Quantità di Moto del Centro di Massa
Ciao a tutti,
ho provato a cercare in lungo e in largo provando a rispondermi al quesito che mi attanaglia. Faccio un introduzione così magari da sollevare una discussione su un mio modo sbagliato di vedere la cosa.
Se consideriamo un sistema assoluto (x,y,z) e uno relativo (x',y',z') possiamo dire che:
R=R' + Ro'
V= V' + Vo' + ω^R'
A= A' + Ao' - ωR'⟂ +2ω^V' + α^R'
quanto detto è facilmente deducibile partendo dalla posizione, derivandola rispetto al tempo trovando la velocità in quella forma contente quel fattore ω^R' che diventa nullo se il sistema relativo non ruota. Considerando questa ipotesi ora guardiamo il sistema relativo come sistema del centro di massa.
Quello che ho capito del centro di massa è che è il punto geometrico corrispondente al valor medio della distribuzione della massa del sistema di particelle considerato.
Ora quello che non mi è chiaro è: perchè la quantità di moto diventa solo pari a quella del centro di massa e quindi non si considera quella rispetto al centro di massa.
Guardando la formula su ottengo che moltiplicando per la massa dovrei ottenere
mV= mV' +mVo' e quindi avere Q=Q*+Qcm
sul mio libro di fisica come in tanti altri questa spiegazione è apparentemente nulla: viene semplicemente detto che prendendo la velocità istantanea del centro di massa
(dRcm/dt)= 1/M (Σ mi Vi) = Vcm
quindi moltiplicando per M si ottiene Σ mi Vi= M Vcm ---> Q=Qcm
Questo ragionamento mi sembra macchinoso e mi sembra che mi stia perdendo uno "stupido" ragionamento, tanto che mi chiedo allora che se calcolo l'energia cinetica si ottiene dai vari calcoli che K=Kcm+K*, che sviluppata sarebbe
Σi Ki= Σi [1/2 mi (Vcm)^2]+ Σi [1/2 mi (vi*)^2]
ma questo termine Σi [1/2 mi (vi*)^2] contiene dentro di se Q* che è nulla!
Aiutatemi!
ho provato a cercare in lungo e in largo provando a rispondermi al quesito che mi attanaglia. Faccio un introduzione così magari da sollevare una discussione su un mio modo sbagliato di vedere la cosa.
Se consideriamo un sistema assoluto (x,y,z) e uno relativo (x',y',z') possiamo dire che:
R=R' + Ro'
V= V' + Vo' + ω^R'
A= A' + Ao' - ωR'⟂ +2ω^V' + α^R'
quanto detto è facilmente deducibile partendo dalla posizione, derivandola rispetto al tempo trovando la velocità in quella forma contente quel fattore ω^R' che diventa nullo se il sistema relativo non ruota. Considerando questa ipotesi ora guardiamo il sistema relativo come sistema del centro di massa.
Quello che ho capito del centro di massa è che è il punto geometrico corrispondente al valor medio della distribuzione della massa del sistema di particelle considerato.
Ora quello che non mi è chiaro è: perchè la quantità di moto diventa solo pari a quella del centro di massa e quindi non si considera quella rispetto al centro di massa.
Guardando la formula su ottengo che moltiplicando per la massa dovrei ottenere
mV= mV' +mVo' e quindi avere Q=Q*+Qcm
sul mio libro di fisica come in tanti altri questa spiegazione è apparentemente nulla: viene semplicemente detto che prendendo la velocità istantanea del centro di massa
(dRcm/dt)= 1/M (Σ mi Vi) = Vcm
quindi moltiplicando per M si ottiene Σ mi Vi= M Vcm ---> Q=Qcm
Questo ragionamento mi sembra macchinoso e mi sembra che mi stia perdendo uno "stupido" ragionamento, tanto che mi chiedo allora che se calcolo l'energia cinetica si ottiene dai vari calcoli che K=Kcm+K*, che sviluppata sarebbe
Σi Ki= Σi [1/2 mi (Vcm)^2]+ Σi [1/2 mi (vi*)^2]
ma questo termine Σi [1/2 mi (vi*)^2] contiene dentro di se Q* che è nulla!
