Quantità di moto
Raga ulteriore domanda di fisica :
-ho letto che se io ho due corpi con due masse rispettivamente di m1 =2kg e m2=4kg collegati da una molla se lascio la molla acquisiscono due velocità differenti v1=2v2 ma perchè?
non mi dite che poi c'entra la quantità di moto è vero si devono bilanciare perchè prima era zero e quindi dovrà continuare a d essere 0 perchè ci troviamo in un sistema isolato
-Ma poi come si è scoperto che questo prodotto si doveva bilanciare?
-ho letto che se io ho due corpi con due masse rispettivamente di m1 =2kg e m2=4kg collegati da una molla se lascio la molla acquisiscono due velocità differenti v1=2v2 ma perchè?
non mi dite che poi c'entra la quantità di moto è vero si devono bilanciare perchè prima era zero e quindi dovrà continuare a d essere 0 perchè ci troviamo in un sistema isolato
-Ma poi come si è scoperto che questo prodotto si doveva bilanciare?
Risposte
Ciò che si conserva nel sistema sono la quantità di moto e l'energia.
L'energia si conserva perchè l'unica forza a gente è quella elastica, la quale (si può dimostrare matematicamente) è conservativa.
Il sistema passa continuamente da una configurazione ad energia potenziale massima ad una configurazione ad energia cinetica massima, mantenedo costante la propria energia:
$1/2 k x^2 = 1/2 m_1 (v_1)^2 + 1/2 m_2 (v_2)^2$ ($k$ è la costante elastica della molla, $x$ la sua deformazione massima).
La quantità di moto si conserva, quindi vale:
$m_1 vec(v_1) + m_2 vec(v_2) = 0
Scalarmente, poichè le velocità sono in verso opposto: $m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0 -> m_1 v_1 = 2 m_1 v_2 -> v_1 = 2 v_2$
La conservazione della quantità di moto si può dimostrare matematicamente in modo molto semplice.
Supponiamo di avere un sistema isolato con $n$ punti materiali: il centro di massa del sistema è definito come:
$vec(r_(CM)) = (Sigma m_i vec(r_i))/M$
$m_i$ e $r_i$ sono le masse e le posizioni dei punti in un certo sistema di riferimento, mentre $M$ è la massa totale del sistema.
Derivando rispetto al tempo si ha:
$vec(v_(CM)) = (Sigma m_i vec(v_i))/M = vec(P)/M$, con $vec(P)$ quantità di moto totale del sistema.
Derivando ancora:
$vec(a_(CM)) = (Sigma m_i vec(a_i))/M = (dvec(P))/dt 1/M$
Da qui si ottiene la prima equazione cardinale della meccanica dei sistemi: $M vec(a_(CM)) = vec(R) = (dvec(P))/dt$
$vec(R) = M vec(a_(CM))$ è la risultante delle forze esterne agenti sul sistema: quelle interne sono sempre nulle (per il principio di azione e reazione, tali
forze interne sono sempre uguali ed opposte a due a due).
Se $vec(R) = 0$, cioè non agiscono forze esterne (sistema isolato), si ha $(dvec(P))/dt = 0$, ovvero $vec(P) = costante$: la quantità di moto si conserva.
Nel tuo caso specifico, se è nulla all'inizio deve continuare ad essere nulla anche dopo.
L'energia si conserva perchè l'unica forza a gente è quella elastica, la quale (si può dimostrare matematicamente) è conservativa.
Il sistema passa continuamente da una configurazione ad energia potenziale massima ad una configurazione ad energia cinetica massima, mantenedo costante la propria energia:
$1/2 k x^2 = 1/2 m_1 (v_1)^2 + 1/2 m_2 (v_2)^2$ ($k$ è la costante elastica della molla, $x$ la sua deformazione massima).
La quantità di moto si conserva, quindi vale:
$m_1 vec(v_1) + m_2 vec(v_2) = 0
Scalarmente, poichè le velocità sono in verso opposto: $m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0 -> m_1 v_1 = 2 m_1 v_2 -> v_1 = 2 v_2$
La conservazione della quantità di moto si può dimostrare matematicamente in modo molto semplice.
Supponiamo di avere un sistema isolato con $n$ punti materiali: il centro di massa del sistema è definito come:
$vec(r_(CM)) = (Sigma m_i vec(r_i))/M$
$m_i$ e $r_i$ sono le masse e le posizioni dei punti in un certo sistema di riferimento, mentre $M$ è la massa totale del sistema.
Derivando rispetto al tempo si ha:
$vec(v_(CM)) = (Sigma m_i vec(v_i))/M = vec(P)/M$, con $vec(P)$ quantità di moto totale del sistema.
Derivando ancora:
$vec(a_(CM)) = (Sigma m_i vec(a_i))/M = (dvec(P))/dt 1/M$
Da qui si ottiene la prima equazione cardinale della meccanica dei sistemi: $M vec(a_(CM)) = vec(R) = (dvec(P))/dt$
$vec(R) = M vec(a_(CM))$ è la risultante delle forze esterne agenti sul sistema: quelle interne sono sempre nulle (per il principio di azione e reazione, tali
forze interne sono sempre uguali ed opposte a due a due).
Se $vec(R) = 0$, cioè non agiscono forze esterne (sistema isolato), si ha $(dvec(P))/dt = 0$, ovvero $vec(P) = costante$: la quantità di moto si conserva.
Nel tuo caso specifico, se è nulla all'inizio deve continuare ad essere nulla anche dopo.
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