Qualcosa da dire ancora sul paradosso dei gemelli della relatività di Einstein
Quesito sul paradosso dei gemelli
Sul famosissimo “ paradosso dei gemelli ” della relatività ristretta di Einstein sono scorsi fiumi di inchiostro, ma a mio parere, almeno nelle trattazioni divulgative vi sono spesso affermazioni approssimate se non errate, e in definitiva manca quasi sempre una giustificazione chiara e convincente del fenomeno in sé.
Dando per scontata la descrizione dell'esperimento mentale, ci si domanda alla fine, tra due viaggiatori in moto relativo uniforme, cosa succede se uno dei due viaggiatori decide di tornare indietro magari dopo anni ed incontra il suo compagno di avventura.
La risposta più naturale per chi pensa di aver capito un pò di relatività, è che, essendo la dilatazione del tempo un fenomeno reciproco di misure incrociate che non tocca la sensazione personale del passare del tempo, nell'incontro, i due viaggiatori si vedranno invecchiati allo stesso modo.
Invece, ed è questo è il paradosso, si dimostra sia teoricamente che sperimentalmente che il viaggiatore che è tornato indietro all'incontro con il suo compagno che è rimasto sempre nel suo sistema risulta effettivamente tanto più giovane quanto più a lungo è durato il viaggio.
Naturalmente bisogna sottolineare che questi effetti diventano evidenti solo a velocità paragonabili alla velocità della luce.
Ma vediamo come questo sorprendente risultato è giustificato nelle trattazioni divulgative.
in genere le argomentazioni usate sono due:
La prima considera che il viaggiatore che torna indietro passa da un sistema inerziale ad un'altro, e così rompe la simmetria delle situazioni, e quindi si giustifica un risultato asimmetrico.
A mio parere questa giustificazione è molto vaga e non basta a prevedere un risultato così sorprendente (con questa argomentazione il viaggiatore potrebbe tornare anche con il naso più lungo)
La seconda spiegazione considera che il viaggiatore che torna indietro è costretto per far ciò a decelerare, fermarsi e quindi riaccelerare in senso opposto. In questo modo egli si troverà necessariamente per un certo tempo in un sistema accelerato in cui valgono le leggi di una relatività generale in cui effettivamente si dimostra che in un tale situazione il tempo scorre più lentamente.
questa giustificazione è sicuramente più corposa, ed in effetti è molto usata nei testi divulgativi. Anche lei però non resiste ad una critica più approfondita. essa infatti giustifica un ringiovanimento del viaggiatore che torna indietro a causa delle accelerazioni, ringiovanimento che non risulta però dipendere dalla durata del viaggio, che quindi da sola non può spiegare completamente il fenomeno.
Vediamo allora se riusciamo noi a trovare una spiegazione chiara e plausibile per questo paradosso, che sia anche utilizzabile in una presentazione divulgativa che non utilizza complicate formule matematiche.
Partiamo allora dalla quella che è la prima conseguenza del postulato della costanza della velocità della luce in tutti i sistemi inerziali: due eventi contemporanei in due punti diversi di un sistema inerziale, se visti da un altro sitema in moto uniforme, risultano avvenire in due distindi momenti, tanto più separati nel tempo quanto lo erano nello spazio nel primo sistema.
Vediamo se questo fondamentale risultato ci può aiutare a risolvere il nostro paradosso.
Cominciamo a tale scopo col rendere l'esperimento mentale un pò più ricco. Intanto, per maggiore chiarezza diamo un nome ai due viaggiatori, chiamiamo A quello che resta nel suo sistema, e B quello che torna indietro. Inoltre immaginiamo che B si porti dietro un nastro di lunghezza indefinita su cui è continuamente segnata data ed orario del suo sistema in cui gli orologi sono perfettamente sincronizzati (per fortuna negli esperimenti mentali si possono immaginare le cose più incredibili purché teoricamente possibili).
Tale nastro, passando vicino ad A, permetterà a questo di essere aggiornato sul tempo del suo compagno che lui però come sappiamo vedrà effettivamente scorrere più lentamente del suo.
Esattamente come succederebbe a B se riuscisse a misurare il tempo di A.
Immaginiamo ora che ad un certo istante del suo sistema B inizia a tornare indietro (tralasciamo per ora gli effetti delle accelerazioni necessarie) contemporaneamente sul nastro che B si porta appresso compare dappertutto la data e l'orario di questo evento, e quindi anche nel tratto vicino ad A.