Aiutatemi!
Risposte
Hai chiaro il concetto di centro di massa di un sistema di particelle, o anche di un corpo rigido ? Penso di si.
Presa una particella i-esima del sistema, il raggio vettore rispetto all’origine del riferimento inerziale nel quale stai facendo i conti si può scrivere come somma del raggio vettore che individua il CM e del raggio vettore che ha come origine il CM e secondo estremo la particella detta :
$ vecr_i = vecR_G + vec r_(gi) $
moltiplicando per $m_i$ , sommando e derivando rispetto al tempo, hai :
$ Sigma_i m_i vecv_i = vecV_G Sigma_i m_i + Sigma_im_ivecv_(gi) $
nel primo termine al secondo membro ho messo in evidenza $vecV_G$. La quantità $vecv_(gi) $ è la velocita della i-esima particella rispetto al CM . Siccome si ha, dalla definizione di CM, e derivando rispetto al tempo, che:
$ Sigma_i m_i vecv_i = vecV_G Sigma_i m_i $
vuol dire che l'ultima quantità deve essere nulla : $ Sigma_im_ivecv_(gi) = 0 $
In altri termini, la quantità di moto del sistema di particelle in un riferimento che ha origine nel CM è nulla.
Presa una particella i-esima del sistema, il raggio vettore rispetto all’origine del riferimento inerziale nel quale stai facendo i conti si può scrivere come somma del raggio vettore che individua il CM e del raggio vettore che ha come origine il CM e secondo estremo la particella detta :
$ vecr_i = vecR_G + vec r_(gi) $
moltiplicando per $m_i$ , sommando e derivando rispetto al tempo, hai :
$ Sigma_i m_i vecv_i = vecV_G Sigma_i m_i + Sigma_im_ivecv_(gi) $
nel primo termine al secondo membro ho messo in evidenza $vecV_G$. La quantità $vecv_(gi) $ è la velocita della i-esima particella rispetto al CM . Siccome si ha, dalla definizione di CM, e derivando rispetto al tempo, che:
$ Sigma_i m_i vecv_i = vecV_G Sigma_i m_i $
vuol dire che l'ultima quantità deve essere nulla : $ Sigma_im_ivecv_(gi) = 0 $
In altri termini, la quantità di moto del sistema di particelle in un riferimento che ha origine nel CM è nulla.
Allora ho rivisto tutto e provo a fare un recap della teoria perchè ora trovo invece l'errore nell'energia cinetica (aiuto 
)
Allora preso un sistema di particelle posso definire un punto in cui sto valutando, tramite una media ponderata delle coordinate (dei punti delle singole particelle) rispetto alle corrispondenti masse, quello che chiamerò Centro di Massa.
Ora se considero due sistemi: uno assoluto in cui vale il principio di inerzia con assi $x,y,z$ e origine $O$ e un altro relativo in cui potrebbe non valere il principio di inerzia, ma che ha assi paralleli all'assoluto, considero l'origine $O'$ di tale sistema corrispondente al punto di Centro di Massa.
Così facendo ottengo che $ R=Rcm+ R$*$$
$->$ $Rcm$ =distanza origine sistema assoluto - sistema di riferimento
$->$ $R$ * = distanza rispetto all'origine del sistema relativo O' = Cm
Si ottiene come $R$ * risulta essere nulla, in quanto O' coincide con il Cm e dunque varrà $R$*$=0 $e allora la relazione sarà la seguente:
$ R=Rcm $
di conseguenza applicando la derivazione per il tempo ottengo
$ V=Vcm $
e quindi moltiplicando per la massa totale si ottiene che
$Q=Qcm$
Fino a qui riporta tutto. Ora però quando viene introdotta l'energia cinetica viene detto che alla fine
$ K= 1/2 sum(i) Mi Vi^2 $
E sapendo in generale che per due sistemi i cui assi non ruotano vale che $ V= V' + V$*$ $
Allora viene affermato che l'energia cinetica vale:
$ K= 1/2 sum(i) Mi V'i^2 + 1/2 sum(i) Mi V*^2 $
E quindi che $K=Kcm+K$*
1) Ma non abbiamo detto che $V$* ovvero la velocità rispetto al centro di massa è nulla? Proprio grazie al fatto che consideravamo il centro di massa nell'origine derivando il vettore posizione nel tempo ottenevamo $V=Vcm $ Perchèé ora non lo $V$* viene considerata diversa da 0?
