Quantità di moto pallina sul muro
Ho un dubbio riguardo la quantità di moto di una pallina che urta elasticamente contro al muro.
Ho trovato questo link che descrive il procedimento da me seguito http://fisica.unipv.it/didattica/Energia/ITA/urti.htm
dove si dice "Se la pallina A, di massa m1 e velocità V, urta contro una parete ferma e perfettamente elastica si ha m2>>m1 e v'=0"
in effetti sostituendo queste ipotesi nelle formule sotto viene:
$V'=-m_2/m_2V=-V$ dove trascuro m1 appunto rispetto m2
$v'=0*V=0$ scrivo 0*V poiché di nuovo il rapporto sotto le ipotesi "si annulla"
Il punto dubbio è però questo: se io prendessi l'equazione $m_1V+ m_2v = m_1V' + m_2v'$ posso dire dato che v'=0, v=0 cioè il muro lo approssimo a "sempre fermo" otterrei: $m_1V= m_1V' $ ma viene che V=V' e non mi ritrovo col segno, come faccio a far uscire il meno in questo caso?
Ho trovato questo link che descrive il procedimento da me seguito http://fisica.unipv.it/didattica/Energia/ITA/urti.htm
dove si dice "Se la pallina A, di massa m1 e velocità V, urta contro una parete ferma e perfettamente elastica si ha m2>>m1 e v'=0"
in effetti sostituendo queste ipotesi nelle formule sotto viene:
$V'=-m_2/m_2V=-V$ dove trascuro m1 appunto rispetto m2
$v'=0*V=0$ scrivo 0*V poiché di nuovo il rapporto sotto le ipotesi "si annulla"
Il punto dubbio è però questo: se io prendessi l'equazione $m_1V+ m_2v = m_1V' + m_2v'$ posso dire dato che v'=0, v=0 cioè il muro lo approssimo a "sempre fermo" otterrei: $m_1V= m_1V' $ ma viene che V=V' e non mi ritrovo col segno, come faccio a far uscire il meno in questo caso?
Risposte
"bigodini":
Il punto dubbio è però questo: se io prendessi l'equazione $m_1V+ m_2v = m_1V' + m_2v'$ posso dire dato che v'=0, v=0 cioè il muro lo approssimo a "sempre fermo" otterrei: $m_1V= m_1V' $
Va bene che $v = v' = 0$, ma dimentichi di dire che per poter dire così occorre che sia $m_2 = infty$ ....
Grazie, hai scovato l'arcano. Effettivamente era una stupidaggine. Quindi devo dedurre che data v=0 ma m=oo (ovviamente con poco rigore ma intuitivamente) in realtà l'errore era appioppare alla parete una quantità di moto nulla, ma non è vero: essa ha una q.d.m data dalla non nullità 0*oo. Giusto?
"bigodini":
l'errore era appioppare alla parete una quantità di moto nulla, ma non è vero: essa ha una q.d.m data dalla non nullità 0*oo. Giusto?
Giusto. Il muro riceve una QM doppia di quella iniziale della pallina.
Il muro riceve una QM doppia di quella iniziale della pallina.
Perfetto ora mi torna, grazie davvero.
1) Posso chiederti gentilmente un'ultima cosetta: io parto dalla equazione $m_1V+m_2v=m_1V'+m_2v'$ dati due corpi e in particolare è una equazione sui MODULI dei vettori quantità di moto, non capisco però perché partendo da una equazione sui moduli (quindi che prescindono dal segno che sarebbe il "verso" del vettore v o p -data la direzione unica lineare-) ottengo però una informazione sul verso alla fine: infatti ho V=-V' e questa cosanon la capisco appieno. Parto da una equazione senza informazioni sui versi/segni e alla fine ottengo proprio una informazione sui versi/segni ha qualcosa di strabiliante e forse che non afferro. Forse il punto è che v,v', V, e V' non sono moduli ma vettori (o meglio scalari con segno)? Nascondo cioè l'informazione verso dentro lo scalare incognito v ma esso ha anche un segno, quindi dovrebbe essere una sortadi vettore.
EDIT:
2) oddio forse ho una seconda domanda, non ho ben capito però perché dopo l'urto come dicevamo il muro ha una quantità di moto, ma non ha in realtà una energia cinetica (proprio perché lo consideriamo fermo).
Tuttavia l'energia cinetica dipende sempre da una moltiplicazione m*v => $1/2mv²$, comepossono convivere le due cose: trascuro l'energia cinetica del muro ma non la quantità di moto del muro stesso? Stupefacente:D
Spero avrai tempo e voglia di rispondere alle due domande cui sopra
Ma la conservazione della QM è una relazione vettoriale. Chi ha mai parlato di moduli?
