Quadrivettori e quadrimomento

[Keyzan]

Ciao ragazzi sto riscontrando problemi con questi esercizi, ho studiato la teoria ma non riesco veramente a capirli, qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie in anticipo!

[Sk_Anonymous]

Intanto vediamo il primo. Nel sistema solidale al moto del nucleo $N$ il suo impulso iniziale è zero, mentre quello finale sarà $p_N$; per il sistema puoi quindi scrivere

$0=\vecp_N+\vecp_\(gamma)$ quindi $|p_N|^2=|p_\gamma|^2$ dove $p_(\gamma)=E_\(gamma)/c$ .

Se il nucleo non rincula avremo che la variazione di energia interna finisce tutta nel fotone emesso, cioè

$\DeltaE=E_\(gamma)$ . Considerando il rinculo invece una parte di energia derivata dal collasso del livello eccitato andrà a finire in energia cinetica del nucleo e l'energia del fotone emesso sarà leggermente minore, diciamo $E_\(gamma)'$ e allora possiamo scrivere

$\DeltaE=E_(gamma)'+p_N^2/(2M)$ se eguagli le due equazioni trovi che

$E_\gamma=E_\gamma'+p_N^2/(2M)$ quindi lo scarto è $E_\gamma-E_\gamma'=p_N^2/(2M)$

La massa la calcoli tenendo conto del numero di protoni e neutroni che hai nel nucleo, tanto è scritto nel testo. Puoi anche considerare le masse di protoni e neutroni uguali (mettile in eV ovviamente).

Calcolata l'energia cinetica del nucleo puoi vedere se sei in limite relativistico o meno. E puoi confrontare la frequenza ottenuta usando l'effetto doppler richiesto, quella è solo applicazione della formula.

Completa un po' i calcoli, vediamo cosa ne esce. Poi vediamo se riusciamo ad approcciare il secondo, che comunque è scritto in modo un po' fumoso. Per inciso, avete studiato anche le trasformazioni di Lorentz generali o solo il boost lungo un asse?

[Keyzan]

Grazie sei stato molto chiaro. Provo con il calcolo:

"Nikikinki": $ 0=\vecp_N+\vecp_\(gamma) $ quindi $ |p_N|^2=|p_\gamma|^2 $ dove $ p_(\gamma)=E_\(gamma)/c $ .

Quindi da:

"Nikikinki":quindi lo scarto è $ E_\gamma-E_\gamma'=p_N^2/(2M) $

trovo:
$ E_\gamma-E_\gamma'=(E_\gamma/c)^2/(2M) = 0,08eV$
Dove ho considerato:
$M=n_p*m_p+n_n*m_n=77*(1,673*10^(-27)*1,60*10^(-19))+114*(1,05*10^(-8))=1,2*10^(-6)eV$

A questo punto calcolo la velocità del nucleo con la formula classica:
$v= sqrt(2*(E_\gamma-E'_\gamma)/M)= 365 m/s$
Siccome $v"<<"c$ possiamo giustificare l'uso dell'espressione classica per l'energia cinetica del nucleo.

Per quanto riguarda il risultato con l'effetto Doppler, io so che la formula è $nu_O=(sqrt(1+v/c)/sqrt(1-v/c))nu_S$
Quindi dovrei trovare anche in questo caso lo scarto relativo?

Comunque sì abbiamo studiato anche le trasformazioni di Lorentz.

[Sk_Anonymous]

Tieni conto che le masse vogliono $(eV)/c^2$ intendevo questo dicendo di usare gli elettronvolt, sennò poi le cose non tornano, non so se l'hai considerato nel conto o meno. Per l'effetto doppler devi considerare che velocità di rinculo e radiazione sono antiparalleli. Quindi puoi confrontare la frequenza che trovi con quella di $E_\gamma'$ . Ricorda che $E=h\nu$

[Keyzan]

"Nikikinki":Tieni conto che le masse vogliono $(eV)/c^2$ intendevo questo dicendo di usare gli elettronvolt, sennò poi le cose non tornano, non so se l'hai considerato nel conto o meno.

Sì l'ho considerato, tutti i dati nella formula sono in $eV$.

