Quesiti (tecnici) relatività generale
Sto studiando relatività generale dal libro di Landau, so che navigatore ed Arturo conoscono questo libro, magari uno di loro o qualcun altro sarà così gentile da aiutarmi.
Abbiamo una metrica non dipendente dal tempo, allora l'elemento di distanza spaziale è scritto come
$dl^2=gamma_(alphabeta)dx^alphadx^beta$
La curvatura dello spazio è determinata dal tensore di curvatura tridimensionale $P_(alphabetagammadelta)$. Nel caso di una isotropia completa, il tesnore metrico deve esprimersi mediante il solo tensore metrico $gamma_(alphabeta)$ Tenendo conto delle simmetrie
$P_(alphabetagammadelta)=lambda(gamma_(alphabeta)gamma_(betadelta)-gamma_(alphadelta)gamma_(betagamma))$ dove $lambda$ è costante.
Il tensore di Ricci è $P_(alphabeta)=2lambdagamma_(alphabeta)$ (non è immediato ma ho fatto i calcoli e mi risulta uguale)
Fin qui tutto ok, la curvatura scalare invece non mi torna, il libro dice
$P=6lambda$ a me risulta $18lambda$.
Riporto i pasasggi:
$P=g^(ij)P_(ij)=gamma^(ij)P_(ij)=2lambdagamma^(ij)gamma_(ij)$
Ma $gamma^(im)gamma_(ij)=delta_i^m$ ed essendo $m=i$ sempre questa roba mi da $9$!
Cosa sto sbagliando? E' il capitolo $111$ del libro di Landau. Grazie dell'aiuto
Abbiamo una metrica non dipendente dal tempo, allora l'elemento di distanza spaziale è scritto come
$dl^2=gamma_(alphabeta)dx^alphadx^beta$
La curvatura dello spazio è determinata dal tensore di curvatura tridimensionale $P_(alphabetagammadelta)$. Nel caso di una isotropia completa, il tesnore metrico deve esprimersi mediante il solo tensore metrico $gamma_(alphabeta)$ Tenendo conto delle simmetrie
$P_(alphabetagammadelta)=lambda(gamma_(alphabeta)gamma_(betadelta)-gamma_(alphadelta)gamma_(betagamma))$ dove $lambda$ è costante.
Il tensore di Ricci è $P_(alphabeta)=2lambdagamma_(alphabeta)$ (non è immediato ma ho fatto i calcoli e mi risulta uguale)
Fin qui tutto ok, la curvatura scalare invece non mi torna, il libro dice
$P=6lambda$ a me risulta $18lambda$.
Riporto i pasasggi:
$P=g^(ij)P_(ij)=gamma^(ij)P_(ij)=2lambdagamma^(ij)gamma_(ij)$
Ma $gamma^(im)gamma_(ij)=delta_i^m$ ed essendo $m=i$ sempre questa roba mi da $9$!
Cosa sto sbagliando? E' il capitolo $111$ del libro di Landau. Grazie dell'aiuto
Risposte
Ho esplicitato $P$ come somma. Ci sono 9 addendi. Raggruppati a 3 a 3 in modo che il secondo indice in alto sia uguale al secondo indice in basso, si ottiene $2\lambda(1 + 1 + 1)=6\lambda$.
Il vecchio Lev Davidovic ha ragione
Il vecchio Lev Davidovic ha ragione
"Spremiagrumi":
Sto studiando relatività generale dal libro di Landau…
Ciao Spre' . Ti sei scelto il libro più difficile ! Ce ne sono di più semplici , per cominciare. Vediamo che posso dirti.
Abbiamo una metrica non dipendente dal tempo, allora l'elemento di distanza spaziale è scritto come
$dl^2=gamma_(alphabeta)dx^alphadx^beta$
Chiarisci per favore : vuoi calcolare solo la curvatura spaziale in uno spazio a 4 dimensioni , oppure sei in uno spazio a 3 dimensioni ? Mi sembra infatti che Landau usi il simbolo $\gamma$ per il tensore metrico spaziale, anziché il simbolo $g_(ab)$ che usa per lo spaziotempo a 4 dimensioni , e usa gli indici greci per indicare appunto le sole tre dimensioni spaziali $1,2,3$ , mentre usa gli indici latini quando considera lo spazio 4-dimensionale. Se sei in 4 dimensioni, pur essendo la metrica indipendente dal tempo non puoi ignorare la coppia di indici temporali $(00)$ (supponiamo metrica diagonale) e di conseguenza le componenti del tensore di curvatura relative, che magari verranno tutte nulle, non lo so , dovrei mettermi a calcolarle.