L'istante dell'inversione di marcia e la sua comparsa sul nastro vicino a A sono due eventi contemporanei nel sistema di B, per lui quindi non comportano nessun ulteriore invecchiamento. Per A invece, per quanto visto prima, questi due eventi sono intervallati da un lasso di tempo tanto maggiore quanto maggiore risulta la distanza tra A e B e quindi in ultima analisi la durata del viaggio. Tale tempo sarà vissuto solo da A e non da B, è quindi plausibile che quando si incontrano, A risulterà più vecchio di B, che inoltre godrà anche del ringiovanimento maturato durante le accelerazioni che gli hanno permesso di invertire la marcia, e che come si è già detto, sono previste dalla relatività generale ma non dipendono dalla durata del viaggio.
Ecco che in questo modo si spiega il paradosso utilizzando la sola relatività ristretta individuandone la causa in quell'istante dell'inversione di cammino di B che per lui risulta solo un istante, mentre per A diventa un intervallo di tempo che dipende dalla durata del viaggio e che può quindi essere anche molto lungo.
Gradirei un commento sulla correttezza degli argomenti trattati da chi è più addentro alla materia. Grazie
Sul famosissimo “ paradosso dei gemelli ” della relatività ristretta di Einstein sono scorsi fiumi di inchiostro, ma a mio parere, almeno nelle trattazioni divulgative vi sono spesso affermazioni approssimate se non errate, e in definitiva manca quasi sempre una giustificazione chiara e convincente del fenomeno in sé.
Dando per scontata la descrizione dell'esperimento mentale, ci si domanda alla fine, tra due viaggiatori in moto relativo uniforme, cosa succede se uno dei due viaggiatori decide di tornare indietro magari dopo anni ed incontra il suo compagno di avventura.
La risposta più naturale per chi pensa di aver capito un pò di relatività, è che, essendo la dilatazione del tempo un fenomeno reciproco di misure incrociate che non tocca la sensazione personale del passare del tempo, nell'incontro, i due viaggiatori si vedranno invecchiati allo stesso modo.
Invece, ed è questo è il paradosso, si dimostra sia teoricamente che sperimentalmente che il viaggiatore che è tornato indietro all'incontro con il suo compagno che è rimasto sempre nel suo sistema risulta effettivamente tanto più giovane quanto più a lungo è durato il viaggio.
Naturalmente bisogna sottolineare che questi effetti diventano evidenti solo a velocità paragonabili alla velocità della luce.
Ma vediamo come questo sorprendente risultato è giustificato nelle trattazioni divulgative.
in genere le argomentazioni usate sono due:
La prima considera che il viaggiatore che torna indietro passa da un sistema inerziale ad un'altro, e così rompe la simmetria delle situazioni, e quindi si giustifica un risultato asimmetrico.
A mio parere questa giustificazione è molto vaga e non basta a prevedere un risultato così sorprendente (con questa argomentazione il viaggiatore potrebbe tornare anche con il naso più lungo)
La seconda spiegazione considera che il viaggiatore che torna indietro è costretto per far ciò a decelerare, fermarsi e quindi riaccelerare in senso opposto. In questo modo egli si troverà necessariamente per un certo tempo in un sistema accelerato in cui valgono le leggi di una relatività generale in cui effettivamente si dimostra che in un tale situazione il tempo scorre più lentamente.
questa giustificazione è sicuramente più corposa, ed in effetti è molto usata nei testi divulgativi. Anche lei però non resiste ad una critica più approfondita. essa infatti giustifica un ringiovanimento del viaggiatore che torna indietro a causa delle accelerazioni, ringiovanimento che non risulta però dipendere dalla durata del viaggio, che quindi da sola non può spiegare completamente il fenomeno.
Vediamo allora se riusciamo noi a trovare una spiegazione chiara e plausibile per questo paradosso, che sia anche utilizzabile in una presentazione divulgativa che non utilizza complicate formule matematiche.
Partiamo allora dalla quella che è la prima conseguenza del postulato della costanza della velocità della luce in tutti i sistemi inerziali: due eventi contemporanei in due punti diversi di un sistema inerziale, se visti da un altro sitema in moto uniforme, risultano avvenire in due distindi momenti, tanto più separati nel tempo quanto lo erano nello spazio nel primo sistema.
