Quesiti di Fisica
Ho una serie di quesiti che durante lo studio mi tormentano. C'è qualcuno che può darmi una risposta per questi sei quesiti?
1) Lo spostamento angolare è un vettore?
2) Lo spostamento angolare considerato nel piano è un vettore?
3) Lo spostamento angolare considerato nello spazio è un vettore?
4) La velocità angolare è un vettore?
5) La velocità angolare considerata nel piano è un vettore?
6) La velocità angolare considerata nello spazio è un vettore?
Gradirei se potesse spiegarmi anche il perchè del si o del no per ogni quesito.
1) Lo spostamento angolare è un vettore?
2) Lo spostamento angolare considerato nel piano è un vettore?
3) Lo spostamento angolare considerato nello spazio è un vettore?
4) La velocità angolare è un vettore?
5) La velocità angolare considerata nel piano è un vettore?
6) La velocità angolare considerata nello spazio è un vettore?
Gradirei se potesse spiegarmi anche il perchè del si o del no per ogni quesito.
Risposte
1) no, è una matrice ortogonale.
2) no, è una matrice ortogonale 2x2. Ma è possibile descriverla attraverso il solo angolo di rotazione; questo angolo non è uno scalare proprio, ma uno pseudoscalare (basta vedere come trasforma sotto riflessioni)
3) no, è una matrice ortogonale. Però in tre dimensioni (e solo in tre) hai sempre un asse di rotazione oppure la tua rotazione è l'identità. Dunque puoi prendere il versore dell'asse e moltiplicarlo per l'angolo. Se questa quantità sia o meno uno pseudovettore dipende dalla definizione precisa (rispetto a cosa definisci la rotazione), ma non è mai un vettore proprio.
4) no, è una matrice antisimmetrica.
5) no, è una 2x2 antisimmetrica, la quale può anch'essa essere vista come uno pseudoscalare
6)no, è sempre una matrice antisimmetrica. Ma in tre dimensioni (e solo in tre) esiste un'identificazione naturale fra matrici antisimmetriche e pseudovettori sfruttando il prodotto vettoriale (che esiste, con le proprietà che si sanno, solo in dimensione 3), dunque si prende generalmente come uno pseudovettore.
2) no, è una matrice ortogonale 2x2. Ma è possibile descriverla attraverso il solo angolo di rotazione; questo angolo non è uno scalare proprio, ma uno pseudoscalare (basta vedere come trasforma sotto riflessioni)
3) no, è una matrice ortogonale. Però in tre dimensioni (e solo in tre) hai sempre un asse di rotazione oppure la tua rotazione è l'identità. Dunque puoi prendere il versore dell'asse e moltiplicarlo per l'angolo. Se questa quantità sia o meno uno pseudovettore dipende dalla definizione precisa (rispetto a cosa definisci la rotazione), ma non è mai un vettore proprio.
4) no, è una matrice antisimmetrica.
5) no, è una 2x2 antisimmetrica, la quale può anch'essa essere vista come uno pseudoscalare
6)no, è sempre una matrice antisimmetrica. Ma in tre dimensioni (e solo in tre) esiste un'identificazione naturale fra matrici antisimmetriche e pseudovettori sfruttando il prodotto vettoriale (che esiste, con le proprietà che si sanno, solo in dimensione 3), dunque si prende generalmente come uno pseudovettore.
Già che ci sono pongo gli stessi 3 quesiti per l'accelerazione. Comunque tu dici che la velocità angolare non è un vettore però nel libro adottato dal prof mi parla di velocità angolare e di accelerazione angolare come dei vettori. Riporto quello che c'è scritto: "Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, è l'asse che identifica il moto, e il vettore velocità angolare è diretto secondo l'asse. Per determinare il verso si usa la regola della mano destra afferrando l'asse di rotazionen in modo che le dita circondino l'asse nello stesso verso della rotazione : il pollice si dispone lungo l'asse indicando il verso del vettore velocità angolare". In più su wikipedia guardando la voce moto circolare definisce la velocità angolare parlando di un vettore spostamento angolare così:La velocità angolare è definita come la derivata, rispetto al tempo, del vettore spostamento angolare ed è comunemente indicata con la lettera greca omega. Link : http://it.wikipedia.org/wiki/Moto_circolare
Personalmente sono un po' confuso perchè come dici tu mi ritrovo che non siano vettori mentre in altri parti mi ritrovo che sono vettori che devo pensare ?