La QM dipende da $v$ e l'energia cinetica dipende da $v^2$, per cui per v tendente a zero l'energia cinetica va a zero più in fretta. Per cui una cosa del tipo $0*infty$ può essere diversa da zero laddove una cosa tipo $0^2*infty$ è zero.
Per niente rigoroso, gli analisti si stracceranno le vesti, ma spero che ci siamo capiti
La QM dipende da $v$ e l'energia cinetica dipende da $v^2$, per cui per v tendente a zero l'energia cinetica va a zero più in fretta. Per cui una cosa del tipo $0*infty$ può essere diversa da zero laddove una cosa tipo $0^2*infty$ è zero.
Per niente rigoroso, gli analisti si stracceranno le vesti, ma spero che ci siamo capiti
1) ok, il fattto che sul libro era riportato senza freccetta sopra v, come anche nel sito linkato, mi aveva fatto supporre stesse ragionando permoduli. Infatti poi sostituisce, per giungere alle formule finali, v² in v e v² era una relazione sul modulo quadro... come fa a sostituirlo in una quantità vettoriale.
Mi riferisco all'ottere dalle prime 2 formule le note 3 e 4 del link dell' uni di pavia: http://fisica.unipv.it/didattica/Energia/ITA/urti.htm
perquanto riguarda:
2) No, certo, ma come intuizione mi basta per sentirmi più amio agio con il concetto.
Mi riferisco all'ottere dalle prime 2 formule le note 3 e 4 del link dell' uni di pavia: http://fisica.unipv.it/didattica/Energia/ITA/urti.htm
perquanto riguarda:
2) No, certo, ma come intuizione mi basta per sentirmi più amio agio con il concetto.
@OP
I vettori si possono indicare in tanti modi, la freccetta sopra è uno dei tanti; la lettera in grassetto è un altro modo : V. Dalla dispensa di Unipavia non credo che possano nascere dubbi sulla natura vettoriale della velocità in questo caso. E poi nelle relazioni finali c’è pure il versore $hati$ dell’asse x : ma che vogliamo di più?
Fanno bene gli americani a distinguere tra “velocity” (vettore) e “speed” (scalare).
Il fatto è che alcuni studenti non hanno ben chiara la differenza tra vettore, componente di un vettore rispetto a un asse, e modulo del vettore. Se metto un asse $z$ verticale orientato positivamente verso l’alto, è giusto scrivere :
$vecg = -ghatk$
oppure no?
I vettori si possono indicare in tanti modi, la freccetta sopra è uno dei tanti; la lettera in grassetto è un altro modo : V. Dalla dispensa di Unipavia non credo che possano nascere dubbi sulla natura vettoriale della velocità in questo caso. E poi nelle relazioni finali c’è pure il versore $hati$ dell’asse x : ma che vogliamo di più?
Fanno bene gli americani a distinguere tra “velocity” (vettore) e “speed” (scalare).
Il fatto è che alcuni studenti non hanno ben chiara la differenza tra vettore, componente di un vettore rispetto a un asse, e modulo del vettore. Se metto un asse $z$ verticale orientato positivamente verso l’alto, è giusto scrivere :
$vecg = -ghatk$
oppure no?
Ciao 
Sì direi che è corretto scrivere così.
Però nel nostro caso nelle prime 4 equazioni mi sembra che sostituiscail valore di $v^2$ dentro a $v$ e se v lo riteniamo vettore (cioè essendo su una unica direzione uno scalare con segno che indica il vettore) non capisco bene come faccia a sostituire una quantità scalarecome v² in v.
Sì direi che è corretto scrivere così.
Però nel nostro caso nelle prime 4 equazioni mi sembra che sostituiscail valore di $v^2$ dentro a $v$ e se v lo riteniamo vettore (cioè essendo su una unica direzione uno scalare con segno che indica il vettore) non capisco bene come faccia a sostituire una quantità scalarecome v² in v.
Dimmi chi è che sostituisce $v^2$ in $v$, e lo ammazzo subito. Tieni presente che vale anche questo:
$v^2 =v*v= vecv *vecv=vecv^2$
Cioè il prodotto scalare di un vettore per se stesso restituisce il quadrato del modulo. Questo è bene saperlo, capita molto spesso.
$v^2 =v*v= vecv *vecv=vecv^2$
Cioè il prodotto scalare di un vettore per se stesso restituisce il quadrato del modulo. Questo è bene saperlo, capita molto spesso.
Esatto, mi sono espresso malema volevo proprio dire che ho il quadrato del vettore (inteso come scalare per se stesso) che alla fine è il modulo al quadrato come indichi.
Detto questo, mi pare che l'unico modo per risolvere il sistema sia sostituire le incognite (cioè le mie velocità) trale due equazioni. Risolverle prota alle soluzioni date dalle formule 3 e 4 del link.
