetico all'interno di un solenoide ideale e di lunghezza infinita e':
$$B[T] =\mu \frac{N I}{\ell}$$
mentre all'esterno il campo e' zero (importantissimo !).
Siccome nel nostro caso non ci sono le spire, ma c'e' una corrente uniforme nello strato cilindrico, sostituiamo $N I$ con una generica corrente $I$, e \( \ell \) diventa $1$ per una lunghezza unitaria di cavo coassiale.
La nostra formula diventa $$B[T] =\mu \ I\ $$
Quindi la densita' di corrente in un singolo punto e' $$j\left[ \frac{A}{m^2} \right] = q(r)\ r\ \omega $$.
Ora dobbiamo trovare la corrente complessiva che scorre in una sezione longitudinale del cavo di lunghezza unitaria, sezione che va da un raggio $r$ fino a $2R$

Il seguito NON e' corretto.

$$I \ [A] = \int_{r}^{2R} j\ d\rho = \int_{r}^{2R} q(\rho)\ \rho\ \omega\ d\rho = \frac{1}{2} q(r)\ \omega\ (4R^2 - r^2) $$

Quindi non rimane che uguagliare il campo col risultato desiderato:
$$B[T] =\mu \ I\ = \frac{1}{2} \mu \ q(r)\ \omega\ (4R^2 - r^2) = \frac{B_0\ R}{r} $$

da cui

$$q(r) = \frac{2\ B_0\ R}{ \mu \ \omega\ (4R^2 - r^2)\ r} $$

Sostituisci $r$ con $3/2 R$ e dovresti controllare che il risultato sia quello del libro.

[ingres]

Ciao Quinzio, eseguendo l'analisi in altro modo mi è venuto un risultato leggermente diverso. Lo posto come possibile alternativa, da verificare con il risultato del libro. Consideriamo comunque il tutto come un solenoide indefinito. La corrente dI associata ad una corona cilindrica di raggio r e lunghezza L è data da:

$dI = r*omega*L*q(r)dr$

Applico il teorema di Ampere ad una linea fatta a rettangolo che taglia trasversalmente il solenoide e ha un lato coincidente con l'asse del solenoide e l'altro parallelo a questo ma a distanza r dal centro con r>R. Eseguendo la circuitazione del campo e supponendo che in tutto il solenoide per r
$B_0/mu*L - B_0/mu*R/r*L = int_R^r(dI)=int_R^r s*omega*L*q(s)ds$

derivando rispetto ad r ambo i membri di questa relazione si ottiene

$B_0/mu*R/r^2=r*omega*q(r)$

$q(r) = B_0/(mu*omega)*R/r^3$

$q(3/2R)=8/27*B_0/(mu*omega*R^2)$

[Quinzio]

Certamente, ho risolto l'integrale come se $q(r)$ fosse una costante, ma invece e' funzione di $r$.

D'altra parte mi spiace ma la tua soluzione ha un problema di concetto.
Quando hai un equazione con un integrale definito devi usare una variabile diversa per l'integrale, altrimenti si arriva a delle contraddizioni.
Mi spiego con un semplice esempio:
$x = \int_1^x f(x) dx$
derivo
$1 = f(x)$,
quindi $f(x) = 1$.
Ma se sostituisco $f(x)$ nell'integrale:
$x = \int_1^x 1 dx$
$x = x |_1^x$
$x = x-1$
$0 = 1$ ???

[ingres]

No, il fatto che gli integrali siano uguali tra 2 funzioni implica, sotto certe condizioni, che siano uguali le derivate, ma non è vero il viceversa perchè possono sempre differire per una costante. Bisogna che sia già corretta la base di partenza.

Infatti se prendo il tuo esempio è errata l'uguaglianza iniziale. Infatti per x=1 risulta subito
$ 1 = int_1^1 f(x)dx= 0$

Se poi l'obiezione è solo relativa ad usare una variabile tipo "s" invece di "r" nell'integrale hai invece ragione. Formalmente è sempre meglio distinguere la variabile di integrazione da quella degli estremi a prescindere dal tipo di integrale. Correggo di conseguenza.