"Nikikinki":Per l'effetto doppler devi considerare che velocità di rinculo e radiazione sono antiparalleli. Quindi puoi confrontare la frequenza che trovi con quella di $E_\gamma'$ . Ricorda che $E=h\nu$

Si ma non riesco a capire in questo caso specifico quali sono la frequenza dell'osservatore e della sorgente e che composizione utilizzare per la velocità

[Sk_Anonymous]

Se il nucleo è fermo vedrai la frequenza relativa ad $E_\gamma$ ma visto che rincula osserverai una frequenza minore, sperabilmente non troppo dissimile da quella di $E_\gamma'$. Quindi devi solo sostituire i valori in quella formula che hai scritto. Volevo richiamare l'attenzione al fatto che appunto deve esserti chiaro chi osserva cosa. Tu stai fermo ed osservi la radiazione emessa dalla sorgente che rincula.

[Keyzan]

Ok ci provo. Allora la sorgente è la radiazione che si sta allontanando dal nucleo, quindi la velocità deve essere $v=c-v_r$ ($v_r=365 m/s$), dove $v_r$ è la velocità di rinculo. Sappiamo che $nu_S=(E'_\gamma)/h=( E_\gamma-0,08)/h$ .
Dalla formula dell'effetto Doppler ho che:
$ nu_O=(sqrt(1+v/c)/sqrt(1-v/c))nu_S $
dove moltiplicando tutto per $h$ ottengo e sostutuendo $v$:
$E_O=(sqrt(1+(c-v_r)/c)/sqrt(1-(c-v_r)/c))( E_\gamma-0,08)$
Da qui sostituendo i valori numerici trovo:
$E_O= 2,02 * 10^(12) eV$
E' l'unica conclusione alla quale sono riuscito ad arrivare, ma tutto ciò non mi convince

[Sk_Anonymous]

Sì ma ti ho detto anche di riguardare quella massa. Come è possibile che la massa di un protone sia $940 (MeV)/c^2$ e la massa di tutti quei protoni sia tanto piccola? Hai sbagliato l'equivalenza. Inoltre come frequenza emessa dalla sorgente nella formula del doppler devi mettere quella senza il rinculo, altrimenti non ha senso il confronto. E la velocità che compare lì è quella relativa ai due sistemi di riferimento non la velocità della radiazione che comunque è sempre c in ogni SR inerziale. Hai abbattuto la teoria della relatività in un rigo.

[Keyzan]

Sì scusami hai ragione nel convertire invece di moltiplicare per la velocità della luce ho diviso. I nuovi dati sono:
$M=6,49*10^27 eV$
$E_\gamma-E'_\gamma=1,43*10^(-35)eV$
Quindi la velocità è molto più piccola:
$v=6,65*10^(-32) m/s$

Allora come mi hai suggerito di fare:
$ nu_O=(sqrt(1+v_r/c)/sqrt(1-v_r/c))nu_S $
dove $v_r = 6,65*10^(-32)m/s$ e $v_S=E_\gamma/h$
Il fattore $v_r/c$ è dell'ordine di $10^-40$ che è troppo piccolo per essere sommato o sottratto a $1$.

[Sk_Anonymous]

Al di là del fatto che per un nucleo così pesante lo shift sarà effettivamente minimo, mi pare hai sbagliato ancora i calcoli. Insomma vuoi proprio che devo farli io

La massa di un protone è $m_p=938 "MeV"/c^2$ quindi la massa di 191 "protoni" è $M=938*191=179158 "MeV"/c^2$

L'energia cinetica del nucleo è $P^2/(2M)=(0.129^2 "MeV"^2/c^2)/(2*179158 "MeV"/c^2)=0.129^2/(358316) "MeV"=4.7 *10^-8 "MeV"$

Quindi lo scarto tra le due energie è veramente minimo e possiamo vedere che $(E_\gamma')/E_gamma=0.9999996$

La velocità è $v=P/M=(0.129"MeV"/c)/(179158 "MeV"/c^2)=7.25*10^-7 c=217.5 m/s$

La frequenza nel sistema in moto, essendo la direzione di emissione antiparallela alla velocità, è $\omega°=\sqrt(1+\beta)/\sqrt(1-\beta) \omega$ o rispetto alle energie ugualmente

$E°=\sqrt(1+\beta)/\sqrt(1-\beta) E$ . Io voglio sapere quanta energia vedo nel sistema "fermo" del laboratorio quindi devo ricavare $E$ ed ovviamente $E°=E_\gamma$ .

