Qualche stupidata sul puro rotolamento
Stavo pensando al moto di puro rotolamento e ho scoperto, non con grande sorpresa, la mia ignoranza a tal proposito. Vi chiedo di dare un'occhiata alla seguente situazione:
rocchetto di filo su un piano scabro; si tira il filo verso destra. Si sposta. In virtù di cosa? Dalla forza d'attrito ... In questo caso si ha
$\vecF_("attrito") = \mu m \vec(g) = m \veca$
La questione è: come faccio a calcolare l'accelerazione del centro di massa?
$\rArr \mu m g = ma$ ? Non credo.
Pensavo: quello che dovrà succede è che la forza d'attrito statico dovrà sviluppare, nel punto di contatto, un'accelerazione pari in modulo, ma in verso opposto, a quella data dalla tensione. Ora: quant'è l'accelerazione del punto in cui viene applicata la tensione? Una volta trovata quella, mi aspetto che sia la stessa di tutti gli altri punti sul bordo: specialmente del punto di contatto.
$|\vecM_("Contatto")| = (2R) * T = I \alpha$
$\rArr \alpha * 2R = ((2R)^2 T) / I$
$\rArr |\vecF_("attrito")| = (\alpha * 2R ) * m = ((2R)^2 T) / I * m$
Dunque mi aspetto che il centro di massa del rocchetto di filo venga accelerato verso destra con accelerazione pari ad $\alpha 2R$.
Che dite? Ho tutta l'aria di uno che s'è bevuto il cervello?
rocchetto di filo su un piano scabro; si tira il filo verso destra. Si sposta. In virtù di cosa? Dalla forza d'attrito ... In questo caso si ha
$\vecF_("attrito") = \mu m \vec(g) = m \veca$
La questione è: come faccio a calcolare l'accelerazione del centro di massa?
$\rArr \mu m g = ma$ ? Non credo.
Pensavo: quello che dovrà succede è che la forza d'attrito statico dovrà sviluppare, nel punto di contatto, un'accelerazione pari in modulo, ma in verso opposto, a quella data dalla tensione. Ora: quant'è l'accelerazione del punto in cui viene applicata la tensione? Una volta trovata quella, mi aspetto che sia la stessa di tutti gli altri punti sul bordo: specialmente del punto di contatto.
$|\vecM_("Contatto")| = (2R) * T = I \alpha$
$\rArr \alpha * 2R = ((2R)^2 T) / I$
$\rArr |\vecF_("attrito")| = (\alpha * 2R ) * m = ((2R)^2 T) / I * m$
Dunque mi aspetto che il centro di massa del rocchetto di filo venga accelerato verso destra con accelerazione pari ad $\alpha 2R$.
Che dite? Ho tutta l'aria di uno che s'è bevuto il cervello?
Risposte
Direi:
$T-F_{"att"}=m a_{"cm"}$
$T 2 r = (3/2 m r^2) a_{"cm"}/r$
da cui, nota la forza $T$ con cui si tira il rocchetto, le incognite sono l'accelerazione del centro di massa $a_{"cm"}$ e la forza di attrito statico $F_{"att"}$.
Si avrà effettivamente rotolamento senza strisciamento solo se vale
$F_{"att"}<= m g mu_s$
con $mu_s$ attrito statico tra rocchetto e piano.
Altrimenti l'attrito statico non è sufficiente ad avere il rotolamento puro.
$T-F_{"att"}=m a_{"cm"}$
$T 2 r = (3/2 m r^2) a_{"cm"}/r$
da cui, nota la forza $T$ con cui si tira il rocchetto, le incognite sono l'accelerazione del centro di massa $a_{"cm"}$ e la forza di attrito statico $F_{"att"}$.
Si avrà effettivamente rotolamento senza strisciamento solo se vale
$F_{"att"}<= m g mu_s$
con $mu_s$ attrito statico tra rocchetto e piano.
Altrimenti l'attrito statico non è sufficiente ad avere il rotolamento puro.
"Faussone":
Direi:
$T-F_{"att"}=m a_{"cm"}$
$T 2 r = (3/2 m r^2) a_{"cm"}/r$
da cui, nota la forza $T$ con cui si tira il rocchetto, le incognite sono l'accelerazione del centro di massa $a_{"cm"}$ e la forza di attrito statico $F_{"att"}$.
Si avrà effettivamente rotolamento senza strisciamento solo se vale
$F_{"att"}<= m g mu_s$
con $mu_s$ attrito statico tra rocchetto e piano.
Altrimenti l'attrito statico non è sufficiente ad avere il rotolamento puro.
Grazie Faussone. Mi ero fatto impressionare dalla tensione, che non è applicata al centro di massa. Se ci penso, mi aspetto in qualche modo che la tensione così applicata faccia accelerare di meno il corpo. D'altronde, nella vita di tutti i giorni, fra tirare il rocchetto da un filo che si strotola piuttosto che da un filo legato al centro di massa forse c'è una qualche differenza ...