Personalmente sono un po' confuso perchè come dici tu mi ritrovo che non siano vettori mentre in altri parti mi ritrovo che sono vettori che devo pensare ?
Aggiungo studio fisica per Medicina e non in termini ingegneristici o da facoltà fisica non è che anche virtù di quello scritto sopra potresti spiegarmele in maniera più semplice?
Per quello che studi, e per il livello a cui sei, direi di lasciar stare le risposte di hamilton, non perché siano sbagliate, ma perché sono su di un altro livello e su un altro contesto, basate su formalizzazioni di meccanica razionale, che a te non interessano e non sono di grande utilità e che anzi probabilmente tendono solo a confonderti.
Queste sono le risposte che ti darei io e che mi sembrano per te più appropriate.
Puoi pensarlo in maniera simile alla velocità angolare: quindi come un vettore normale al piano su cui si ha la rotazione e proporzionale in lunghezza all'angolo di rotazione. Anche qui vale la regola della mano destra (la hai citata quindi non la ripeto).
Se siamo nel caso piano, dato che la rotazione avviene nel piano puoi pensarlo come uno scalare.
Vedi punto 1)
Anche qui già detto nel punto 1), puoi pesarlo come un vettore ortogonale al piano rispetto a cui il corpo ruota e proporzionale alla velocità di rotazione stessa.
Vale lo stesso discorso che per lo spostamento angolare.
Anche qui mutatis mutandis vale la risposta data per la velocità angolare.
@hamilton
Scusa ma se ti chiedessero quanto fa 1+1 tu parti a parlare della cardinalità e della teoria degli insiemi, per dimostrare esattamente perché fa proprio 2?
Queste sono le risposte che ti darei io e che mi sembrano per te più appropriate.
"Chispio":
1) Lo spostamento angolare è un vettore?
Puoi pensarlo in maniera simile alla velocità angolare: quindi come un vettore normale al piano su cui si ha la rotazione e proporzionale in lunghezza all'angolo di rotazione. Anche qui vale la regola della mano destra (la hai citata quindi non la ripeto).
"Chispio":
2) Lo spostamento angolare considerato nel piano è un vettore?
Se siamo nel caso piano, dato che la rotazione avviene nel piano puoi pensarlo come uno scalare.
"Chispio":
3) Lo spostamento angolare considerato nello spazio è un vettore?
Vedi punto 1)
"Chispio":
4) La velocità angolare è un vettore?
Anche qui già detto nel punto 1), puoi pesarlo come un vettore ortogonale al piano rispetto a cui il corpo ruota e proporzionale alla velocità di rotazione stessa.
"Chispio":
5) La velocità angolare considerata nel piano è un vettore?
Vale lo stesso discorso che per lo spostamento angolare.
"Chispio":
6) La velocità angolare considerata nello spazio è un vettore?
Anche qui mutatis mutandis vale la risposta data per la velocità angolare.
@hamilton
Scusa ma se ti chiedessero quanto fa 1+1 tu parti a parlare della cardinalità e della teoria degli insiemi, per dimostrare esattamente perché fa proprio 2?