$E=\sqrt(1-\beta)/\sqrt(1+\beta) E\gamma = 0.9999993 E\gamma$ . Ho messo tutte queste cifre significative per farti vedere che l'effetto del rinculo appare sia qui che prima sulla settima cifra decimale quindi entrambe le rappresentazioni sono concordi almeno su questo. Essendo un nucleo così pesante, trascurare il rinculo è assolutamente lecito.

Per l'altro esercizio temo dovrai aspettare almeno stasera, è un periodo un po' impegnato

[Keyzan]

Ti ringrazio infinitamente per la pazienza, adesso è tutto più chiaro.

"Nikikinki":
Per l'altro esercizio temo dovrai aspettare almeno stasera, è un periodo un po' impegnato

Non ti preoccupare intanto provo a risolvere altri esercizi come il precedente

[Sk_Anonymous]

Allora, più leggo questo secondo problema più mi sembra senza senso ( o male specificato) proprio nella sua parte iniziale.

Dice che ad una particella è associato un vettore $\vecS$ dello spazio ordinario quindi $(S_x,S_y,S_z)$. Non dà nessuna informazione su come sia fatto. Ok. Poi chiede di aggiungere la componente temporale "affinché sia un quadrivettore". E fin qui va bene. Visto che non abbiamo nessuna informazione a riguardo qualunque cosa va bene, purchè $S^0$ sia tale che $S^(\alpha)S_\(alpha)$ sia invariante di Lorentz quindi dobbiamo per forza lasciare indicato con A la norma del quadrivettore.

$(S^0)^2-|S|^2=A^2$

Poi vuole che sia anche tale da annullarsi nel sistema solidale alla particella. Dato che $A^2$ è un'invariante di Lorentz tra i vari sistemi di riferimento dovrà essere (indicando con l'apice ' la quantità rispetto all'altro sistema di riferimento)

$(S^0)^2-|S|^2=A^2=0-|S'|^2$ cioè $S^0$ tale che $(S^0)^2=|S|^2-|S'|^2$ . Ha senso questa cosa? Francamente non lo so.

Dipende da che vettore sia $S$ (per un vettore posizione standard si annullano le componenti nel sistema solidale ovviamente), non credo che in generale abbia senso, ma potrei sbagliarmi.

A questo punto vuole sapere come scrivere le trasformazioni di Lorentz per un generico sistema di riferimento. Nulla ci viene detto sulla particella, quindi le diamo una velocità generica $\vecv$.

Scomponendo il vettore $\vecS$ in componente parallela P e ortogonale O alla velocità

$S_P=\vecS*\vecv/|v|$ , $S_O=S-S_P$ abbiamo che la prima deve trasformare nel modo solito, secondo le trasformazioni di Lorentz per un boost standard, mentre la parte ortogonale resterà invariata. La parte temporale si trasformerà analogamente ma solo con il contributo della componente parallela. Quindi complessivamente se non ho sbagliato hai il sistema

$S^0'=\gamma(S^0-\betaS_P)$
$\vecS'=\vecS+(\gamma-1) (\vecS*\vecv)/|v|^2 \vecv-\gamma\betaS^0 \vecv/|v|$


Poi vuole sapere quali quadrivettori sono possibili combinando $S^\alpha$ , $u^\alpha$ ed $F^(\alpha\beta)$ che tradotto ci sta chiedendo quali invarianti di Lorentz si possono formare con queste tre quantità. Ma ricadiamo nell'incertezza che avevo all'inizio. Il testo non ci dice che tipo di vettore sia S, quindi come posso dire in che modo combinarlo con due "vettori" che invece hanno un senso fisico per ottenere un invariante? Non saprei dire.
Mi farebbe piacere sapere anche il parere di qualcun altro, magari mi sfugge qualcosa o ho interpretato male il testo. Ma per come è messo già mi suona strano così.

[Shackle]

"Nikikinki":Allora, più leggo questo secondo problema più mi sembra senza senso ( o male specificato) proprio nella sua parte iniziale.

Infatti . Ho lasciato perdere questo esercizio , perchè , come diceva Totò, mi sembra una "ciofeca" A meno che non ci sbagliamo entrambi...