Se il filo fosse ancorato al centro di massa varrebbero le stesse equazioni, solo il coefficiente 2 del primo membro della seconda equazione non ci sarebbe. Quindi in realtà il centro di massa accelerebbe di meno se la stessa forza fosse applicata al centro di massa.
"Faussone":
Se il filo fosse ancorato al centro di massa varrebbero le stesse equazioni, solo il coefficiente 2 del primo membro della seconda equazione non ci sarebbe.
Certo
"Faussone":
Quindi in realtà il centro di massa accelerebbe di meno se la stessa forza fosse applicata al centro di massa.
Già. La cosa al momento mi sembra controintuitiva. Comunque sono d'accordo con quello che scrivi.
Grazie per il confronto! Ciao,
Giuseppe
@Faussone
Solo una osservazione alle tue equazioni ed una riflessione più generale sul puro rotolamento.
[Piccola premessa]
Quando si scrivono le equazioni del moto, in genere ci sono due posssibilità per quanto riguarda la notazione:
- se il problema è semplice, e risulta evidente quale sia il verso delle forze in gioco, anche di quelle incognite, nelle equazioni si usa una lettera che ne indica il modulo ed il segno viene messo "a mano"
- più in generale, si può usare una lettera per indicare la componente di una forza lungo l'asse scelto (e quindi la si mette sempre con il segno +), e poi si lascia che siano le equazioni a determinare il segno di quella componente
[fine premessa]
Nella tua prima equazione, presumo che tu abbia adottato il primo metodo, assumendo quindi che l'attrito statico fosse diretto in verso opposto alla tensione. In realtà però, usando il secondo metodo, si trova che l'attrito è concorde alla tensione. Se risolvi le tue equazioni, infatti, troveresti che \(\displaystyle F_{att} \), che nelle tue equazioni presumo sia il modulo, ti viene negativo, il che sarebbe assurdo. Il risultato corretto è che
\(\displaystyle \vec F_{att}=\frac{1}{3}\vec T \)
Può sembrare controintuitivo, ma la cosa si capisce meglio se si studia il caso più semplice in cui si elimina la forza di gravità ed il piano. Si studia, cioè il rocchetto con filo nello spazio libero, e vediamo che tipo di rotazione e di traslazione si ottiene. le equazioni sono (le ho scritte prendendo il polo su una retta orizzontale passante per il centro del rocchetto, ma ovviamente i risultati non cambiano):
\(\displaystyle M\ddot x=T\)
\(\displaystyle -TR=I\ddot \theta \)
Risolvendo, si trova
\(\displaystyle R\ddot \theta =\frac{2T}{M} \)
\(\displaystyle \ddot x = \frac{T}{M} \)
Si vede, quindi, che non è rispettata la condizione di puro rotolamento, e in particolare, il rocchetto ruota troppo velocemente rispetto alla sua velocità di traslazione. Per avere puro rotolamento, quindi, il rocchetto dovrebbe "ruotare di meno e traslare di più". Questa "correzione" è proprio il compito che si assume la forza di attrito statico se si mette il rocchetto su un piano. Per assolvere tale compito, l'attrito statico, applicato alla base del rocchetto, deve essere orientato nella direzione del moto (e quindi della tensione), infatti in questo modo aumenta la traslazione (diciamo che "aiuta" la tensione a spingere il rocchetto) e nello stesso tempo applica un momento contrario a quello della tensione, che va a diminuire la rotazione. Se infatti si scrivono le equazioni con l'attrito, e si impone la condizione di rotolamento, si ha:
\(\displaystyle M\ddot x=T+F_{att}\)
\(\displaystyle -TR+RF_{att}=I\ddot \theta \)
\(\displaystyle R\ddot \theta =-\ddot x \) (condizione di rotolamento)
e risolvendo si trova,
\(\displaystyle F_{att}=\frac{1}{3}T \)
\(\displaystyle R\ddot \theta = \ddot x=\frac{4}{3}\frac{T}{M} \)
e quindi si vede come, rispetto a prima, la traslazione sia aumentata e la rotazionoe sia diminuita.
OSSERVAZIONE: Nel problema senza piano e senza gravità svolto sopra, si vede, tra l'altro, che se la tensione fosse applicata ad una distanza pari alla metà del raggio dall'asse del rocchetto, si avrebbero le condizioni di puro rotolamneto ed a quel punto, se si appoggiasse il rocchetto su un piano e si reeinserisse la gravità, l'attrito statico sarebbe nullo, poiché non ci sarebbe bisogno di nessuna correzione al sistema.