2) $Kcm$ significa misurare l'energia cinetica del centro di massa, mentre $K$* cosa starebbe a significare? L'energia delle particelle che fanno parte del sistema del centro di massa?
Non capisco proprio dove sbaglio nel ragionamento!
)Allora preso un sistema di particelle posso definire un punto in cui sto valutando, tramite una media ponderata delle coordinate (dei punti delle singole particelle) rispetto alle corrispondenti masse, quello che chiamerò Centro di Massa.
Ora se considero due sistemi: uno assoluto in cui vale il principio di inerzia con assi $x,y,z$ e origine $O$ e un altro relativo in cui potrebbe non valere il principio di inerzia, ma che ha assi paralleli all'assoluto, considero l'origine $O'$ di tale sistema corrispondente al punto di Centro di Massa.
Così facendo ottengo che $ R=Rcm+ R$*$$
$->$ $Rcm$ =distanza origine sistema assoluto - sistema di riferimento
$->$ $R$ * = distanza rispetto all'origine del sistema relativo O' = Cm
Si ottiene come $R$ * risulta essere nulla, in quanto O' coincide con il Cm e dunque varrà $R$*$=0 $e allora la relazione sarà la seguente:
$ R=Rcm $
di conseguenza applicando la derivazione per il tempo ottengo
$ V=Vcm $
e quindi moltiplicando per la massa totale si ottiene che
$Q=Qcm$
Fino a qui riporta tutto. Ora però quando viene introdotta l'energia cinetica viene detto che alla fine
$ K= 1/2 sum(i) Mi Vi^2 $
E sapendo in generale che per due sistemi i cui assi non ruotano vale che $ V= V' + V$*$ $
Allora viene affermato che l'energia cinetica vale:
$ K= 1/2 sum(i) Mi V'i^2 + 1/2 sum(i) Mi V*^2 $
E quindi che $K=Kcm+K$*
1) Ma non abbiamo detto che $V$* ovvero la velocità rispetto al centro di massa è nulla? Proprio grazie al fatto che consideravamo il centro di massa nell'origine derivando il vettore posizione nel tempo ottenevamo $V=Vcm $ Perchèé ora non lo $V$* viene considerata diversa da 0?
2) $Kcm$ significa misurare l'energia cinetica del centro di massa, mentre $K$* cosa starebbe a significare? L'energia delle particelle che fanno parte del sistema del centro di massa?
Non capisco proprio dove sbaglio nel ragionamento!
Allora preso un sistema di particelle posso definire un punto in cui sto valutando, tramite una media ponderata delle coordinate (dei punti delle singole particelle) rispetto alle corrispondenti masse, quello che chiamerò Centro di Massa.
Ti esprimi in maniera un po’ complicata. La parte da me evidenziata in rosso è un contorcimento superfluo per dire, piu semplicemente : preso un sistema di particelle, definisco Centro di Massa il punto le cui coordinate si ottengono con una media ponderata delle coordinate (dei punti delle singole particelle) assumendo come “pesi” le corrispondenti masse. Ma la formula serve a evitare tante parole. Una formula sostituisce un intero discorso, per questo esistono le formule.
Se hai un corpo rigido, continuo, farai degli integrali.
Ora se considero due sistemi: uno assoluto in cui vale il principio di inerzia con assi $x,y,z$ e origine $O$ e un altro relativo in cui potrebbe non valere il principio di inerzia, ma che ha assi paralleli all'assoluto, considero l'origine $O'$ di tale sistema corrispondente al punto di Centro di Massa.
Non occorre fare tante precisazioni sui sistemi di riferimento. Quello con origine nel CM non deve necessariamente avere gli assi paralleli agli assi di $(O, x,y,z)$. Questa tu idea forse è alla base del dubbio che viene dopo sull’energia cinetica ? Perché il sistema con origine in CM non deve ruotare rispetto al sistema assoluto? Spiegalo meglio il tuo dubbio, non l’ho ben capito.