La curvatura dello spazio è determinata dal tensore di curvatura tridimensionale $P_(alphabetagammadelta)$. Nel caso di una isotropia completa, il tensore metrico deve esprimersi mediante il solo tensore metrico $gamma_(alphabeta)$ …..
Quindi stai parlando di "curvatura dello spazio" anziché dello spaziotempo, il che confermerebbe la mia ipotesi di sopra che sei in tre dimensioni ?
…..Tenendo conto delle simmetrie : $P_(alphabetagammadelta)=lambda(gamma_(alphabeta)gamma_(betadelta)-gamma_(alphadelta)gamma_(betagamma))$ dove $lambda$ è costante.
Il tensore di Ricci è $P_(alphabeta)=2lambdagamma_(alphabeta)$ (non è immediato ma ho fatto i calcoli e mi risulta uguale)
Le coppie di indici, ripeto in tre dimensioni, possono assumere solo i valori $12 , 13 , 23$, e permutando le coppie cambia solo il segno oppure la componente di $P_(alphabetagammadelta) $ si annulla. Perciò nel caso di spazio 3-dimensionale hai solo $(3*2)/2 = 3 $ componenti del tensore di curvatura distinte.
Fin qui tutto ok, la curvatura scalare invece non mi torna, il libro dice
$P=6lambda$ a me risulta $18lambda$.
Riporto i pasasggi:
$P=g^(ij)P_(ij)=gamma^(ij)P_(ij)=2lambdagamma^(ij)gamma_(ij)$
Ma $gamma^(im)gamma_(ij)=delta_i^m$ ed essendo $m=i$ sempre questa roba mi da $9$!
Cosa sto sbagliando? E' il capitolo $111$ del libro di Landau. Grazie dell'aiuto
Sei sicuro di aver fatto bene il calcolo dei simboli di Christoffel, e del tensore di Ricci , che si ottiene dalla contrazione di $P_(alphabetagammadelta)$ con la forma controvariante $\gamma^(\mu\nu)$ del tensore metrico?
Questa scrittura :$gamma^(im)gamma_(ij)=delta_i^m$ non è corretta, è uguale a $delta_j^m$ , non puoi ripetere un indice tre volte. Ma forse è un errore di battitura , visto che scrivi alle 3 di notte !
Riguardati tutti i passaggi. Con questi simboli e indici tensoriali c'è sempre da sbattere la testa, l'errore è dietro l'angolo.
EDIT : Nel frattempo ha scritto Arturo. Allora sei in 4 dimensioni . E allora va bene ciò che dicono Arturo e Landau.
Buongiorno Navigatore, per caso tu ed io soffriamo di insonnia?
Buongiorno anche a te Arturo !
Sono solito accendere il computer appena mi sveglio, e se qualcosa mi stimola provo a rispondere subito. Ma un po' di insonnia a una certa età è quasi fisiologica.
Invece, mettersi a studiare relatività generale e postare alle 3 di notte è un po' fuori dagli schemi…ma il nostro amico Spre' è giovane, immagino, e ora lui starà nelle braccia di Morfeo…dopo una nottata tra pizzeria, discoteca, e Landau….
Sono solito accendere il computer appena mi sveglio, e se qualcosa mi stimola provo a rispondere subito. Ma un po' di insonnia a una certa età è quasi fisiologica.
Invece, mettersi a studiare relatività generale e postare alle 3 di notte è un po' fuori dagli schemi…ma il nostro amico Spre' è giovane, immagino, e ora lui starà nelle braccia di Morfeo…dopo una nottata tra pizzeria, discoteca, e Landau….
Io dormo poco e male, ma il rovescio della medaglia è che così sono stimolato a pensare
Questa notte, per esempio, ho coniato un neologismo in ambito filosofico (la filosofia è la mia attuale passione). Ne ero felicissimo... poi, stamattina, sono andato subito su google e, brutta sorpresa, la parola esisteva già... un buon motivo per un'altra notte di pensate...
