Quantizzazione del momento angolare
Buongiorno, avrei una domanda di carattere teorico. Sto studiando il processo che porta alla quantizzazione del momento angolare attraverso lo studio di una particella in campo centrale.
Il libro che uso scrive l'hamiltoniana in forma tale da separare la parte radiale e la parte angolare, che alla fine risultano equivalersi, il che è possibile solo se entrambe le parti sono uguali a una costante, poiché dipendono da variabili diverse.
Ecco, qui il libro mi dice "facciamo che per comodità la costante sia $l(l+1)barh^2$", che sono poi gli autovalori dell'operatore $hatL^2$.
Ma come si arriva al "facciamo che per comodità"? Come si ottiene $l(l+1)barh^2$? Tra l'altro poi è l'espressione che compare nell'equazione agli autovalori del momento angolare insieme alle armoniche sferiche, per cui penso sia fondamentale capire come arrivarci.
EDIT: ho trovato questa soluzione, di cui capisco il punto di partenza, ma non la teoria dietro i primi due passaggi:
Grazie
Il libro che uso scrive l'hamiltoniana in forma tale da separare la parte radiale e la parte angolare, che alla fine risultano equivalersi, il che è possibile solo se entrambe le parti sono uguali a una costante, poiché dipendono da variabili diverse.
Ecco, qui il libro mi dice "facciamo che per comodità la costante sia $l(l+1)barh^2$", che sono poi gli autovalori dell'operatore $hatL^2$.
Ma come si arriva al "facciamo che per comodità"? Come si ottiene $l(l+1)barh^2$? Tra l'altro poi è l'espressione che compare nell'equazione agli autovalori del momento angolare insieme alle armoniche sferiche, per cui penso sia fondamentale capire come arrivarci.
EDIT: ho trovato questa soluzione, di cui capisco il punto di partenza, ma non la teoria dietro i primi due passaggi:
Grazie
Risposte
Il punto è che per rispondere a questa domanda bisogna prima indagare un po' o la forma delle autofunzioni vicino a zero (come fa lì) oppure giocare un po' con gli operatori del momento angolare. Questa seconda via mi sembra più semplice ed anche più utile come teoria. Prima di dimostrarlo dimmi se ti sono familiari gli operatori $L_+=L_x+iL_y$ ed $L_(-) = L_x-iL_y$ e la relativa algebra. Altrimenti a spiegarli ci vuol poco.
Chiedo scusa per il ritardo, sono stati tre giorni di lavoro intenso e ho perso di vista il post.
Purtroppo non mi sono familiari. In realtà la materia a cui lavoro è "introduzione" alla fisica quantistica, quel famoso l(l+1) lo danno come valore "comodo" della costante di separazione che uguaglia parte radiale ed angolare dell'equazione. Il processo che porta alla sua derivazione matematica è pura curiosità personale.
Grazie
Purtroppo non mi sono familiari. In realtà la materia a cui lavoro è "introduzione" alla fisica quantistica, quel famoso l(l+1) lo danno come valore "comodo" della costante di separazione che uguaglia parte radiale ed angolare dell'equazione. Il processo che porta alla sua derivazione matematica è pura curiosità personale.
Grazie
Visto che è una curiosità la facciamo semplice. L'algebra dei momenti angolari (orbitali, spin o totali quindi indico con J un momento angolare generico) risponde al commutatore
$[J_i,J_j]=i \epsilon_(ijk) J_k$ e $[J^2,J_i]=0$ come penso saprai. Ora io posso definire due operatori del tipo
$J_(\+-)=J_1\+- i J_2$ ed in termini di questi operatori si possono ricavare i commutatori $[J_3,J_+]=J_+$ , $[J_3,J_-]=-J_-$ , $[J_+,J_-]=2J_3$ e quindi $J^2=J_+ J_(-) + J_3^2- J_3= J_(-) J_(+) + J_3^2+ J_3$ . Prendili per buoni ma se ti metti li puoi ricavare.
Ora il ragionamento è questo. Chiamo gli autovettori e gli autovalori di $J_3$ : $|m>$ ed $m$ cioè $J_3|m>=m|m>$.
Posso osservare, usando uno dei commutatori scritti, che $J_3 J_+|m> =(J_+J_3+J_+)|m> =(m+1)J_+|m>$ ovvero che $J_+|m>$ sono gli autovettori di $J_3$ con autovalore $(m+1)$ a meno del caso banale di vettore nullo.
Se avessi applicato $J_3 J_-$ sfruttando l'altro commutatore avrei trovato una cosa analoga cioè $J_3J_-|m> =(m-1)J_-|m>$.
Quindi questi operatori non fanno altro che far salire o scendere di 1 l'autovalore di $J_3$. Se li applico più volte ovviamente saliranno o scenderanno sempre in questo modo discreto.
Ma il quadrato del momento angolare commuta con la proiezione del momento angolare, ad esempio $J_3$ quindi condividono una base di autovettori che sono proprio questi che abbiamo trovato. Se chiamo $k$ gli autovalori di $J^2$ vorrei trovare un legame tra k ed m.
Dato che $ >=0$ vuol dire che (moltiplicando per i ket $|m>$ ) la relazione cercata è che $-\sqrtk<=m<=\sqrtk$ ovvero possiede un valore massimo ed un valore minimo . Chiamo il massimo valore $j$ ed il minimo valore $j-n$ (perché voglio farlo scendere di valore n volte e capire a quale n fermarmi). Ovviamente quegli operatori che abbiamo detto facevano salire e scendere il valore di m di 1 agiranno sul massimo in modo che non si possa superarlo, cioè
$J_+|j> =0$ ed $J_-|j-n> =0$
Quindi vediamo che forma hanno gli autovalori di $J^2$.