Vediamo se questo fondamentale risultato ci può aiutare a risolvere il nostro paradosso.
Cominciamo a tale scopo col rendere l'esperimento mentale un pò più ricco. Intanto, per maggiore chiarezza diamo un nome ai due viaggiatori, chiamiamo A quello che resta nel suo sistema, e B quello che torna indietro. Inoltre immaginiamo che B si porti dietro un nastro di lunghezza indefinita su cui è continuamente segnata data ed orario del suo sistema in cui gli orologi sono perfettamente sincronizzati (per fortuna negli esperimenti mentali si possono immaginare le cose più incredibili purché teoricamente possibili).
Tale nastro, passando vicino ad A, permetterà a questo di essere aggiornato sul tempo del suo compagno che lui però come sappiamo vedrà effettivamente scorrere più lentamente del suo.
Esattamente come succederebbe a B se riuscisse a misurare il tempo di A.
Immaginiamo ora che ad un certo istante del suo sistema B inizia a tornare indietro (tralasciamo per ora gli effetti delle accelerazioni necessarie) contemporaneamente sul nastro che B si porta appresso compare dappertutto la data e l'orario di questo evento, e quindi anche nel tratto vicino ad A.
L'istante dell'inversione di marcia e la sua comparsa sul nastro vicino a A sono due eventi contemporanei nel sistema di B, per lui quindi non comportano nessun ulteriore invecchiamento. Per A invece, per quanto visto prima, questi due eventi sono intervallati da un lasso di tempo tanto maggiore quanto maggiore risulta la distanza tra A e B e quindi in ultima analisi la durata del viaggio. Tale tempo sarà vissuto solo da A e non da B, è quindi plausibile che quando si incontrano, A risulterà più vecchio di B, che inoltre godrà anche del ringiovanimento maturato durante le accelerazioni che gli hanno permesso di invertire la marcia, e che come si è già detto, sono previste dalla relatività generale ma non dipendono dalla durata del viaggio.
Ecco che in questo modo si spiega il paradosso utilizzando la sola relatività ristretta individuandone la causa in quell'istante dell'inversione di cammino di B che per lui risulta solo un istante, mentre per A diventa un intervallo di tempo che dipende dalla durata del viaggio e che può quindi essere anche molto lungo.
Gradirei un commento sulla correttezza degli argomenti trattati da chi è più addentro alla materia. Grazie
Risposte
Si possono inventare tante soluzioni a carattere divulgativo, per questo NON-paradosso della relatività ristretta. E sono d’accordo con te, a volte contengono dei grossolani errori, che sviano dalla corretta interpretazione; io toglierei di mezzo i libri divulgativi che hanno per oggetto la relatività, a meno che non si tratti di libri scritti da gente del mestiere, come Hawking, Carroll, Ellis, Weinberg, Wheeler and Taylor...(“Spacetime physics” è un must per chi vuole realmente capire la RR, ed è stato tradotto anche in italiano da Zanichelli molti anni fa) e altri che ora non mi sovvengono.
Anche nella tua esposizione ci sono cose che non vanno. Tu dici :
LA dilatazione del tempo non è un fenomeno reciproco di misure incrociate. È solo un modo approssimato (io direi errato) per dire questo:
Abbiamo un osservatore F che consideriamo “fisso”, per esempio è fermo sul ciglio di una lunga strada rettilinea, dove ci sono due paletti A e B ad una certa distanza $L$ tra loro. Sui due paletti ci sono due orologi , sincronizzati tra loro, che battono all’unisono il tempo per F, lo stesso tempo dell’orologio da polso di F.
Abbiamo un viaggiatore M (=mobile) , che percorre a velocità relativistica, per esempio $v=0.6c$, la strada , passando prima davanti ad A e poi davanti a B; anche M è dotato di un orologio da polso.
Ci sono due eventi nello spaziotempo:
A) il viaggiatore passa davanti al traguardo A
B)il viaggiatore passa davanti al traguardo B
questi due eventi sono separati, rispetto ad F , sia nello spazio $L$ che nel tempo $Deltat = L/v$, che chiamiamo tempo coordinato ; rispetto a M sono invece separati solo nel tempo del suo orologio da polso, che chiamiamo tempo proprio di M : $Delta\tau$; infatti M porta con sè il proprio spazio, non muta posizione spaziale nel suo riferimento.