Questa notte, per esempio, ho coniato un neologismo in ambito filosofico (la filosofia è la mia attuale passione). Ne ero felicissimo... poi, stamattina, sono andato subito su google e, brutta sorpresa, la parola esisteva già... un buon motivo per un'altra notte di pensate...
Innanzitutto grazie per le risposte, uso sempre gamma perché gli elementi del tensore metrico con $0$ sono nulli
Si, questo è solo un errore di battitura
Per quanto riguarda il tensore di Ricci lo ho calcolato così (uso abcd anzi che le lettere greche) e ponendo $lambda=1$
$P_(bcd)^(m)=gamma^(ma)P_(abcd)=gamma^(am)gamma_(ac)gamma_(bd)-gamma^(am)gamma_(ad)gamma_(bc)=delta_c^mgamma_(bd)-delta_d^mgamma_(bc)$
Adesso contraendo $m e c$ ottengo
$delta_c^cgamma_(bd)-delta_d^cgamma_(bc)$ Per qualsiasi valore di $b,d$ ottengo $2gamma_(bd)$
Se poniamo $a=d$ otteniamo il risultato del libro. Penso questi passaggi siano giusti senza scomodare i simboli di Chris. Ho ragione?
Io facevo questo errore, esplicitando
$gamma^(ab)gamma_(ab)=gamma^(11)gamma_(11)+gamma^(12)gamma_(12)+gamma^(13)gamma_(13)+gamma^(21)gamma_(21)+gamma^(22)gamma_(22)+gamma^(23)gamma_(23)+gamma^(31)gamma_(31)+gamma^(32)gamma_(32)+gamma^(33)gamma_(33)$
pensavo che la relazione $ gamma^(im)gamma_(ij)=delta_m^j $ mi dicesse che ognuna di quelle componenti è uguale a $1$
invece non è così, devo fare la somma sugli $i$ e tutto quello mi da $1$. Anche se le ho capite non ho ancora la confidenza necessaria per maneggiarle sempre e comunque con sicurezza queste formule...
Appunto
Togli discoteca e pizzeria e hai indovinato la serata. Di notte studio meglio che c'è più silenzio e mi distraggo meno anche se faccio più errori e sono più lento.
Ti devo dire che lo trovo difficile ma non impossibile. A parte qualcosina qua e la sono riuscito a seguirlo bene fino alle equazioni di Einstein. Certo che quando ti dice "si vede immediatamente che..." e a te servono 2 ore per dimostrarlo prende un po' alle palle. Questo non era così difficile tutto sommato, mi stavo perdendo io.
Che libri consigli? Nel barone c'è solo un capitoletto.
$ gamma^(im)gamma_(ij)=delta_i^m $
Si, questo è solo un errore di battitura
Per quanto riguarda il tensore di Ricci lo ho calcolato così (uso abcd anzi che le lettere greche) e ponendo $lambda=1$
$P_(bcd)^(m)=gamma^(ma)P_(abcd)=gamma^(am)gamma_(ac)gamma_(bd)-gamma^(am)gamma_(ad)gamma_(bc)=delta_c^mgamma_(bd)-delta_d^mgamma_(bc)$
Adesso contraendo $m e c$ ottengo
$delta_c^cgamma_(bd)-delta_d^cgamma_(bc)$ Per qualsiasi valore di $b,d$ ottengo $2gamma_(bd)$
Se poniamo $a=d$ otteniamo il risultato del libro. Penso questi passaggi siano giusti senza scomodare i simboli di Chris. Ho ragione?
"anonymous_ad4c4b":
Ho esplicitato P come somma. Ci sono 9 addendi. Raggruppati a 3 a 3 in modo che il secondo indice in alto sia uguale al secondo indice in basso, si ottiene 2λ(1+1+1)=6λ.