Ok quindi alle domande del prof all'orale sullo spostamento angolare e sulla velocità angolare di per se e quindi anche nello spazio dovrò rispondere che sono dei vettori con direzione e verso come detto sopra mentre sul piano invece temo di non aver capito. Tu scrivi che posso considerarli come uno scalare ma questo significa che sul piano è uno scalare e quindi non è un vettore oppure che la natura vettoriale è intrinseca e specificata di per se dal fatto che la rotazione avvenga sul piano ed è per questo che lo considero come uno scalare? Scusate se sono pedante ma il prof è capace di bocciare per un si o un no sbagliato. Già che ci sono ne approfitto per chiedere se vale lo stesso discorso per l'accelerazione angolare
Per la prima parte: nel piano la rotazione o la velocità angolare sono vettori con direzione sempre fissa (ortogonale al piano appunto), quindi una rappresentazione vettoriale è ridondante, visto che basta un numero (positivo o negativo per dare il verso), ma sono inezie, se un professore boccia per aver rappresentato una rotazione nel piano con uno scalare invece che con un vettore o viceversa ha qualche problema psicologico.
Riguardo l'accelerazione angolare, questa è per definizione la derivata rispetto al tempo della velocità angolare quindi in generale è ancora un vettore, c'è da osservare che nello spazio, se anche il vettore velocità angolare fosse costante in modulo, l'accelerazione angolare potrebbe non essere nulla, potendo la direzione della velocità angolare cambiare.
Riguardo l'accelerazione angolare, questa è per definizione la derivata rispetto al tempo della velocità angolare quindi in generale è ancora un vettore, c'è da osservare che nello spazio, se anche il vettore velocità angolare fosse costante in modulo, l'accelerazione angolare potrebbe non essere nulla, potendo la direzione della velocità angolare cambiare.
Non è tanto questione di bocciare sul fatto che lo scrivi come scalare o vettore è più che altro il fatto che se fai una determinata rapppresentazione e non la giustifichi dicendo magari che sul piano la velocità angolare non è un vettore allora ti boccia. Comunque ho capito alla fine sono tutte e tre dei vettori sia spostamento, velocità e accelerazione di per se e che sia spazio o piano sempre vettori sono poi eventualmente possiamo sul piano considerarli come scalari non per il fatto che non siano vettori ma in quanto la loro natura vettoriale è implicitamente definita. Giusto? Ti prego dimmi di si
Poi due ultime cose( chiedo venia per l'assillo su questi dannati vettori) mi sapresti dire perchè la pressione essendo definita come componente normale di forza su superficie non è un vettore mentre lo sforzo definito come forza su superficie si?
E ancora cosa ci fa dire che il lavoro sia definito come un prodotto scalare e non un prodotto vettoriale di forza e spostamento?
Poi due ultime cose( chiedo venia per l'assillo su questi dannati vettori) mi sapresti dire perchè la pressione essendo definita come componente normale di forza su superficie non è un vettore mentre lo sforzo definito come forza su superficie si?
E ancora cosa ci fa dire che il lavoro sia definito come un prodotto scalare e non un prodotto vettoriale di forza e spostamento?
"Chispio":
[....] Comunque ho capito alla fine sono tutte e tre dei vettori sia spostamento, velocità e accelerazione di per se e che sia spazio o piano sempre vettori sono poi eventualmente possiamo sul piano considerarli come scalari non per il fatto che non siano vettori ma in quanto la loro natura vettoriale è implicitamente definita. Giusto? Ti prego dimmi di si
Non c'è bisogno di pregare
.Sì corretto.
"Chispio":
Poi due ultime cose( chiedo venia per l'assillo su questi dannati vettori) mi sapresti dire perchè la pressione essendo definita come componente normale di forza su superficie non è un vettore mentre lo sforzo definito come forza su superficie si?
Ci sono vari modi di rispondere a questa domanda, quello più semplice e più intuitivo, anche se non rigoroso al 100%, è che trattandosi del rapporto tra forza normale alla superficie e superficie, al tendere della superficie a zero, la sua natura è scalare, visto che per definizione si sta considerando solo la componente normale alla superficie.
Si dimostra poi che tale rapporto dentro un fluido o un solido è indipendente dalla orientazione della superficie nel punto considerato.