Il modo in cui ho espresso i concetti è sicuramente complesso ma ho cercato di riferirmi a una definizione abbastanza rigorosa (che tra l'altro il mio stesso libro di Fisica 1 propone).
Comunque il mio dubbio è riferito a quella velocità $ V $ * che dovrebbe essere nulla visto che derivando $dR$$/dt$ si ottiene che $V=Vcm$. Non capisco perchè ricompare nell'energia cinetica. Cosa misura questa velocità se ho considerato il Centro di Massa coincidente con l'origine $O'$?
Secondo il ragionamento riportato su avrei dovuto avere che $K= Kcm$ e non che $K= Kcm + K$*
Comunque il mio dubbio è riferito a quella velocità $ V $ * che dovrebbe essere nulla visto che derivando $dR$$/dt$ si ottiene che $V=Vcm$. Non capisco perchè ricompare nell'energia cinetica. Cosa misura questa velocità se ho considerato il Centro di Massa coincidente con l'origine $O'$?
Secondo il ragionamento riportato su avrei dovuto avere che $K= Kcm$ e non che $K= Kcm + K$*
Non ci siamo.
In generale, l’energia cinetica di un sistema di particelle (ma anche di una sola particella) dipende dal sistema di riferimento nel quale si considera il sistema in moto. Non stiamo parlando ora di un corpo rigido.
Quando scrivi :
Stai facendo un errore, perchè [nota]per avere l’asterisco in alto , è sufficiente scrivere vecR^\star tra i dollari[/nota] $vecR^\star$ è il raggio vettore della i-esima particella nel riferimento che ha $O’ = CM $ come origine del sistema di coordinate. (Nota innanzitutto che è un vettore appunto, e va scritto col segno di vettore sulla capoccia). Perché $vecR^\star$ deve essere nullo ? Non lo è , è semplicemente , ripeto, il raggio vettore di una data particella nel riferimento del CM, non è il risultante.
Quello che scrivi dopo mi fa capire che non ti è chiaro ancora il teorema della quantità di moto del sistema di particelle, perciò riguardati quanto detto.
Per quanto riguarda l’energia cinetica del sistema di particelle , si ha dapprima che “ la velocità assoluta è somma della velocità relativa e della velocità di trascinamento” , e questo vale anche se il riferimento di trascinamento ha origine nel CM . Quindi per la i-esima particella (adopero i miei simboli) :
$vecv_i = vecV_G + vecv_(gi) $
per la particella i-esima :
$1/2m_ivecv_i^2 = 1/2m_i ( vecV_G + vecv_(gi) ) * ( vecV_G + vecv_(gi) ) = 1/2m_i V_G^2 + m_i (vecV_G* vecv_(gi) )+ 1/2m_i v_(gi)^2 $
e quando vai a sommare su tutte le particelle :
$Sigma1/2m_ivecv_i^2 = Sigma 1/2m_i ( vecV_G + vecv_(gi) ) * ( vecV_G + vecv_(gi) ) = Sigma 1/2m_i V_G^2 + Sigma m_i (vecV_G* vecv_(gi) )+ Sigma 1/2m_i v_(gi)^2 $
la sommatoria scritta come secondo termine all'ultimo membro è nulla : $Sigma m_i (vecV_G* vecv_(gi) ) = vecV_G* Sigma m_i vecv_(gi) $ , per il teorema della quantità di moto prima dimostrato. Rimangono quindi due termini :
$Sigma1/2m_ivecv_i^2 = Sigma 1/2m_i V_G^2 + Sigma 1/2m_i v_(gi)^2 = 1/2M*V_G^2 +Sigma 1/2m_i v_(gi)^2$
dove il primo è l’energia cinetica traslazionale della massa $M$ del sistema, immaginata concentrata nel CM , e il secondo è l’energia cinetica del sistema nel moto relativo al CM : teorema di König .