Il vecchio Lev Davidovic ha ragione
Io facevo questo errore, esplicitando
$gamma^(ab)gamma_(ab)=gamma^(11)gamma_(11)+gamma^(12)gamma_(12)+gamma^(13)gamma_(13)+gamma^(21)gamma_(21)+gamma^(22)gamma_(22)+gamma^(23)gamma_(23)+gamma^(31)gamma_(31)+gamma^(32)gamma_(32)+gamma^(33)gamma_(33)$
pensavo che la relazione $ gamma^(im)gamma_(ij)=delta_m^j $ mi dicesse che ognuna di quelle componenti è uguale a $1$
invece non è così, devo fare la somma sugli $i$ e tutto quello mi da $1$. Anche se le ho capite non ho ancora la confidenza necessaria per maneggiarle sempre e comunque con sicurezza queste formule...
Riguardati tutti i passaggi. Con questi simboli e indici tensoriali c'è sempre da sbattere la testa, l'errore è dietro l'angolo.
Appunto
Invece, mettersi a studiare relatività generale e postare alle 3 di notte è un po' fuori dagli schemi…ma il nostro amico Spre' è giovane, immagino, e ora lui starà nelle braccia di Morfeo…dopo una nottata tra pizzeria, discoteca, e Landau….
Togli discoteca e pizzeria e hai indovinato la serata. Di notte studio meglio che c'è più silenzio e mi distraggo meno anche se faccio più errori e sono più lento.
Ti sei scelto il libro più difficile ! Ce ne sono di più semplici , per cominciare
Ti devo dire che lo trovo difficile ma non impossibile. A parte qualcosina qua e la sono riuscito a seguirlo bene fino alle equazioni di Einstein. Certo che quando ti dice "si vede immediatamente che..." e a te servono 2 ore per dimostrarlo prende un po' alle palle. Questo non era così difficile tutto sommato, mi stavo perdendo io.
Che libri consigli? Nel barone c'è solo un capitoletto.
Le bibbie della RG sono:
http://www.amazon.com/Gravitation-Physi ... 0716703440
http://www.amazon.com/Gravitation-Cosmo ... 2A1EQS7D5K
Ma il Landau non sfigura affatto.
Poi c'è anche Hawking:
http://books.google.it/books/about/The_ ... edir_esc=y
Ci sono anche un sacco di testi contemporanei. Io ho il Gasperini (uno dei creatori della teoria delle stringhe, mio concittadino), ma non l'ho ancora letto e non so se lo farò mai (per me il tempo stringe)
http://www.amazon.com/Gravitation-Physi ... 0716703440
http://www.amazon.com/Gravitation-Cosmo ... 2A1EQS7D5K
Ma il Landau non sfigura affatto.
Poi c'è anche Hawking:
http://books.google.it/books/about/The_ ... edir_esc=y
Ci sono anche un sacco di testi contemporanei. Io ho il Gasperini (uno dei creatori della teoria delle stringhe, mio concittadino), ma non l'ho ancora letto e non so se lo farò mai (per me il tempo stringe
)
Ps. Per il calcolo tensoriale ti consiglio l'ottimo Maxima che è anche gratis
"Spremiagrumi":
………..
Per quanto riguarda il tensore di Ricci lo ho calcolato così (uso abcd anzi che le lettere greche) e ponendo $lambda=1$
$P_(bcd)^(m)=gamma^(ma)P_(abcd)=gamma^(am)gamma_(ac)gamma_(bd)-gamma^(am)gamma_(ad)gamma_(bc)=delta_c^mgamma_(bd)-delta_d^mgamma_(bc)$
Adesso contraendo $m e c$ ottengo
$delta_c^cgamma_(bd)-delta_d^cgamma_(bc)$ Per qualsiasi valore di $b,d$ ottengo $2gamma_(bd)$
Se poniamo $a=d$ otteniamo il risultato del libro. Penso questi passaggi siano giusti senza scomodare i simboli di Chris. Ho ragione?