Lo sforzo in un punto invece non considera per così dire la sola componente normale della forza alla superficie, quindi la sua direzione non è normale alla superficie considerata, pertanto deve essere rappresentato con un vettore e dipende inoltre dalla orientazione della superficie scelta in quel punto.
Il modo rigoroso invece consiste nel passare per il concetto di tensore (matrice) degli sforzi e ricordare che la pressione è data in pratica dalla traccia di tale tensore (un terzo della traccia precisamente) e che la traccia è uno scalare, in pratica la pressione quindi dipende dello stato di tensione nel punto, ma poiché la traccia di un tensore è invariante rispetto alla giacitura (superficie) a cui il tensore si riferisce, l'orientazione della superficie non conta e da qui consegue la natura scalare della pressione.
"Chispio":
E ancora cosa ci fa dire che il lavoro sia definito come un prodotto scalare e non un prodotto vettoriale di forza e spostamento?
Quella è una definizione appunto, da cui conseguono molte proprietà utile che ha il lavoro così definito.
Non so cosa vuoi sapere con la domanda che hai posto.
Allora dei due modi per la prima domanda penso di aver colto il secondo quello più rigoroso ovvero che essendo la pressione traccia del tensore sforzo per un terzo ed essendo la traccia uno scalare per suo conto e inoltre indipendente alla superficie alla quale cui fa riferimento qui il motivo perchè la pressione è scalare. Per lo sforzo anche li penso di esserci ovvero che la natura vettoriale di sforzo è data dalla complessità della definizione che comporta considerazione non solo di direzione e verso del vettore forza rispetto alla superficie ma anche da come è orientata la superficie stessa. Giusto?
Del fatto intuitivo non capisco come deduci la natura scalare come scrivi su mettendo come nesso chiave "che per definizione si sta considerando solo la componente normale alla superficie". Vorrei capire perchè dici questo.
Poi ora cerco di chiarire la seconda domanda.
Allora il lavoro è il prodotto scalare tra il vettore forza ed il vettore spostamento compiuto a seguito dell'applicazione della forza. Quello che mi domando è sul perchè sia definita come prodotto scalare di due vettori e non può essere assolutamente considerata prodotto vettoriale di due vettori.
Del fatto intuitivo non capisco come deduci la natura scalare come scrivi su mettendo come nesso chiave "che per definizione si sta considerando solo la componente normale alla superficie". Vorrei capire perchè dici questo.
Poi ora cerco di chiarire la seconda domanda.
Allora il lavoro è il prodotto scalare tra il vettore forza ed il vettore spostamento compiuto a seguito dell'applicazione della forza. Quello che mi domando è sul perchè sia definita come prodotto scalare di due vettori e non può essere assolutamente considerata prodotto vettoriale di due vettori.
"Chispio":
Allora [...]. Giusto?
Corretto.
"Chispio":
Del fatto intuitivo non capisco come deduci la natura scalare come scrivi su mettendo come nesso chiave "che per definizione si sta considerando solo la componente normale alla superficie". Vorrei capire perchè dici questo.
Provo così.
Supponiamo che vuoi misurare la pressione in un punto di un solido o di un fluido, per farlo, pensando alla definizione di pressione, prendi una superficie piccola attorno a un punto la "isoli" e misuri la forza normale che agisce su di essa, che può essere data dalla forza normale che il resto del solido o fluido esercita su quella porzione di superficie se il punto era interno al solido o al fluido, o, se si tratta della superficie "esterna" (che sia chiaro che mi sto esprimendo in modo spero comprensibile, ma non formalmente ineccepibile), è semplicemente la forza normale agente su quelle superficie.
Il rapporto tra la forza normale misurata e la superficie è la pressione.
Ora si potrebbe obiettare che la pressione così misurata dipende da come la superficie sia orientata: se avessimo scelto una superficie attorno al punto orientata in modo diverso la pressione avrebbe potuto risultare diversa, se così fosse allora la pressione avrebbe natura vettoriale in effetti.