Guardati anche questo ,
quest’altro :https://it.wikipedia.org/wiki/Secondo_teorema_di_König
e le pagine seguenti, copiate dallo stesso libro di prima :
In generale, l’energia cinetica di un sistema di particelle (ma anche di una sola particella) dipende dal sistema di riferimento nel quale si considera il sistema in moto. Non stiamo parlando ora di un corpo rigido.
Quando scrivi :
Così facendo ottengo che $ R=Rcm+ R $*$ $
$ -> $ $ Rcm $ =distanza origine sistema assoluto - sistema di riferimento
$ -> $ $ R $ * = distanza rispetto all'origine del sistema relativo O' = Cm
Si ottiene come $ R $ * risulta essere nulla, in quanto O' coincide con il Cm e dunque varrà $ R $*$ =0 $e allora la relazione sarà la seguente:
$ R=Rcm $
di conseguenza applicando la derivazione per il tempo ottengo
$ V=Vcm $
e quindi moltiplicando per la massa totale si ottiene che
$ Q=Qcm $
Fino a qui riporta tutto.
Stai facendo un errore, perchè [nota]per avere l’asterisco in alto , è sufficiente scrivere vecR^\star tra i dollari[/nota] $vecR^\star$ è il raggio vettore della i-esima particella nel riferimento che ha $O’ = CM $ come origine del sistema di coordinate. (Nota innanzitutto che è un vettore appunto, e va scritto col segno di vettore sulla capoccia). Perché $vecR^\star$ deve essere nullo ? Non lo è , è semplicemente , ripeto, il raggio vettore di una data particella nel riferimento del CM, non è il risultante.
Quello che scrivi dopo mi fa capire che non ti è chiaro ancora il teorema della quantità di moto del sistema di particelle, perciò riguardati quanto detto.
Per quanto riguarda l’energia cinetica del sistema di particelle , si ha dapprima che “ la velocità assoluta è somma della velocità relativa e della velocità di trascinamento” , e questo vale anche se il riferimento di trascinamento ha origine nel CM . Quindi per la i-esima particella (adopero i miei simboli) :
$vecv_i = vecV_G + vecv_(gi) $
per la particella i-esima :
$1/2m_ivecv_i^2 = 1/2m_i ( vecV_G + vecv_(gi) ) * ( vecV_G + vecv_(gi) ) = 1/2m_i V_G^2 + m_i (vecV_G* vecv_(gi) )+ 1/2m_i v_(gi)^2 $
e quando vai a sommare su tutte le particelle :
$Sigma1/2m_ivecv_i^2 = Sigma 1/2m_i ( vecV_G + vecv_(gi) ) * ( vecV_G + vecv_(gi) ) = Sigma 1/2m_i V_G^2 + Sigma m_i (vecV_G* vecv_(gi) )+ Sigma 1/2m_i v_(gi)^2 $
la sommatoria scritta come secondo termine all'ultimo membro è nulla : $Sigma m_i (vecV_G* vecv_(gi) ) = vecV_G* Sigma m_i vecv_(gi) $ , per il teorema della quantità di moto prima dimostrato. Rimangono quindi due termini :
$Sigma1/2m_ivecv_i^2 = Sigma 1/2m_i V_G^2 + Sigma 1/2m_i v_(gi)^2 = 1/2M*V_G^2 +Sigma 1/2m_i v_(gi)^2$
dove il primo è l’energia cinetica traslazionale della massa $M$ del sistema, immaginata concentrata nel CM , e il secondo è l’energia cinetica del sistema nel moto relativo al CM : teorema di König .
Guardati anche questo ,
quest’altro :https://it.wikipedia.org/wiki/Secondo_teorema_di_König
e le pagine seguenti, copiate dallo stesso libro di prima :
Allora ho rivisto tutto, in particolar modo il pdf che hai allegato. Provo a rifare un riassunto generale per vedere se ho ben capito il tutto.
Definisco Centro di Massa come il punto le cui coordinate si ottengono tramite la media ponderata delle coordinate delle diverse particelle i-esime pesate con la rispettiva massa.