Però abbiamo detto che l'equazione m1V+m2v=m1V'+m2v' è vettoriale... quindi non riesco bene a capire che senso abbia sostituirci i valori di v² che invece sono scalari poiché prodotto scalare di v per v stesso ossia un modulo quadro.
Cioèmi sembra che la prima equazione del sistemasia vettoriale, mentre la seconda scalare. Non so se mi sono spiegato meglio
Detto questo, mi pare che l'unico modo per risolvere il sistema sia sostituire le incognite (cioè le mie velocità) trale due equazioni. Risolverle prota alle soluzioni date dalle formule 3 e 4 del link.
Però abbiamo detto che l'equazione m1V+m2v=m1V'+m2v' è vettoriale... quindi non riesco bene a capire che senso abbia sostituirci i valori di v² che invece sono scalari poiché prodotto scalare di v per v stesso ossia un modulo quadro.
Cioèmi sembra che la prima equazione del sistemasia vettoriale, mentre la seconda scalare. Non so se mi sono spiegato meglio
La prima equazione riguarda la conservazione della qdm, e c’è $vecv$ . Quindi v è alla prima potenza. L’equazione dove trovi $v^2$ riguarda l’energia cinetica , no? È questo che devi capire, sono due equazioni diverse, che poi fanno sistema.
Però non riesco quindi a capacitarmi come risolvere il sistema se un sistema lo risolvo di solito per sostituzione. Una equazione però è vettoriale come dici e l'altra no (energie cinetiche), cioè mi sembrano incognite diverse $\vecv$ e $v^2$, come faccio a procedere per sostituzione?
È semplice: devi proiettare L ‘equazione vettoriale sull’asse x del moto, diventa una equazione “scalare “, e puoi risolvere il sistema per sostituzione. Non ti hanno spiegato che una equazione vettoriale equivale a tre equazioni scalari, quando proiettate su tre assi cartesiani ortogonali ?
Nel tuo caso, proiettando l’equazione vettoriale sull’asse x del moto, ottieni l’equazione scalare che hai scritto all’inizio:
$m_1V+ m_2v = m_1V' + m_2v'$
è chiaro ?
Nel tuo caso, proiettando l’equazione vettoriale sull’asse x del moto, ottieni l’equazione scalare che hai scritto all’inizio:
$m_1V+ m_2v = m_1V' + m_2v'$
è chiaro ?
Certo, questo sì ti ringrazio molto per la spiegazione, ed è quello cui pensavo prima.
Però c'è un punto che non mi torna: nel senso che l'equazione scalare su un asse è ancora "vettoriale" per via del segno (in sostanza il segno intrinsecamente contiene l'informazione verso del vettore che rappresenta lo scalare modulo, è quindi una rappresentazione scalare con segno = vettoriale poiché la direzione è unica quando su un asse unico).
Mentre prendendo quella sulle energie più che una equazione scalare con segno mi sembrava una equazione scalare e basta (cioè sui moduli) poiché l'eventuale segno/verso era annullato dal quadrato del vettore.
Quindi ho una equazione scalare (la prima) mentre la seconda è una relazione sui moduli. Questo mi confonde, nel senso che l'equazione sulle energie non contiene segno/verso.
Però c'è un punto che non mi torna: nel senso che l'equazione scalare su un asse è ancora "vettoriale" per via del segno (in sostanza il segno intrinsecamente contiene l'informazione verso del vettore che rappresenta lo scalare modulo, è quindi una rappresentazione scalare con segno = vettoriale poiché la direzione è unica quando su un asse unico).
Mentre prendendo quella sulle energie più che una equazione scalare con segno mi sembrava una equazione scalare e basta (cioè sui moduli) poiché l'eventuale segno/verso era annullato dal quadrato del vettore.
Quindi ho una equazione scalare (la prima) mentre la seconda è una relazione sui moduli. Questo mi confonde, nel senso che l'equazione sulle energie non contiene segno/verso.
"bigodini":
Certo, questo sì ti ringrazio molto per la spiegazione, ed è quello cui pensavo prima.
Però c'è un punto che non mi torna: nel senso che l'equazione scalare su un asse è ancora "vettoriale" per via del segno (in sostanza il segno intrinsecamente contiene l'informazione verso del vettore che rappresenta lo scalare modulo, è quindi una rappresentazione scalare con segno = vettoriale poiché la direzione è unica quando su un asse unico).
