[QUANTISTICA] Problema: Oscillatore Armonico [...e altro]
Salve a tutti, sto affrontando un esercizio che non sono sicuro di aver compreso per bene:
passo alla descrizione dell'esercizio:
Una particella di massa m si muove in un potenziale armonico di pulsazione ω. Il suo stato all'istante t=0 è descritto dalla funzione:
$\psi(x)=A(x^2+2x\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}})e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$
a) Si determini la costante di normalizzazione A.
b) Si calcoli sullo stato $\psi(x)$ il valor medio della coordinata x.
c) Si determini la funzione d'onda per t > 0.
d) Si calcoli sullo stato $\psi(x,t)$ il valor medio dell'energia.
allora, io ho affrontato "pedestremente" il problema a), prendendo la mia funzione d'onda, e calcolando "brutalmente" A tramite la condizione di normalizzazione $1=\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi|^2 dx$
i calcoli non sono nemmeno troppo lunghi, ma quello che mi chiedo io e':
e' possibile ed eventualmente e' conveniente trattare questo problema vedendo la funzione d'onda come combinazione lineare dei livelli normalizzati dell'oscillatore armonico, quindi come $\psi(x)=c_1\psi_1 + c_2\psi_2 + c_3\psi_3 +.......$ e quindi calcolando i coefficienti ecc..?
per come la vedo io, essendo gli stati dell'oscillatore armonico quantizzati, con le $\psi_n$ che formano una base ortonormale, dovrebbe essere possibile, ma quanto e' conveniente?
passo alla descrizione dell'esercizio:
Una particella di massa m si muove in un potenziale armonico di pulsazione ω. Il suo stato all'istante t=0 è descritto dalla funzione:
$\psi(x)=A(x^2+2x\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}})e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$
a) Si determini la costante di normalizzazione A.
b) Si calcoli sullo stato $\psi(x)$ il valor medio della coordinata x.
c) Si determini la funzione d'onda per t > 0.
d) Si calcoli sullo stato $\psi(x,t)$ il valor medio dell'energia.
allora, io ho affrontato "pedestremente" il problema a), prendendo la mia funzione d'onda, e calcolando "brutalmente" A tramite la condizione di normalizzazione $1=\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi|^2 dx$
i calcoli non sono nemmeno troppo lunghi, ma quello che mi chiedo io e':
e' possibile ed eventualmente e' conveniente trattare questo problema vedendo la funzione d'onda come combinazione lineare dei livelli normalizzati dell'oscillatore armonico, quindi come $\psi(x)=c_1\psi_1 + c_2\psi_2 + c_3\psi_3 +.......$ e quindi calcolando i coefficienti ecc..?
per come la vedo io, essendo gli stati dell'oscillatore armonico quantizzati, con le $\psi_n$ che formano una base ortonormale, dovrebbe essere possibile, ma quanto e' conveniente?
Risposte
"mashiro":
e' possibile ed eventualmente e' conveniente trattare questo problema vedendo la funzione d'onda come combinazione lineare dei livelli normalizzati dell'oscillatore armonico, quindi come $\psi(x)=c_1\psi_1 + c_2\psi_2 + c_3\psi_3 +.......$ e quindi calcolando i coefficienti ecc..?
per come la vedo io, essendo gli stati dell'oscillatore armonico quantizzati, con le $\psi_n$ che formano una base ortonormale, dovrebbe essere possibile, ma quanto e' conveniente?
Certamente è possibile, una soluzione generica è sempre una combinazione lineare delle autofunzioni del problema.
Riguardo la convenienza in fondo è una questione soggettiva, però direi che è abbastanza comodo per i punti c) e d).
Infatti una volta scritta $\psi(x) = \sum_i c_i \psi_i(x)$, dove $\psi_i(x)$ sono le autofunzioni dell'energia, hai semplicemente $\psi(x, t) = \sum_i exp{-\frac{iE_it}{\hbar}} c_i \psi_i(x)$ ed $\langle E \rangle = \sum_i |c_i|^2 E_i$.
esatto! e' proprio quello che volevo sentirmi dire.. secondo te come devo procedere per calcolare i coefficienti che "pesano" le funzioni??
p.s. complimenti per la firma, carinissima!!
p.s. complimenti per la firma, carinissima!!
risolvo semplicemente spezzando la $\psi(x)$ in 2 parti, e svolgendo l'equazione.. si, dai, penso di aver capito..
grazie mille
grazie mille
altro problema..
2) Si consideri un sistema a due livelli e si consideri la base composta dalle due autofunzioni |ψ1> e
|ψ2> dell'Hamiltoniana H0 con autovalori rispettivamente E1 ed E2 :
$H0∣\psi_1 〉=E1∣\psi_1 〉
$H0∣\psi_2 〉=E2∣\psi_2 〉
〈$<\psi_i∣\psi_j> 〉=\delta_{ij}$ con i,j=1,2 e E2>E1.