Allora avrò che la distanza del centro di massa sarà pari a
$ Rcm=sum(i) (mi vecRi)/M $
derivando rispetto al tempo ottengo che
$ vecVcm=sum(i) (mi vecVi)/M $
con $ vecVi $ = velocità della particella i-esima
Dunque moltiplicando entrambi i membri per la Massa totale $ M$ § si ottiene che
$ vecq=vecqcm $
A questo punto se si considera un sistema assoluto con assi $x,y,z$ e origine $O$ e un sistema relativo con assi $x',y',z' $e origine $ O'$, consideriamo il Centro di Massa $CM=O'$.
Essenedo il $CM=O'$ allora si avrà che:
$ vecRcm'=0 $
Ovvero che la distanza del centro di massa dal riferimento O' sarà nulla in quanto coincidenti.
E quindi che:
$ vecVcm'=0 $
Ora però sappiamo che il punto di Centro di Massa è individuato dalla media ponderata esposta qui sopra e quindi si ha che:
$ vecRcm'= sum(i) (vecR'i mi)/M $
ed essendo $Rcm'=0$ allora la sommatoria sarà nulla!
Derivando rispetto al tempo anche la velocità del centro di massa rispetto al centro di massa, essendo nulla, si ottiene che la sommatoria delle velocità i-esime per la massa è nulla.
Si può quindi dimostrare come prese due particelle e il loro centro di massa nel sistema relativo (dimostrazione nel pdf) si ottiene che le particelle hanno quantità di moto sulla stessa direzione ma con verso opposto e quindi $vecQ=vecQcm$
Segue il discorso sull'energia cinetica che hai fatto tu, che trovo molto chiaro.
In conclusione, cercherò di spiegare in maniera "volgare", se prendo due particelle per far cadere il centro di massa nell'origine del sistema di riferimento devo avere che le loro distanze da O' pesate con la massa sommate mi diano 0!
Definisco Centro di Massa come il punto le cui coordinate si ottengono tramite la media ponderata delle coordinate delle diverse particelle i-esime pesate con la rispettiva massa.
Allora avrò che la distanza del centro di massa sarà pari a
$ Rcm=sum(i) (mi vecRi)/M $
derivando rispetto al tempo ottengo che
$ vecVcm=sum(i) (mi vecVi)/M $
con $ vecVi $ = velocità della particella i-esima
Dunque moltiplicando entrambi i membri per la Massa totale $ M$ § si ottiene che
$ vecq=vecqcm $
A questo punto se si considera un sistema assoluto con assi $x,y,z$ e origine $O$ e un sistema relativo con assi $x',y',z' $e origine $ O'$, consideriamo il Centro di Massa $CM=O'$.
Essenedo il $CM=O'$ allora si avrà che:
$ vecRcm'=0 $
Ovvero che la distanza del centro di massa dal riferimento O' sarà nulla in quanto coincidenti.
E quindi che:
$ vecVcm'=0 $
Ora però sappiamo che il punto di Centro di Massa è individuato dalla media ponderata esposta qui sopra e quindi si ha che:
$ vecRcm'= sum(i) (vecR'i mi)/M $
ed essendo $Rcm'=0$ allora la sommatoria sarà nulla!
Derivando rispetto al tempo anche la velocità del centro di massa rispetto al centro di massa, essendo nulla, si ottiene che la sommatoria delle velocità i-esime per la massa è nulla.
Si può quindi dimostrare come prese due particelle e il loro centro di massa nel sistema relativo (dimostrazione nel pdf) si ottiene che le particelle hanno quantità di moto sulla stessa direzione ma con verso opposto e quindi $vecQ=vecQcm$
Segue il discorso sull'energia cinetica che hai fatto tu, che trovo molto chiaro.
In conclusione, cercherò di spiegare in maniera "volgare", se prendo due particelle per far cadere il centro di massa nell'origine del sistema di riferimento devo avere che le loro distanze da O' pesate con la massa sommate mi diano 0!
"Marck0":
Allora ho rivisto tutto, in particolar modo il pdf che hai allegato. Provo a rifare un riassunto generale per vedere se ho ben capito il tutto.
Definisco Centro di Massa come il punto le cui coordinate si ottengono tramite la media ponderata delle coordinate delle diverse particelle i-esime pesate con la rispettiva massa.