L’equazione vettoriale, proiettata su un asse, diventa scalare; ma le quantità con segno sono componenti del vettore secondo quell’asse ! La componente di un vettore rispetto a un asse è data da “segno+modulo”. Prima ti ho fatto l’esempio del vettore $vecg$, diretto verso il basso, proiettato su un asse $z$ orientato verso l’alto, e ti ho detto che :
$vecg = -ghatk$
devi ficcarti bene in testa questo : il segno “-“ fa parte integrante della componente, non basta solo il modulo del vettore $g = |vecg|$ . E naturalmente la stessa cosa vale nel tuo esercizio. L’equazione della conservazione della qdm in forma scalare è tra componenti, non tra moduli. È vero che il segno “-“ ti dice qualcosa a proposito di come è diretto il vettore in argomento : è diretto in verso tale che la componente sull’asse orientato porta il segno “-“ . Infatti, se scrivi per esteso il prodotto scalare di un vettore per il versore dell’asse, vedi che uno dei fattori è il $cos\theta$ , e quando $\theta= \pi $ il coseno vale $-1$ .
Per essere breve e riassumere:
1)un vettore $vecv$ non ha segno, e non dipende dal riferimento (supp. cartesiano ortogonale) rispetto al quale si considerano le componenti.
2)Le componenti si trovano mediante il prodotto scalare di $vecv$ con i versori degli assi coordinati; in questo prodotto scalare si ha, per esempio :
$v_x = vecv*hati = v*i* cos\theta= v*cos\theta$ (i =1).
e a seconda del valore dell’angolo il $cos\theta$ può essere positivo, nullo o negativo. Quindi le componenti hanno segno.
3) I moduli dei vettori hanno segno positivo.
Impara bene queste poche cose. Forse a Fisica1 questa roba non viene insegnata, ed è un male. Prenditi un libro o una dispensa di calcolo vettoriale, ti tornerà molto utile anche in seguito.
Diciamo che in effetti non viene insegnata esplicitamente e certe volte seppur di base mi incasino, come dimostra la discussione 
Ti ringrazio per la spiegazione perché mi ha messo un po' pù a posto le idee.
Ma quindi, specializzandolo al nostro caso: abbiamo preso la prima equazione di tipo vettoriale e l'abbiamo riscritta proiettando su un unico asse quindi passando a quantità scalari. Faccio le varie sostituzioni e mi trovo nel caso del muro V=-V' ma questo come devo interpretarlo? Vuol dire che la componente del vettore $\vecV$ che è +V (abbiamo proiettato quindi sono componenti) è pari a meno la componente del vettore $\vecV'$.
Poiché la componente dovrebbe essere sempre uno scalare con segno associato come dicevi, mi dice che una componente V deve essere uguale a -V'.
Insomma la scrittura V racchiude in sé già il segno cioè v è la componente.
Dovrebbe essere giusto con le tue dritte
Ti ringrazio per la spiegazione perché mi ha messo un po' pù a posto le idee.
Ma quindi, specializzandolo al nostro caso: abbiamo preso la prima equazione di tipo vettoriale e l'abbiamo riscritta proiettando su un unico asse quindi passando a quantità scalari. Faccio le varie sostituzioni e mi trovo nel caso del muro V=-V' ma questo come devo interpretarlo? Vuol dire che la componente del vettore $\vecV$ che è +V (abbiamo proiettato quindi sono componenti) è pari a meno la componente del vettore $\vecV'$.
Poiché la componente dovrebbe essere sempre uno scalare con segno associato come dicevi, mi dice che una componente V deve essere uguale a -V'.
Insomma la scrittura V racchiude in sé già il segno cioè v è la componente.
Dovrebbe essere giusto con le tue dritte
Mmmm...hai fatto un po’ di confusione, e non sono ben sicuro di aver capito, come non sono ben sicuro che (cosa più importante!) tu abbia capito come fare a risolvere l’esercizio. Il risultato pratico è questo : se lanci una palla contro un muro, quella rimbalza indietro e, se nell’urto non si è perduta energia (questo assunto è solo teorico) la velocità con cui la palla rimbalza ha modulo uguale a quella con cui colpisce la parete.
Credo che tu abbia giocato qualche volta da bambino a dare dei calci a una palla lanciandola contro un muro, no? Quindi hai pure la prova sperimentale di quanto detto ...!
Credo che tu abbia giocato qualche volta da bambino a dare dei calci a una palla lanciandola contro un muro, no? Quindi hai pure la prova sperimentale di quanto detto ...!
No certo ma quello in realtà mi è molto chiaro ora, ne avevo discusso con mgrau.L'unico punto era proprio alivello di equazioni che mi trovavocon V=-V' e dicevo ohibò macome fa a nascere dalle equazioni una informazione sul segno se sono moduli. Poi abbiamo detto "non sono moduli ma scalari con segno" (componenti): l'eqauzione quindi dovrebbe dire che la componente di V è pari a -V' (componente del vettore V primo).Lacomponente è lamia incognita lettera V che ha intrinsecamenteun segno e una lettera ha segno opposto dell'altra (detto malamente).
Credo, ti ringrazio per le pazienti e utili spiegazioni.Non sapevo proprio a chi chiedere.
Credo
, ti ringrazio per le pazienti e utili spiegazioni.Non sapevo proprio a chi chiedere.
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