Si consideri quindi un nuovo sistema con Hamiltoniana H0 +W , dove il termine di accoppiamento
W, nella base {|ψ1>, |ψ2> }, è dato dalla matrice 2x2 $W_{ij}$ con $W_{11}=W_{22}=0$ e $W_{12}=W_{21}=W$ dove W è
una costante reale positiva.
a) Si determini come variano le autofunzioni e gli autovalori del sistema per effetto
dell'accoppiamento.
b) Si consideri $W=E_2-E_1$.
All'istante t = 0 il sistema, in presenza dell'accoppiamento, si trova con
certezza nello stato |ψ1>: si calcoli la probabilità di trovare il sistema nello stato |ψ2> al tempo t . In
quali istanti (se esistono) il sistema si troverà di nuovo nella condizione iniziale?
questo problema purtroppo per me e' ostico perche' non so come e' fatta la matrice dell'hamiltoniano.. mi potreste aiutare anche solo ad impostarlo?
grazie
2) Si consideri un sistema a due livelli e si consideri la base composta dalle due autofunzioni |ψ1> e
|ψ2> dell'Hamiltoniana H0 con autovalori rispettivamente E1 ed E2 :
$H0∣\psi_1 〉=E1∣\psi_1 〉
$H0∣\psi_2 〉=E2∣\psi_2 〉
〈$<\psi_i∣\psi_j> 〉=\delta_{ij}$ con i,j=1,2 e E2>E1.
Si consideri quindi un nuovo sistema con Hamiltoniana H0 +W , dove il termine di accoppiamento
W, nella base {|ψ1>, |ψ2> }, è dato dalla matrice 2x2 $W_{ij}$ con $W_{11}=W_{22}=0$ e $W_{12}=W_{21}=W$ dove W è
una costante reale positiva.
a) Si determini come variano le autofunzioni e gli autovalori del sistema per effetto
dell'accoppiamento.
b) Si consideri $W=E_2-E_1$.
All'istante t = 0 il sistema, in presenza dell'accoppiamento, si trova con
certezza nello stato |ψ1>: si calcoli la probabilità di trovare il sistema nello stato |ψ2> al tempo t . In
quali istanti (se esistono) il sistema si troverà di nuovo nella condizione iniziale?
questo problema purtroppo per me e' ostico perche' non so come e' fatta la matrice dell'hamiltoniano.. mi potreste aiutare anche solo ad impostarlo?
grazie
Con l'aggiunta del termine $W$ hai $H ((\psi_1), (\psi_2)) = ((E_1, W), (W, E_2)) ((\psi_1), (\psi_2))$.
Ti basta trovare autovalori e autovettori della matrice $H$ per risolvere il primo punto.
Ti basta trovare autovalori e autovettori della matrice $H$ per risolvere il primo punto.
quindi in linea del tutto generale, l'elemento della matrice dell'hamiltoniano e':
$H_{m,n}=<\psi_m|H|\psi_n>$
sbaglio?? per me e' un punto cruciale visto che il mio prof lo mette spesso..
$H_{m,n}=<\psi_m|H|\psi_n>$
sbaglio?? per me e' un punto cruciale visto che il mio prof lo mette spesso..
"Eredir":
Con l'aggiunta del termine $W$ hai $H ((\psi_1), (\psi_2)) = ((E_1, W), (W, E_2)) ((\psi_1), (\psi_2))$.
Ti basta trovare autovalori e autovettori della matrice $H$ per risolvere il primo punto.
allora, per calcolare gli autovalori della matrice in questione, devo calcolare:
$det((E_1-\lambda, W), (W, E_2-\lambda))$
i conti restituiscono gli autovalori $\lambda_{1,2}=\frac{E_1 + E_2 +- 2W sqrt{(\frac{E_2-E_1}{2W})^2+1}}{2}$
i quali pero' a meno che non siano stati maneggiati con molta finezza da parte mia, non sono proprio "belli da vedere"..
non posso portarmi dietro sto popo' di roba, o no?!
mi potreste dare una mano per il punto b) del precedente esercizio?
non ci sto capendo nulla.. please..
non ci sto capendo nulla.. please..
"mashiro":
quindi in linea del tutto generale, l'elemento della matrice dell'hamiltoniano e':
$H_{m,n}=<\psi_m|H|\psi_n>$
sbaglio?? per me e' un punto cruciale visto che il mio prof lo mette spesso..
Sì. In questo caso visto che la base è composta da due soli stati hai una matrice $2\xx2$, in generale avrai una matrice infinito dimensionale oppure una matrice "continua" nel caso di spettro continuo.