Si dimostra però abbastanza semplicemente (in pratica supponendo il solido o il fluido in quiete si considera un prisma retto infinitesimo intorno al punto scelto e si impone l'equilibrio delle forze agenti sulle sue superfici) che la pressione è indipendente dalla orientazione della superficie scelta, pertanto la sua natura è scalare.
"Chispio":
Allora il lavoro è il prodotto scalare tra il vettore forza ed il vettore spostamento compiuto a seguito dell'applicazione della forza. Quello che mi domando è sul perchè sia definita come prodotto scalare di due vettori e non può essere assolutamente considerata prodotto vettoriale di due vettori.
Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore, certo si poteva definire il lavoro così, ma poi di quel "lavoro vettoriale" lì che utilità se ne sarebbe avuta? Un lavoro così fatto sarebbe in pratica coinciso dimensionalmente col momento di una forza e non avrebbe avuto le proprietà comode che ha lo scalare "lavoro vero"....
Le definizione sono così "per definizione", ma hanno una loro logica a posteriori
Bene dai grazie ormai ci sono diciamo che questo mio prof si punta molto sulla natura vettoriale e scalare delle grandezze e vuole giustificazioni per ogni affermazione per questo ho fatto tutte ste domande sui vettori se avrò altri quesiti da porre li metterò qua grazzie mille 
"Chispio":
Già che ci sono pongo gli stessi 3 quesiti per l'accelerazione. Comunque tu dici che la velocità angolare non è un vettore però nel libro adottato dal prof mi parla di velocità angolare e di accelerazione angolare come dei vettori. Riporto quello che c'è scritto: "Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, è l'asse che identifica il moto, e il vettore velocità angolare è diretto secondo l'asse. Per determinare il verso si usa la regola della mano destra afferrando l'asse di rotazionen in modo che le dita circondino l'asse nello stesso verso della rotazione : il pollice si dispone lungo l'asse indicando il verso del vettore velocità angolare". In più su wikipedia guardando la voce moto circolare definisce la velocità angolare parlando di un vettore spostamento angolare così:La velocità angolare è definita come la derivata, rispetto al tempo, del vettore spostamento angolare ed è comunemente indicata con la lettera greca omega. Link : http://it.wikipedia.org/wiki/Moto_circolare
Personalmente sono un po' confuso perchè come dici tu mi ritrovo che non siano vettori mentre in altri parti mi ritrovo che sono vettori che devo pensare ?
molti non distinguono (sbagliando) fra vettori propri e pseudovettori chiamandoli entrambi "vettori". In questo caso, se il tuo prof è uno di queste persone, ogni volta che io dico pseudovettore, tu digli vettore. Uguale per gli scalari.
Capire se una roba è pseudo o meno è molto semplice, c'è una regola molto semplice. Se "P" indica il prodotto scalare-vettore, il prodotto scalare fra due vettori, prodotto fra due scalari, o un rapporto, allora valgono le regolette:
proprio P proprio = proprio
proprio P pseudo = pseudo
pseudo P pseudo = proprio
funzionano come i pari e dispari sotto la somma. Non bisogna (e non si può) sommare fra loro un proprio e uno pseudo (sia scalari che vettori).
Il prodotto vettoriale è diverso, aggiunge un'altro "flip":
proprio x proprio = pseudo
è per questo che quando usi la mano destra, e punti il pollice su un vettore e l'indice su un vettore, il medio punta su uno pseudovettore. Puoi completare ovviamente:
proprio x pseudo = proprio
pseudo x pseudo = pseudo
Ora l'ultima informazione che ti serve è da dove iniziare... e parti da qui:
il vettore posizione (o anche il vettore spostamento) è un vettore proprio. Il tempo è uno scalare.
Allora hai tutto. Infatti la velocità è un rapporto fra un vettore proprio e uno scalare (infinitesimo) e dunque è un vettore proprio (per le regole sopra). Se continui a seguire l'albero delle definizioni trovi il motivo per cui ti ho detto che la velocità angolare è uno pseudovettore.
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