Allora avrò che la distanza del centro di massa sarà pari a
$ Rcm=sum(i) (mi vecRi)/M $
Questo è il raggio vettore che individua il CM, rispetto a un punto $O$ che assumi come origine di un riferimento. Non dimenticare il riferimento, prima di ogni cosa. Vedi figure sotto spoiler.
derivando rispetto al tempo ottengo che
$ vecVcm=sum(i) (mi vecVi)/M $
con $ vecVi $ = velocità della particella i-esima
Dunque moltiplicando entrambi i membri per la Massa totale $ M$ § si ottiene (ho scritto meglio la seguente formula) :
$MvecVcm=sum_i mi vecVi rarr vecQ = sum_i vecq_i$
Sempre precisando che stai parlando di velocità in quel riferimento. Come ti ho detto, se cambi riferimento cambiano le velocità , e quindi le quantità di moto. Quello che hai scritto è il teorema della quantità di moto di un sistema di particelle. Spero che ora ti sia chiaro.
A questo punto se si considera un sistema assoluto con assi $x,y,z$ e origine $O$ e un sistema relativo con assi $x',y',z' $e origine $ O'$, consideriamo il Centro di Massa $CM=O'$.
Essenedo il $CM=O'$ allora si avrà che:
$ vecRcm'=0 $
Ovvero che la distanza del centro di massa dal riferimento O' sarà nulla in quanto coincidenti.
E quindi che:
$ vecVcm'=0 $
In altri termini, la velocità del CM , nel riferimento che ha origine nel CM, è nulla.
Ora però sappiamo che il punto di Centro di Massa è individuato dalla media ponderata esposta qui sopra e quindi si ha che:
$ vecRcm'= sum(i) (vecR'i mi)/M $
ed essendo $Rcm'=0$ allora la sommatoria sarà nulla!
Derivando rispetto al tempo anche la velocità del centro di massa rispetto al centro di massa, essendo nulla, si ottiene che la sommatoria delle velocità i-esime per la massa è nulla.
Che bisogno c’è di ritornare indietro? Ti vedo ancora traballante sul teorema della q.d.m. prima dimostrato. La quantità di moto del sistema, nel riferimento che ha origine nel CM, è nulla , perché abbiamo visto che , nel riferimento $(O,x,y,z) $ generico, essa è data dal prodotto della massa totale del sistema per la velocità del CM in quel riferimento . Se prendiamo come riferimento quello con origine in CM , la velocità del CM in esso è nulla. Perciò è nulla la q.d.m. del sistema delle particelle in esso, per quanto detto.
Si può quindi dimostrare come prese due particelle e il loro centro di massa nel sistema relativo (dimostrazione nel pdf) si ottiene che le particelle hanno quantità di moto sulla stessa direzione ma con verso opposto e quindi $vecQ=vecQcm$
Segue il discorso sull'energia cinetica che hai fatto tu, che trovo molto chiaro.
In conclusione, cercherò di spiegare in maniera "volgare", se prendo due particelle per far cadere il centro di massa nell'origine del sistema di riferimento devo avere che le loro distanze da O' pesate con la massa sommate mi diano 0!
Che fatica !
Si sicuramente devo interiorizzare il tutto un po meglio, risolvendo quelle imprecisioni che mi hai fatto notare.
Il discorso che faccio è pastoso e in certi casi ripetitivo perchè ho cercato di non lasciare nulla al caso. Sto preparando l'esame di Fisica 1 e voglio avere capito tutto bene. Ovviamente quel discorso ripetitivo della quantità di moto rispetto al centro di massa che è nulla lo tirerò fuori solo se me ne viene richiesta la dimostrazione.
Comunque grazie tantissimo dell'aiuto, finalmente ho una visione chiara della situazione!
Il discorso che faccio è pastoso e in certi casi ripetitivo perchè ho cercato di non lasciare nulla al caso. Sto preparando l'esame di Fisica 1 e voglio avere capito tutto bene. Ovviamente quel discorso ripetitivo della quantità di moto rispetto al centro di massa che è nulla lo tirerò fuori solo se me ne viene richiesta la dimostrazione.
Comunque grazie tantissimo dell'aiuto, finalmente ho una visione chiara della situazione!
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