"mashiro":
i conti restituiscono gli autovalori $\lambda_{1,2}=\frac{E_1 + E_2 +- 2W sqrt{(\frac{E_2-E_1}{2W})^2+1}}{2}$
i quali pero' a meno che non siano stati maneggiati con molta finezza da parte mia, non sono proprio "belli da vedere"..
non posso portarmi dietro sto popo' di roba, o no?!
Nella vita i risultati dei conti non sono sempre belli da vedere.
"mashiro":
mi potreste dare una mano per il punto b) del precedente esercizio?
non ci sto capendo nulla.. please..
Intanto ti mancano le autofunzioni del punto precedente (devi scrivere gli autovettori della matrice come combinazione lineare delle autofunzioni $\psi_1$ e $\psi_2$).
Per il punto b) prima devi fare l'evoluzione temporale dello stato $|\psi_1 \rangle$. E' importante notare che questo stato evolve con l'hamiltoniana $H$, non $H_0$, quindi devi esprimere $|\psi_1 \rangle$ come combinazione lineare dei nuovi autostati (quello che ti dicevo mancava del punto precedente) e poi puoi metterci i simpatici fattori esponenziali di evoluzione temporale. A questo punto fai il prodotto scalare con $|\psi_2 \rangle$ (anche lui espresso nella nuova base) e trovi la probabilità.
ma come faccio a trovare gli autovettori?? per me e' un problema..
quali sono le relazioni che devo usare?
quali sono le relazioni che devo usare?
"mashiro":
ma come faccio a trovare gli autovettori?? per me e' un problema..
quali sono le relazioni che devo usare?
Trovare gli autovettori relativi ad una matrice è una nozione di algebra lineare che dovresti conoscere... Un autovettore $v$ è definito dalla proprietà $A v = \lambda v$, dove $A$ è la matrice e $\lambda$ l'autovalore corrispondente all'autovettore. Metti gli autovalori che hai trovato e trova gli autovettori.
Per semplicità di conto la condizione la puoi riscrivere come $(A - \lambda I) v = 0$, inoltre ti basta considerare una sola riga (l'altra è evidentemente linearmente dipendente), ovvero una relazione del tipo $(A_{11} - \lambda) v_1 + A_{12} v_2 = 0$.
ok, dopo aver scritto il post precedente, mi e' tornato in mente come calcolare gli autovettori..
quelli che hai scritto come $v_1$ e $v_2$ sono le componenti di un vettore colonna $v=(v_1 , v_2)$??
quindi con le 4 equazioni in 2 incognite, troverei i miei 2 autovettori, ma come trovo le combinazioni lineari dei miei autostati di partenza $|\psi_1>$ e $|\psi_2>$??
quelli che hai scritto come $v_1$ e $v_2$ sono le componenti di un vettore colonna $v=(v_1 , v_2)$??
quindi con le 4 equazioni in 2 incognite, troverei i miei 2 autovettori, ma come trovo le combinazioni lineari dei miei autostati di partenza $|\psi_1>$ e $|\psi_2>$??
ci sono.. avrei le soluzioni dell'hamiltoniano con il termine d'accoppiamento pari a:
$|\psi_+>\=v_1(\lambda_1)|\psi_1> + v_2(\lambda_1)|\psi_2>$
e
$|\psi_- \ > =v_1(\lambda_2)|\psi_1> + v_2(\lambda_2)|\psi_2>$
ok???
$|\psi_+>\=v_1(\lambda_1)|\psi_1> + v_2(\lambda_1)|\psi_2>$
e
$|\psi_- \ > =v_1(\lambda_2)|\psi_1> + v_2(\lambda_2)|\psi_2>$
ok???
Mashiro, curiosità: da dove li prendi gli esercizi? Sono gli stessi del libro che uso io, scritto dal mio Prof! 
(Ce l ho qui davanti perchè sto preparando l'esame)
Se ti interessa sono corredati da soluzione!
(Ce l ho qui davanti perchè sto preparando l'esame)Se ti interessa sono corredati da soluzione!
...ma dai.. e che libro e'?? io uso il griffiths e gli esercizi che ho scritto qui sono quelli che ha dato il mio professore in appelli scorsi..
se ci sono le soluzioni mi farebbe proprio piacere per avere un riscontro e perfezionare le mie capacita'..
c'e' anche un pdf del tuo libro?
se ci sono le soluzioni mi farebbe proprio piacere per avere un riscontro e perfezionare le mie capacita'..
c'e' anche un pdf del tuo libro?
Lo trovi su google books! http://books.google.com/books?id=1xvcQr ... q=&f=false
anche se ogni tanto mancano delle pagine
anche se ogni tanto mancano delle pagine
come faccio a scaricarlo?? perdona l'ignoranza..
Mmm scaricarlo non credo si possa... a meno che nn lo fai a mano pagina per pagina! google books è fatto apposta per farti vedere solo un anteprima....
grazie mille.. hai mp.
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