Ora si può vedere in tanti modi, ad es con le trasformazioni di Lorentz, che tra i due eventi sussiste l’invarianza dell’intervallo spaziotemporale, cioè risulta che :
$(cDeltat)^2 - L^2 = (cDelta\tau)^2 \rarr (cDeltat)^2 - (vDeltat)^2 = (cDelta\tau)^2 $
da cui, con pochi passaggi algebrici , si trova che : $Delta\tau^2 = (1-v^2/c^2) Deltat^2$
nell’estrarre la radice quadrata si prende il segno positivo, per ragioni di continuità rispetto a quando la velocità è piccola rispetto a $c$. In definitiva si trova che :
$Delta\tau = sqrt(1-v^2/c^2) *Deltat$
e quindi si ha : $Delta\tau < Deltat $
Ecco, questa è la “dilatazione del tempo”, ovvero “rallentamento degli orologi in moto” , che si rileva quando l’orologio di M viene confrontato con due orologi di F, come descritto( e qui mi aspetterei una solita obiezione...).
[A questo punto, copio e incollo un paragrafo del libro prima citato “Spacetime physics” dove gli autori Taylor e Wheeler chiariscono che cosa si deve intendere per “rallentamento degli orologi in moto” :
Non posso permettermi di “chiarire” le risposte di T. e W. , non sono all’altezza. Posso solo richiamare l’attenzione su questa parte: le particelle generate dagli urti hanno un tempo proprio di vita molto breve, ma questo tempo si allunga molto se misurato nel laboratorio. Questo è il significato del rallentamento di cui si parla. Altro punto importante da sottolineare: fisicamente non cambia proprio niente nella costituzione di un orologio in moto (2ºparte del quesito), quindi neanche in un organismo vivente che viaggia a velocità relativistica. Se il tuo cuore batte a 70 bpm a terra, anche in un’astronave che viaggi a 0.9c batterà a 70 bpm, perché è come il tuo orologio da polso. Non potrebbe certamente battere a 30.5 bpm ( ho fatto i conti: $gamma= 2.29$) , saresti morto subito ] .
Ma torniamo all’esempio del viaggiatore M che si sposta da A a B.
Dovrebbe essere chiaro ora che se in B passa un altro viaggiatore P , in senso inverso rispetto a M e dotato di uguale velocità in modulo , che taglia prima il traguardo B e poi A, il tempo proprio trascorso sull’orologio di P ha lo stesso valore del tempo proprio di M, quando confrontato con i due orologi fissi. Sto ipotizzando che P tagli B nello stesso istante in cui ci passa M, cioè i due passaggi a distanza pressoché nulla sono contemporanei (per chi? ) , e che i loro orologi siano sincronizzati.
E quindi, sommando i due intervalli temporali propri di M e di P , e confrontandoli col tempo totale trascorso per F : $(2L)/v$ , abbiamo che la somma $Delta\tau_M + Delta\tau_P < (2L)/v = 2Deltat$
E questo che cosa è ? Non è altro che la soluzione del NON paradosso dei gemelli.
Poi dici (ho segnato in rosso le cose che non vanno) che si dimostra sia teoricamente che sperimentalmente... : no, non é stato fatto nessun esperimento reale con gemelli in viaggio e a riposo, non è oggi possibile farli. Sono invece stati fatti esperimenti su particelle elementari accelerate fino a velocità enormemente grandi , trovi esempi in Bertozzi 1964 , i cui la vita media rispetto al laboratorio risulta più elevata di quella delle stesse particelle nel proprio riferimento di quiete (come riportato da T. e W.). Ma non andiamo in altri campi.
In questa pagina trovi tante soluzioni al paradosso , tra le quali preferisco questa :
http://www.owl232.net/papers/twinparadox.pdf
Poi dici : “Quanto più a lungo è durato il viaggio” . Che intendi con “lungo” ? Nel tempo ? Nello spazio? Nello spaziotempo? Ti faccio presente che in RR, nello spaziotempo piatto di Minkowski ( non ci sono masse-energie che determinano curvature dello ST), il tempo più lungo tra due eventi (1=partenza, 2=ritorno del viaggiatore alla base) è quello dell’orologio rimasto in quiete, che segue la geodetica dello ST in questione, una retta. Quindi, più lungo per chi? Quanto maggiore è la velocità , tanto più grande è il fattore $gamma = (1-v^2/c^2) ^ (-1/2) $ , quindi minore è il Delta di tempo proprio rispetto a quello del tempo coordinato tra due eventi assegnati nello ST.