Solo una osservazione alle tue equazioni ed una riflessione più generale sul puro rotolamento.
[Piccola premessa]
Quando si scrivono le equazioni del moto, in genere ci sono due posssibilità per quanto riguarda la notazione:
- se il problema è semplice, e risulta evidente quale sia il verso delle forze in gioco, anche di quelle incognite, nelle equazioni si usa una lettera che ne indica il modulo ed il segno viene messo "a mano"
- più in generale, si può usare una lettera per indicare la componente di una forza lungo l'asse scelto (e quindi la si mette sempre con il segno +), e poi si lascia che siano le equazioni a determinare il segno di quella componente
[fine premessa]
Nella tua prima equazione, presumo che tu abbia adottato il primo metodo, assumendo quindi che l'attrito statico fosse diretto in verso opposto alla tensione. In realtà però, usando il secondo metodo, si trova che l'attrito è concorde alla tensione. Se risolvi le tue equazioni, infatti, troveresti che \(\displaystyle F_{att} \), che nelle tue equazioni presumo sia il modulo, ti viene negativo, il che sarebbe assurdo. Il risultato corretto è che
\(\displaystyle \vec F_{att}=\frac{1}{3}\vec T \)
Può sembrare controintuitivo, ma la cosa si capisce meglio se si studia il caso più semplice in cui si elimina la forza di gravità ed il piano. Si studia, cioè il rocchetto con filo nello spazio libero, e vediamo che tipo di rotazione e di traslazione si ottiene. le equazioni sono (le ho scritte prendendo il polo su una retta orizzontale passante per il centro del rocchetto, ma ovviamente i risultati non cambiano):
\(\displaystyle M\ddot x=T\)
\(\displaystyle -TR=I\ddot \theta \)
Risolvendo, si trova
\(\displaystyle R\ddot \theta =\frac{2T}{M} \)
\(\displaystyle \ddot x = \frac{T}{M} \)
Si vede, quindi, che non è rispettata la condizione di puro rotolamento, e in particolare, il rocchetto ruota troppo velocemente rispetto alla sua velocità di traslazione. Per avere puro rotolamento, quindi, il rocchetto dovrebbe "ruotare di meno e traslare di più". Questa "correzione" è proprio il compito che si assume la forza di attrito statico se si mette il rocchetto su un piano. Per assolvere tale compito, l'attrito statico, applicato alla base del rocchetto, deve essere orientato nella direzione del moto (e quindi della tensione), infatti in questo modo aumenta la traslazione (diciamo che "aiuta" la tensione a spingere il rocchetto) e nello stesso tempo applica un momento contrario a quello della tensione, che va a diminuire la rotazione. Se infatti si scrivono le equazioni con l'attrito, e si impone la condizione di rotolamento, si ha:
\(\displaystyle M\ddot x=T+F_{att}\)
\(\displaystyle -TR+RF_{att}=I\ddot \theta \)
\(\displaystyle R\ddot \theta =-\ddot x \) (condizione di rotolamento)
e risolvendo si trova,
\(\displaystyle F_{att}=\frac{1}{3}T \)
\(\displaystyle R\ddot \theta = \ddot x=\frac{4}{3}\frac{T}{M} \)
e quindi si vede come, rispetto a prima, la traslazione sia aumentata e la rotazionoe sia diminuita.
OSSERVAZIONE: Nel problema senza piano e senza gravità svolto sopra, si vede, tra l'altro, che se la tensione fosse applicata ad una distanza pari alla metà del raggio dall'asse del rocchetto, si avrebbero le condizioni di puro rotolamneto ed a quel punto, se si appoggiasse il rocchetto su un piano e si reeinserisse la gravità, l'attrito statico sarebbe nullo, poiché non ci sarebbe bisogno di nessuna correzione al sistema.
@mathbells
Grazie per le osservazioni, ero più concentrato a mostrare come calcolare l'accelerazione del centro di massa e non avevo fatto osservazioni in merito alla forza di attrito.
Io avevo infatti battezzato la forza di attrito opposta in verso alla forza con cui si tira il rocchetto, ma quello non è un problema: se si ottenesse un valore negativo della forza di attrito vorrebbe dire esattamente che il verso di quella forza è in realtà opposto a quello supposto. In effetti nel caso del rocchetto iniziale la forza come hai ben mostrato è negativa quindi niente di assurdo, solo non intuitivo come appunto hai ben spiegato.
(Nel caso invece il rocchetto fosse tirato dal centro la forza di attrito sarebbe in effetti diretta in verso opposto al moto.)
Grazie per le osservazioni, ero più concentrato a mostrare come calcolare l'accelerazione del centro di massa e non avevo fatto osservazioni in merito alla forza di attrito.