In questo caso puoi fare così, perché in sostanza il tensore di Riemann ce l'hai già, te lo ha dato lui per le tre dimensioni spaziali . Ma nel caso generale la procedura è quella standard :
1- siamo in uno spazio a 4 dimensioni ;
2-il tensore metrico è dato in genere in forma covariante : $ g_(munu)$
3-se la metrica è diagonale per motivi di simmetria, la forma controvariante del tensore metrico è immediata :
$g^(munu) = 1/g_(munu)$
4-dai coefficienti della metrica ti calcoli i simboli di Christoffel :
$\Gamma_(munu)^alpha = 1/2g^(alphabeta) ( g_(betamu,nu) + g_(betanu,mu) - g_(munu,beta))$
nei quali molti termini sono nulli, per esempio tutti quelli dove il fattore esterno $ g^(alphabeta) = 0 $ perché $alpha \ne beta$
5 - dai simboli di Chris ti calcoli le componenti del tensore di Riemann (che non scrivo per pigrizia) in forma (1,3)
6- contrai il primo col terzo indice per ricavare Ricci : $R_(munu)$
7- innalzi ancora un indice di questo col tensore metrico , e contrai ulteriormente per ricavare lo scalare di curvatura .
Ecco, in pratica il Landau ti ha dato direttamente il tensore di Riemann (3d) , sia pure in forma completamente covariante , per cui hai dovuto prima innalzare un indice per trovare Ricci : passaggio 6, e poi ricavare lo scalare di curvatura , passaggio 7.
Io mi sono fatto una sola volta tutto il percorso standard per trovare il $ds^2$ di Schwarzschild, e ho scritto 10 fogli a mano. Mai più ripetuto.
"anonymous_ad4c4b":
Ho esplicitato P come somma. Ci sono 9 addendi. Raggruppati a 3 a 3 in modo che il secondo indice in alto sia uguale al secondo indice in basso, si ottiene 2λ(1+1+1)=6λ.
Il vecchio Lev Davidovic ha ragione
Io facevo questo errore, esplicitando
$gamma^(ab)gamma_(ab)=gamma^(11)gamma_(11)+gamma^(12)gamma_(12)+gamma^(13)gamma_(13)+gamma^(21)gamma_(21)+gamma^(22)gamma_(22)+gamma^(23)gamma_(23)+gamma^(31)gamma_(31)+gamma^(32)gamma_(32)+gamma^(33)gamma_(33)$
pensavo che la relazione $ gamma^(im)gamma_(ij)=delta_m^j $ mi dicesse che ognuna di quelle componenti è uguale a $1$
invece non è così, devo fare la somma sugli $i$ e tutto quello mi da $1$. Anche se le ho capite non ho ancora la confidenza necessaria per maneggiarle sempre e comunque con sicurezza queste formule…
Il simbolo di Kronecker dà valori nulli quando i due indici sono diversi, dà il valore $1$ quando gli indici sono uguali. Basta questo per dire quanto fa la somma: la traccia di $\delta_m^j$ è uguale a 3 .
…..
Che libri consigli? Nel barone c'è solo un capitoletto.
Si, Barone ha solo il capitolo finale. Io sono affezionato al libro di Schutz : "A first course in general relativity" :
http://www.amazon.com/A-First-Course-Ge ... nk20267-20
C'è anche il libro di Ray D'Inverno , ma nella traduzione italiana ci sono vari errori di stampa. Poi ce ne sono tanti altri, anche in rete si trovano ottimi appunti. Per esempio :
http://www.bo.infn.it/~ravanini/relativity/Generale.pdf
oppure le lezioni di Valeria Ferrari: http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... 14_15.html
oppure Sean Carroll :
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019
Grazie per i consigli sui libri ad entrambi. Relatività generale lo studierò "ufficialmente" solamente l'anno prossimo, sicuramente questi titoli mi saranno utili.
Ad Arturo, dove lo posso scaricare questo maxima?
Ad Arturo, dove lo posso scaricare questo maxima?
On line Ti consiglio la versione WXMaxima per windows o linux, perchè ci sono dei menù a tendina zeppi di routines già confezionate. Se usi mac, non saprei.
Ti consiglio la versione WXMaxima per windows o linux, perchè ci sono dei menù a tendina zeppi di routines già confezionate. Se usi mac, non saprei.
Nel mio corso di Relatività Generale usiamo R. Wald - General Relativity. A quanto mi dicono si accopia bene a S. Hawking, G. Ellis. Da quanto ho potuto leggere finora è carino. Il primo capitolo di Hawking, Ellis invece secondo me è un elenco di cose che si presuppone che tu sappia già da un corso di Geometria Differenziale.
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