Guarda anche questo schizzo; tra i due eventi O e Q , qual è quello di maggior tempo proprio? È la geodetica OQ, che coincide con l’asse dei tempi $t$ di O :
la linea curva è la linea di universo del gemello viaggiatore, che sembra più lunga perché è disegnata su carta secondo la geometria euclidea, ma è più breve, come durata, del segmento di geodetica OQ. Quindi il viaggiatore parte da O separandosi dal fratello, e quando si ricongiunge col fratello in Q è più giovane.
Inoltre ti faccio notare che non occorre la relatività generale nella soluzione di questo NON paradosso. Ci sarebbero altre osservazioni da fare, ma basta, altrimenti scrivo un romanzo.
Ti suggerisco di dedicarti ad uno studio serio della materia, usando qualche semplice ma corretta dispensa, che trovi anche in rete. Se vuoi ti posso suggerire qualcosa. Ciao.
Anche nella tua esposizione ci sono cose che non vanno. Tu dici :
La risposta più naturale per chi pensa di aver capito un pò di relatività, è che, essendo la dilatazione del tempo un fenomeno reciproco di misure incrociate che non tocca la sensazione personale del passare del tempo, nell'incontro, i due viaggiatori si vedranno invecchiati allo stesso modo.
Invece, ed è questo è il paradosso, si dimostra sia teoricamente che sperimentalmente che il viaggiatore che è tornato indietro all'incontro con il suo compagno che è rimasto sempre nel suo sistema risulta effettivamente tanto più giovane quanto più a lungo è durato il viaggio.
LA dilatazione del tempo non è un fenomeno reciproco di misure incrociate. È solo un modo approssimato (io direi errato) per dire questo:
Abbiamo un osservatore F che consideriamo “fisso”, per esempio è fermo sul ciglio di una lunga strada rettilinea, dove ci sono due paletti A e B ad una certa distanza $L$ tra loro. Sui due paletti ci sono due orologi , sincronizzati tra loro, che battono all’unisono il tempo per F, lo stesso tempo dell’orologio da polso di F.
Abbiamo un viaggiatore M (=mobile) , che percorre a velocità relativistica, per esempio $v=0.6c$, la strada , passando prima davanti ad A e poi davanti a B; anche M è dotato di un orologio da polso.
Ci sono due eventi nello spaziotempo:
A) il viaggiatore passa davanti al traguardo A
B)il viaggiatore passa davanti al traguardo B
questi due eventi sono separati, rispetto ad F , sia nello spazio $L$ che nel tempo $Deltat = L/v$, che chiamiamo tempo coordinato ; rispetto a M sono invece separati solo nel tempo del suo orologio da polso, che chiamiamo tempo proprio di M : $Delta\tau$; infatti M porta con sè il proprio spazio, non muta posizione spaziale nel suo riferimento.
Ora si può vedere in tanti modi, ad es con le trasformazioni di Lorentz, che tra i due eventi sussiste l’invarianza dell’intervallo spaziotemporale, cioè risulta che :
$(cDeltat)^2 - L^2 = (cDelta\tau)^2 \rarr (cDeltat)^2 - (vDeltat)^2 = (cDelta\tau)^2 $
da cui, con pochi passaggi algebrici , si trova che : $Delta\tau^2 = (1-v^2/c^2) Deltat^2$
nell’estrarre la radice quadrata si prende il segno positivo, per ragioni di continuità rispetto a quando la velocità è piccola rispetto a $c$. In definitiva si trova che :
$Delta\tau = sqrt(1-v^2/c^2) *Deltat$
e quindi si ha : $Delta\tau < Deltat $
Ecco, questa è la “dilatazione del tempo”, ovvero “rallentamento degli orologi in moto” , che si rileva quando l’orologio di M viene confrontato con due orologi di F, come descritto( e qui mi aspetterei una solita obiezione...).