Io avevo infatti battezzato la forza di attrito opposta in verso alla forza con cui si tira il rocchetto, ma quello non è un problema: se si ottenesse un valore negativo della forza di attrito vorrebbe dire esattamente che il verso di quella forza è in realtà opposto a quello supposto. In effetti nel caso del rocchetto iniziale la forza come hai ben mostrato è negativa quindi niente di assurdo, solo non intuitivo come appunto hai ben spiegato.
(Nel caso invece il rocchetto fosse tirato dal centro la forza di attrito sarebbe in effetti diretta in verso opposto al moto.)
Alla luce di quanto detto ho provato a svolgere il seguente esercizio, da cui ero partito e con cui mi ero impantanato:
A questo punto dovrebbe essere molto facile da pensare. Ma giusto per fare qualche considerazione in più: si pensi alla massa $m_1$ in termini del "solito" rocchetto su un piano inclinato liscio. Si ha
$\vec(T) + \vec(F)_("peso") = m\ddot{x}$
$\vec(M)_("cm") = \vec(r) \times \vec(T) + \vec(r) \times \vec(F)_("peso")$
$\rArr T - m_1 * g sin\alpha = m a_1$
$\rArr - (2R) T + (R) m_1 g * sin\alpha = - I a_1 / R$
Risolvendo si trova che la velocità angolare data dalla rotazione è più alta di quella di traslazione. Dato che sappiamo si tratta di puro rotolamento: è necessario che la forza d'attrito sia diretta verso destra (se no, come diceva mathbells, il momento della forza d'attrito fa aumentare la velocità angolare e, in questo caso, la velocità di traslazione del centro di massa ma dal verso sbagliato).
Ritornando al sistema del problema: si avranno le seguenti equazioni
$1 : T + F_("attrito") - m_1 * gsin\alpha = m_1 * a_1$
$2 : m_2 g - T = m_2 * a_2$
$3 : -2RT + R (m_1 * gsin\alpha) = (3/2 m_1 R^2) * (-a_1)/R$
$4 : a_2 = 2a_1$
Risolvendo mi sembra si trovi che
$a_1 = 2(m_1 * g sin\alpha - m_2 g) / (3m_1 + 4m_2)$
Ma a questo punto, questi sono conti ...
Che dite?
Un filo è arrotolato attorno ad un cilindro di massa $m_1$ e raggio $R$ inizialmente in quiete su un piano che forma un angolo $\alpha$ con il terreno. Il filo rimane parralelo al piano inclinato, passa senza attrito sopra ad un piolo ed è agganciato ad una massa $m_2$. Il cilindro una volta in movimento può unicamente rotolare senza strisciare.
Determinare l'accelerazione $a_1$ del centro di massa del cilindro e l'accelerazione $a_2$ della massa sospesa.
A questo punto dovrebbe essere molto facile da pensare. Ma giusto per fare qualche considerazione in più: si pensi alla massa $m_1$ in termini del "solito" rocchetto su un piano inclinato liscio. Si ha
$\vec(T) + \vec(F)_("peso") = m\ddot{x}$
$\vec(M)_("cm") = \vec(r) \times \vec(T) + \vec(r) \times \vec(F)_("peso")$
$\rArr T - m_1 * g sin\alpha = m a_1$
$\rArr - (2R) T + (R) m_1 g * sin\alpha = - I a_1 / R$
Risolvendo si trova che la velocità angolare data dalla rotazione è più alta di quella di traslazione. Dato che sappiamo si tratta di puro rotolamento: è necessario che la forza d'attrito sia diretta verso destra (se no, come diceva mathbells, il momento della forza d'attrito fa aumentare la velocità angolare e, in questo caso, la velocità di traslazione del centro di massa ma dal verso sbagliato).
Ritornando al sistema del problema: si avranno le seguenti equazioni
$1 : T + F_("attrito") - m_1 * gsin\alpha = m_1 * a_1$
$2 : m_2 g - T = m_2 * a_2$
$3 : -2RT + R (m_1 * gsin\alpha) = (3/2 m_1 R^2) * (-a_1)/R$
$4 : a_2 = 2a_1$
Risolvendo mi sembra si trovi che
$a_1 = 2(m_1 * g sin\alpha - m_2 g) / (3m_1 + 4m_2)$
Ma a questo punto, questi sono conti ...
Che dite?
"Faussone":
Io avevo infatti battezzato la forza di attrito opposta in verso alla forza con cui si tira il rocchetto, ma quello non è un problema: se si ottenesse un valore negativo della forza di attrito vorrebbe dire esattamente che il verso di quella forza è in realtà opposto a quello supposto.
Si certo, è solo questione di convenzione. Quando ho detto "assurdo", intendevo dire che se Fatt indica il modulo (che per definizione è una cosa positiva) e poi viene negativo, la cosa è assurda. Ma se uno la intende come componente, allora ok
.
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