Quanti rimbalzi fa una pallina?

[bug54]

Salve,
posto il seguente esercizio dal Rosati, è tutto chiaro, solo mi è venuta la curiosità di calcolare il numero di rimabalzi che fa la pallina prima di fermarsi, o meglio prima di esaurire i numeri dei rimbalzi, dopodichè di muoverà di moto rettilineo uniforme con velocità $v_x=eta^nv_0$ dove n è il numero dei rimbalzi.

[professorkappa]

Senza far calcoli, a braccio, mi sa che non esiste un numero finito di rimbalzi.
Probabilmente e' una serie che converge 0 per n che tende all'infinito.
Butta giu' 2 formule e vediamo che esce.

[bug54]

ecco il mio approccio...non so se conduca da qualche parte...

[professorkappa]

$ sum_(k =1,n)a^k=a+a^2+a^3+...+a^n $
$ a^-1sum_(k =1)a^k=1+a^1+a^2+a^3+...+a^{n-1 $

$ a^-1sum_(k =1)a^k- sum_(k =1)a^k=1+a^1+a^2+a^3+...+a^{n-1}-a^1-a^2-....a^{n-1}-a^n $

$= 1- a^n$

da cui

$ sum_(k =1)a^k(a^-1-1)=1- a^n $

quindi

$ sum_(k =1)a^k=\frac{a(a^n-1)}{a-1 $

Adattala alla tua e vedi che esce

[bug54]

La sommatoria fino INFINITO da 1.7(PERIODO) che è il valore atteso.
Dunque la pallina fa infiniti rimbalzi?

[professorkappa]

Si, mi torna che faccia infiniti rimbalzi, era quello che avevo pensato all'inizio. Achille e la tartaruga.

[bug54]

e se pensiamo al problema reale di una pallina di una certa massa con un certo raggio,
è possibile calcolare il numero dei rimbalzi?