[A questo punto, copio e incollo un paragrafo del libro prima citato “Spacetime physics” dove gli autori Taylor e Wheeler chiariscono che cosa si deve intendere per “rallentamento degli orologi in moto” :
Non posso permettermi di “chiarire” le risposte di T. e W. , non sono all’altezza. Posso solo richiamare l’attenzione su questa parte: le particelle generate dagli urti hanno un tempo proprio di vita molto breve, ma questo tempo si allunga molto se misurato nel laboratorio. Questo è il significato del rallentamento di cui si parla. Altro punto importante da sottolineare: fisicamente non cambia proprio niente nella costituzione di un orologio in moto (2ºparte del quesito), quindi neanche in un organismo vivente che viaggia a velocità relativistica. Se il tuo cuore batte a 70 bpm a terra, anche in un’astronave che viaggi a 0.9c batterà a 70 bpm, perché è come il tuo orologio da polso. Non potrebbe certamente battere a 30.5 bpm ( ho fatto i conti: $gamma= 2.29$) , saresti morto subito ] .
Ma torniamo all’esempio del viaggiatore M che si sposta da A a B.
Dovrebbe essere chiaro ora che se in B passa un altro viaggiatore P , in senso inverso rispetto a M e dotato di uguale velocità in modulo , che taglia prima il traguardo B e poi A, il tempo proprio trascorso sull’orologio di P ha lo stesso valore del tempo proprio di M, quando confrontato con i due orologi fissi. Sto ipotizzando che P tagli B nello stesso istante in cui ci passa M, cioè i due passaggi a distanza pressoché nulla sono contemporanei (per chi? ) , e che i loro orologi siano sincronizzati.
E quindi, sommando i due intervalli temporali propri di M e di P , e confrontandoli col tempo totale trascorso per F : $(2L)/v$ , abbiamo che la somma $Delta\tau_M + Delta\tau_P < (2L)/v = 2Deltat$
E questo che cosa è ? Non è altro che la soluzione del NON paradosso dei gemelli.
Poi dici (ho segnato in rosso le cose che non vanno) che si dimostra sia teoricamente che sperimentalmente... : no, non é stato fatto nessun esperimento reale con gemelli in viaggio e a riposo, non è oggi possibile farli. Sono invece stati fatti esperimenti su particelle elementari accelerate fino a velocità enormemente grandi , trovi esempi in Bertozzi 1964 , i cui la vita media rispetto al laboratorio risulta più elevata di quella delle stesse particelle nel proprio riferimento di quiete (come riportato da T. e W.). Ma non andiamo in altri campi.
In questa pagina trovi tante soluzioni al paradosso , tra le quali preferisco questa :
http://www.owl232.net/papers/twinparadox.pdf
Poi dici : “Quanto più a lungo è durato il viaggio” . Che intendi con “lungo” ? Nel tempo ? Nello spazio? Nello spaziotempo? Ti faccio presente che in RR, nello spaziotempo piatto di Minkowski ( non ci sono masse-energie che determinano curvature dello ST), il tempo più lungo tra due eventi (1=partenza, 2=ritorno del viaggiatore alla base) è quello dell’orologio rimasto in quiete, che segue la geodetica dello ST in questione, una retta. Quindi, più lungo per chi? Quanto maggiore è la velocità , tanto più grande è il fattore $gamma = (1-v^2/c^2) ^ (-1/2) $ , quindi minore è il Delta di tempo proprio rispetto a quello del tempo coordinato tra due eventi assegnati nello ST.
Guarda anche questo schizzo; tra i due eventi O e Q , qual è quello di maggior tempo proprio? È la geodetica OQ, che coincide con l’asse dei tempi $t$ di O :
la linea curva è la linea di universo del gemello viaggiatore, che sembra più lunga perché è disegnata su carta secondo la geometria euclidea, ma è più breve, come durata, del segmento di geodetica OQ. Quindi il viaggiatore parte da O separandosi dal fratello, e quando si ricongiunge col fratello in Q è più giovane.
Inoltre ti faccio notare che non occorre la relatività generale nella soluzione di questo NON paradosso. Ci sarebbero altre osservazioni da fare, ma basta, altrimenti scrivo un romanzo.
Ti suggerisco di dedicarti ad uno studio serio della materia, usando qualche semplice ma corretta dispensa, che trovi anche in rete. Se vuoi ti posso suggerire qualcosa. Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo