Quadrivettore trasformato
Ciao a tutti, ho un problema con il seguente esercizio dato che non ancora sono riuscito a prendere familiarità con i concetti di quadrivettori e tensori.
Sia dato un quadrivettore di tipo tempo $ p^mu =(a,b,0,0) $ con $ a>b $ e $ mu =(0,1,2,3) $ .
Mostrare che esiste una trasformazione di Lorentz che porta il quadrivettore nella forma $ p^('mu )=(gamma ,0,0,0) $ .
Calcolare $ gamma $ e la trasformazione di Lorentz cercata in funzione di $ a $ e $ b $.
Sia dato un quadrivettore di tipo tempo $ p^mu =(a,b,0,0) $ con $ a>b $ e $ mu =(0,1,2,3) $ .
Mostrare che esiste una trasformazione di Lorentz che porta il quadrivettore nella forma $ p^('mu )=(gamma ,0,0,0) $ .
Calcolare $ gamma $ e la trasformazione di Lorentz cercata in funzione di $ a $ e $ b $.
Risposte
La norma di un 4-vettore è invariante, quindi :
$a^2 - b^2 = gamma^2 $
da cui : $ gamma = sqrt(a^2-b^2) $
Ma siccome : $gamma = 1/(sqrt(1-beta^2)) $ , si ha : $beta = sqrt(1-1/(a^2-b^2))$
Scrivere la TL è immediato:
$ct' = gamma(ct - betax) $
$x' = gamma(x-betact) $
Però osservo che la condizione $a>b$ non basta. Deve anche essere assicurato che sia $a^2-b^2 >1 $ , poiché deve risultare $gamma^2>1rarr gamma >1 $ .
Supponiamo infatti, per assurdo, che sia : $a=0.5 $ e $b=0.4$ . Risulterebbe :
$a^2-b^2 = 0.25-0.16 = 0.09 rarr gamma= 0.3$
il che è fisicamente impossibile . In certi esercizi le condizioni di partenza sarebbero da precisare meglio.
$a^2 - b^2 = gamma^2 $
da cui : $ gamma = sqrt(a^2-b^2) $
Ma siccome : $gamma = 1/(sqrt(1-beta^2)) $ , si ha : $beta = sqrt(1-1/(a^2-b^2))$
Scrivere la TL è immediato:
$ct' = gamma(ct - betax) $
$x' = gamma(x-betact) $
Però osservo che la condizione $a>b$ non basta. Deve anche essere assicurato che sia $a^2-b^2 >1 $ , poiché deve risultare $gamma^2>1rarr gamma >1 $ .
Supponiamo infatti, per assurdo, che sia : $a=0.5 $ e $b=0.4$ . Risulterebbe :
$a^2-b^2 = 0.25-0.16 = 0.09 rarr gamma= 0.3$
il che è fisicamente impossibile . In certi esercizi le condizioni di partenza sarebbero da precisare meglio.
"Shackle":
La norma di un 4-vettore è invariante, quindi :
$a^2 - b^2 = gamma^2 $
da cui : $ gamma = sqrt(a^2-b^2) $
Ma siccome : $gamma = 1/(sqrt(1-beta^2)) $ , si ha : $beta = sqrt(1-1/(a^2-b^2))$
Scrivere la TL è immediato:
$ct' = gamma(ct - betax) $
$x' = gamma(x-betact) $
Però osservo che la condizione $a>b$ non basta. Deve anche essere assicurato che sia $a^2-b^2 >1 $ , poiché deve risultare $gamma^2>1rarr gamma >1 $ .
Supponiamo infatti, per assurdo, che sia : $a=0.5 $ e $b=0.4$ . Risulterebbe :
$a^2-b^2 = 0.25-0.16 = 0.09 rarr gamma= 0.3$
il che è fisicamente impossibile . In certi esercizi le condizioni di partenza sarebbero da precisare meglio.
Credo di non essermi espresso bene. Qui con $ gamma $ si intende un parametro generico, non il fattore di Lorentz. Chiedo venia per la mancata precisazione
Mi sembrava un po’ strano, infatti! Allora, chiama $k$ anziché $gamma$ la componente temporale del 4-vettore trasformato. Poi scrivi le TL delle due componenti, temporale e spaziale, del 4-vettore: sono analoghe alle TL di tempo e spazio, dal sistema senza apice al sistema con apice. Sai farlo? Provaci. Tieni presente che il trasformato ha solo la componente temporale.
Se leggi bene, ho già scritto le TL, devi solo mettere le componenti giuste al posto giusto.
E ti ho detto pure che la norma del 4-vettore è invariante...In pratica, l’esercizio è già fatto...
Le TL si scrivono in generale :
$ct' = gamma(ct - betax) $
$x' = gamma(x-betact) $
i 4-vettori si trasformano alla stessa maniera , quindi nel tuo caso :
$k = gamma(a - betab) $
$0 = gamma(b-betaa) $
LA velocità si ricava dalla seconda : $beta = b/a $
il fattore $gamma$ è dato da : $gamma = (1-beta^2)^(-1/2) $
La norma di un 4-vettore è invariante, quindi :
$a^2 - b^2 = k^2 $
che è la norma del 4-vettore trasformato $p'^\nu $ .
Inutile dire che le componenti lungo $y$ e $z$ sono e rimangono nulle . Aggiungo pure un diagrammino di Minkowski :
Se leggi bene, ho già scritto le TL, devi solo mettere le componenti giuste al posto giusto.
E ti ho detto pure che la norma del 4-vettore è invariante...In pratica, l’esercizio è già fatto...
Le TL si scrivono in generale :
$ct' = gamma(ct - betax) $
$x' = gamma(x-betact) $
i 4-vettori si trasformano alla stessa maniera , quindi nel tuo caso :
$k = gamma(a - betab) $
$0 = gamma(b-betaa) $
LA velocità si ricava dalla seconda : $beta = b/a $
il fattore $gamma$ è dato da : $gamma = (1-beta^2)^(-1/2) $
La norma di un 4-vettore è invariante, quindi :
$a^2 - b^2 = k^2 $
che è la norma del 4-vettore trasformato $p'^\nu $ .
Inutile dire che le componenti lungo $y$ e $z$ sono e rimangono nulle . Aggiungo pure un diagrammino di Minkowski :
Ti ringrazio tanto, adesso è tutto molto più chiaro 
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