$J^2|j> =( J_(-) J_(+) + J_3^2+ J_3)|j> =0|j>+j^2|j>+j|j> = (j^2+j)|j> =j(j+1)|j>$
sul minimo
$J^2|j-n> =(J_(+)J_(-) + J_3^2- J_3)|j-n> =0|j-n>+(j-n)^2|j-n> - (j-n)|j-n>$ ma questo stato appartiene allo stesso autovalore
$j(j+1)$ allora $j(j+1)=(j-n)^2-(j-n)$ da cui $n=2j$. Ovvero gli m vanno da -j a +j saltando di 1 per volta ed essendo $n$ intero, $j$ sarà intero e semi-intero $j=0,1/2,1,...$ .
Studiando le autofunzioni di $L_3=L_z$ è necessario imporre che $m$ sia in realtà un numero intero (condizione di univocità nel valore periodico) , cosa non richiesta per lo spin. Quindi il momento angolare L sarà fatto di numeri interi, lo spin di interi e semiinteri .
$[J_i,J_j]=i \epsilon_(ijk) J_k$ e $[J^2,J_i]=0$ come penso saprai. Ora io posso definire due operatori del tipo
$J_(\+-)=J_1\+- i J_2$ ed in termini di questi operatori si possono ricavare i commutatori $[J_3,J_+]=J_+$ , $[J_3,J_-]=-J_-$ , $[J_+,J_-]=2J_3$ e quindi $J^2=J_+ J_(-) + J_3^2- J_3= J_(-) J_(+) + J_3^2+ J_3$ . Prendili per buoni ma se ti metti li puoi ricavare.
Ora il ragionamento è questo. Chiamo gli autovettori e gli autovalori di $J_3$ : $|m>$ ed $m$ cioè $J_3|m>=m|m>$.
Posso osservare, usando uno dei commutatori scritti, che $J_3 J_+|m> =(J_+J_3+J_+)|m> =(m+1)J_+|m>$ ovvero che $J_+|m>$ sono gli autovettori di $J_3$ con autovalore $(m+1)$ a meno del caso banale di vettore nullo.
Se avessi applicato $J_3 J_-$ sfruttando l'altro commutatore avrei trovato una cosa analoga cioè $J_3J_-|m> =(m-1)J_-|m>$.
Quindi questi operatori non fanno altro che far salire o scendere di 1 l'autovalore di $J_3$. Se li applico più volte ovviamente saliranno o scenderanno sempre in questo modo discreto.
Ma il quadrato del momento angolare commuta con la proiezione del momento angolare, ad esempio $J_3$ quindi condividono una base di autovettori che sono proprio questi che abbiamo trovato. Se chiamo $k$ gli autovalori di $J^2$ vorrei trovare un legame tra k ed m.
Dato che $
$J_+|j> =0$ ed $J_-|j-n> =0$
Quindi vediamo che forma hanno gli autovalori di $J^2$.
$J^2|j> =( J_(-) J_(+) + J_3^2+ J_3)|j> =0|j>+j^2|j>+j|j> = (j^2+j)|j> =j(j+1)|j>$
sul minimo
$J^2|j-n> =(J_(+)J_(-) + J_3^2- J_3)|j-n> =0|j-n>+(j-n)^2|j-n> - (j-n)|j-n>$ ma questo stato appartiene allo stesso autovalore
$j(j+1)$ allora $j(j+1)=(j-n)^2-(j-n)$ da cui $n=2j$. Ovvero gli m vanno da -j a +j saltando di 1 per volta ed essendo $n$ intero, $j$ sarà intero e semi-intero $j=0,1/2,1,...$ .
Studiando le autofunzioni di $L_3=L_z$ è necessario imporre che $m$ sia in realtà un numero intero (condizione di univocità nel valore periodico) , cosa non richiesta per lo spin. Quindi il momento angolare L sarà fatto di numeri interi, lo spin di interi e semiinteri .
Devo rettificare, a confondermi è stata la notazione complessa degli operatori. Li conosco eccome, nel mio caso in forma $hata'$ e $hata$ e coi nomi di operatori di creazione/distruzione.
La seconda parte del ragionamento era esattamente quel che mi mancava (e devo dire una rinfrescata alla prima non ha fatto che bene).
Grazie mille!
La seconda parte del ragionamento era esattamente quel che mi mancava (e devo dire una rinfrescata alla prima non ha fatto che bene).
Grazie mille!
Figurati 
. Comunque non sono esattamente gli stessi operatori che dici tu, ma hanno funzione analoga perché costruiti in modo simile.
. Comunque non sono esattamente gli stessi operatori che dici tu, ma hanno funzione analoga perché costruiti in modo simile.
E' sbagliato riferirmi loro in questo modo, dunque? Alla fine la loro funzione è ciò che li contraddistingue, o sbaglio?
Sì se vuoi creare un legame diretto è sbagliato. Questi operatori agiscono direttamente sulle funzioni d'onda, invece gli operatori di creazione e distruzione agiscono sulle funzioni dei numeri di occupazione, infatti si chiamano in modo esteso "creazione e distruzione di particelle". Nel nostro caso non si "crea o distrugge" nessuna particella, ma sono operatori che collegano gli autostati del momento angolare a diverso $J_z$ e consentono la degenerazione tipica $2j+1$. Gli operatori di creazione/distruzione sono fondamentali nella trattazione di seconda quantizzazione, anche se ci assomigliano è solo una somiglianza formale sono cose molto diverse. E' come dire che il momento della quantità di moto e della forza sono la stessa cosa perché costruiti con un prodotto vettoriale.
Tutto chiaro. Grazie infinite
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