Dice che ad una particella è associato un vettore $\vecS$ dello spazio ordinario quindi $(S_x,S_y,S_z)$. Non dà nessuna informazione su come sia fatto. Ok. Poi chiede di aggiungere la componente temporale "affinché sia un quadrivettore". E fin qui va bene. Visto che non abbiamo nessuna informazione a riguardo qualunque cosa va bene, purchè $S^0$ sia tale che $S^(\alpha)S_\(alpha)$ sia invariante di Lorentz quindi dobbiamo per forza lasciare indicato con A la norma del quadrivettore.

$(S^0)^2-|S|^2=A^2$

Poi vuole che sia anche tale da annullarsi nel sistema solidale alla particella.

Chi, che cosa deve annullarsi nel sistema di riferimento della particella ? LA norma del 4-vettore ? Ma se un 4-vettore ha norma nulla , è un 4-vettore tipo luce , sol un 4-vettore tipo luce può avere norma nulla (se non sono rincitrullito...) . E se la norma è nulla in un riferimento, è nulla in tutti i riferimenti , essendo la norma di un 4-vettore invariante per cambiamento di coordinate.

Lascio perdere tutto il resto.

[...]Mi farebbe piacere sapere anche il parere di qualcun altro, magari mi sfugge qualcosa o ho interpretato male il testo. Ma per come è messo già mi suona strano così.

Il mio parere l'ho già espresso all'inizio. A meno che, ripeto , io e te non ci siamo bevuti il cervello, e non sappiamo più neanche una "nota" di relatività ( a proposito di "suonare strano" ...) .

[Sk_Anonymous]

Già, in effetti se $S$ fosse un vettore posizione standard e si annullasse la norma, sarebbe un quadrivettore tipo luce. Ma solo la luce può viaggiare sulla superficie del "cono" di Minkowski, ma i fotoni hanno massa nulla e qui parla di particella di massa $m$, quindi $S$ deve essere qualche altra quantità. Più lo si legge e più diventa incongruente. Penso sia anche un complimento chiamarlo ciofeca . Probabilmente nella testa di chi l'ha scritto c'è l'interpretazione sensata, ma non riesco a vederla. Spero che l'OT ne parli con il suo professore, sarei curioso di sapere che risposta gli darebbe.

[Shackle]

Ho disegnato dei 4-vettori impulso sul diagramma di Minkowski :

Nella fig 1 , c'è un normale 4-impulso $barP$, per una particella di massa $m$ , di componenti :

$barP = (E/c, p ) = (gammamc, gamma mv ) $

le componenti sono rappresentate sui rispettivi assi : asse $t$ per la componente temporale , asse $x$ per la componente spaziale . La norma, avendo disegnato un 4-vettore tipo tempo, è positiva ed è data da :

$|barP|^2 = (E/c)^2 - p^2 = (mc)^2 $

la norma $mc$ è anche uguale alla componente temporale nel riferimento proprio di quiete della particella, che sul diagramma di Minkowski giace sull'asse $t$ ed è data dall'intersezione dell'asse stesso con l'iperbole invariante che passa per l'estremo di $barP$ . Questo è anche il parametro dell'iperbole invariante. Tutti i 4-impulsi il cui secondo estremo giace sull'iperbole invariante hanno la stessa norma , perchè il parametro dell'iperbole è lo stesso.

In fig 2 ho rappresentato invece un 4-vettore di tipo nullo, che quindi giace sulla geodetica della luce, bisettrice del 1º quadrante. LE componenti sono uguali :

$barP = (E/c, E/c) $

la norma è nulla , poiché : $(E/c)^2 - (E/c)^2 = 0 $

la norma è nulla in tutti i riferimenti inerziali , in figura ho rappresentato anche un secondo riferimento $(t', x') $ , di cui la retta su cui giace $barP$ è ancora bisettrice .

Ho fatto poi un altro disegno , qui di seguito, fig 3 , dove ho rappresentato nuovamente il $barP$ di fig 1 . L'unico modo per 'compensare" $barP$ sarebbe quello di considerare un altro 4-impulso : $ - barP$ , avente componenti uguali in modulo ma negative : questo però significherebbe che la particella si muove verso il passato , con 4-velocità (attenzione, NON la sola componente spaziale della 4-velocità ! ) opposta a quella precedente : e questa è follia pura ! Tutte le particelle materiali si muovono con 4-velocità , di tipo tempo, dirette verso il futuro !

[Keyzan]

Proverò a chiedere al professore il prima possibile!