Quantistica, numeri quantici naturali o relativi?

[maxspyderweb]

Ciao a tutti,
volevo chiedere a qualcuno se può spiegarmi una volta trovate le autofunzioni dell'hamiltoniana ad esempio dipendenti da n e le energie (sempre dipendenti da n) quando decidere se possono assumere numeri negativi e positivi o solo positivi, sia nel caso delle autofunzioni che nel caso delle energie.
Prendendo ad esempio la buca di potenziale infinita faccio molta confusione, capisco che ad esempio n=0 ho l'aufuzione nulla e quindi non ha senso prenderla in considerazione ma perchè se ho condizioni al contorno periodiche gli n da solo positivi possono anche diventare negativi? E per le energie in base a cosa si decide? Di solito le energie dipendono da n^2 quindi negativi se avessi l'autofunzione con n=-3 questa descrive un sistema che ha la stessa energia di una con n=3 le conto tutte e due?

Grazie

[grimx]

Nono attento!

Quando hai le autofunzioni e gli autovalori dell'Hamiltoniana, cioè:

$Psi_n(x)=sqrt(2/a)sin(nπx/a)$ e $E_n=(n^2*π^2*h^2)/(2ma^2)$

$n$ non può può essere negativo! Ma solo positivo e intero: $n= 1,2,3,4,5,6,7,8......$

Questo risultato deriva dalle condizioni al contorno della buca infinita, infatti come saprai ad un certo punto (non sto a scrivere tutto, ma sono cose che trovi su libri di testo) ti ritrovi una cosa del genere:

$Psi(a)=Asin(ka)=0$ $=>$ $ka=nπ$ con $n= 1,2,3,4,5,6..$

Perchè $n$ non può essere negativo? Perchè $k$ non può essere negativo!
Infatti $k=sqrt(2mE)/h$


Ciao spero di averti aiutato

[maxspyderweb]

perfetto, è quello che mi serviva grazie!

[maxspyderweb]

ok ho di nuovo un problema
1°
wikipedia da un'altro motivo

Negative values of n are neglected, since they give wavefunctions identical to the positive n solutions except for a physically unimportant sign change.[6]

http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_in_a_box

2°

nei miei appunti il professore studia il caso di infinite delta di dirac una consecutiva all'altra, questa catena infinita produce come risultati onde piane, sempre come dici tu con k=sqrt()
eppure scrive che in questo caso k_n= 2pi*n/ L con n interi relativi compreso lo 0....

[maxspyderweb]

http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_i ... _potential)

questo contiene quello che intendo

[maxspyderweb]

ok credo di aver risolto, la differenza sta nelle condizioni, se di parete dura (es buca di potenziale infinita) o condizione pbc periodica, quando uno applica i le condizione al contorno nel primo caso le due soluzioni linearmente indipendenti le costanti sono univocamente determinate dal sistema per x= 0 e x=L psi(0)=0 e psi(L)=0 nel secondo caso non lo sono più! In quanto abbiamo solo una condizione per cui psi(0)=psi(L) ne consegue che i due esponenziali possono accettare anche n=0 in quanto si otterrebbe una funzione costante e non nulla (a differenza del caso con la parete dura in cui la soluzione viene scartata)

[grimx]

Esatto, per quanto riguarda wikipedia, è giusto, ovviamente ci sono molteplici motivi che impediscono di prendere $n$ negativo, io ne ho detto soltanto uno.
Comunque l'importante è sapere che $n$ deve essere positivo intero