QM passare da $L_z$ a $L_x$

Cantaro86
oggi mi sono imbattuto in questo esercizio di meccanica quantistica... e c'è un punto in cui veramente non ho capito cosa dovevo fare per poter andare avanti...

allora... è dato un sistema descritto da un Hamiltoniana (che non riporto) e al tempo iniziale so che le misure di $L^2$ e $L_z$ sono rispettivamente 2 e 1 (ho posto h=1), al tempo t voglio sapere che risultati fornisce una misura di $L^2$ e $L_x$ e la loro probabilità...

io ho visto subito che H commuta con $L^2$ e $L_z$ e ho chiamato $|1,1_z>$ lo stato del sistema al tempo iniziale (dove $|1,1_z>$ sarebbe $|l,m_z>$)
a questo punto, visto che devo lavorare con $L_x$ decido di sviluppare $|1,1>$ sui suoi autostati...
e quindi $|1,1_z> =alpha|1,1_x>+beta|1,0_x>+gamma|1,-1_x>$
dopo di che, so che devo applicare l'operatore temporale per poi trovare le varie probabilità...ecc....

il problema... come trovo gli $alpha beta gamma$ ???

spero di essere stato chiaro con le notazioni...
grazie :-D

Risposte
Eredir
Devi utilizzare le matrici di Pauli per il caso di spin 1.
Le puoi trovare ad esempio qui.

Cantaro86
a ok...
ti chiedo un favore però... visto che non sono ancora molto pratico, riusciresti a scrivermi come devo utilizzare?? visto che è la prima volta che faccio questo tipo di conti...
(non serve che mi scrivi tutti i passaggi con le formule... mi basterebbe solo capire cosa dovrei fare) :lol: :lol:
grazie ancora

Eredir
Ti basta diagonalizzare la matrice $L_x=h/\sqrt{2} ((0,1,0),(1,0,1),(0,1,0))$ e trovarne gli autovettori.
Le loro componenti sono i coefficienti che esprimono gli autoket di $L_x$ come combinazione lineare degli autoket di $L_z$.

wedge
puoi anche far agire L_x direttamente sul tuo stato utilizzando gli operatori di innalzamento e abbassamento

$L_x |l,m \rangle = \frac{ L_+ + L_-}{2} |l,m\rangle$

wedge
un terzo metodo, metodo urang-utang direbbe Fioravante, è quello di scrivere lo stato iniziale, girare gli assi e risviluppare sulle armoniche sferiche.

nel tuo caso hai

$psi=Y_{2}^{1}(x)={-1/ 2}\sqrt{frac{15}{2\pi}}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\quad={frac{-1}{2}}\sqrt{frac{15}{ 2\pi}}\cdot(xz+iyz)/r^{2}$

quindi mandi x in z' e gli altri assi di conseguenza (in modo da mantenere l'orientazione), così da sviluppare nuovamente sulle armoniche sferiche questa volta riferite all'asse x (ossia z' )

Cantaro86
grazie x la risposte!!

@wedge

il metodo alla urang-utang, mi sembra un po lunghetto :lol:

mentre quello di utilizzare gli operatori $L_+$ $L_-$ mi sembra un buon metodo e una bella idea...domani mattina proverò a risolvere il problema in questo modo...
grazie

invece

@eredir

devo cercare di capire come si utilizzano queste matrici di Pauli...allora...
il mio sistema si trova nello stato che ho chiamato $|1,1_z>$ che è un autostato di $L_z$ (con l'autovalore 1)

ho fatto come hai detto tu e ho trovato gli autovalori di $L_x$ $0$,$ h/2$, $ -h/2$ e i rispettivi autovettori $1/sqrt(2)(1,0,-1),sqrt(2/5)(1,1/sqrt(2),1),sqrt(2/5)(1,-1/sqrt(2),1)$ (sperando che siano giusti :-D )

bene...ora come collego il tutto?

(scusa ma qui ho le idee veramente confuse):rolleyes: grazie

Eredir
Si vede ad occhio che c'è qualcosa che non va, poichè avendo un sistema di spin 1 dovresti ottenere autovalori $h,0,-h$. :wink:
In ogni caso una volta trovato l'autovettore $(a,b,c)$ corrispondente all'autovalore $\lambda$ puoi scrivere il relativo autoket di $L_x$ come $|\lambda_x\rangle=a|1_z\rangle+b|0_z\rangle+c|-1_z\rangle$.
Il fatto che questo sia l'ordine corretto segue dal modo in cui è stata scritta la matrice $L_z$ in termini dei suoi autoket.

Cantaro86
a ok ora ho capito!!

si in effetti potevo anche fare i calcoli con un po più di attenzione :oops: :oops: :oops:

bene... domani mattina finisco l'esercizio, poi ti faro sapere... anche se credo di aver capito come funziona...

grazie mille :-D

wedge

mentre quello di utilizzare gli operatori $L_+$ $L_-$ mi sembra un buon metodo e una bella idea...domani mattina proverò a risolvere il problema in questo modo...


così però puoi avere solo il valor medio di Lx brakettandolo , e non trovare i singoli risultati possibili di Lx con probabilità annessa (avevo letto velocemente il testo del problema: tra l'altro l è 2 o 1? hai cambiato a metà post). altrimenti devi passare comunque per la rotazione di Eredir.
il metodo urang utang non è così lento se hai accanto a te una tavola di armoniche sferiche.
ciao!

Cantaro86
bene... ho fatto un po di calcoli...

riassumo quello che ho capito di ieri sera...e spero di non scrivere solo fesserie:
da quello che ho capito devo per prima cosa trovare autovalori e autovettori della matrice che mi rappresenta $L_x$
che sono (quelli giusti) 0,1,-1 con gli autovalori: $|0_x> =1/sqrt(2)(1,0,-1), |1_x> =1/2(1,sqrt(2),1), |-1_x> =1/2(1,-sqrt(2),1)$
visto che lo stato in cui mi trovo $|1_z>$ lo posso esplicitare come autovettore di $L_z$ ed è $(1,0,0)$ decido di esprimerlo come combinazione lineare degli autostati di $L_x$
$|1_z> =a|-1_x>+b|0_x>+c|1_x>$ e risolvendo il sistemino ottengo i valori $a=1/2, b=1/(sqrt2), c=1/2$
che guarda caso sono uguali alle componenti di $|1_x>$ come aveva detto eredir (e qui devo ancora arrivarci :lol: )

dunque... quello che ho fatto (il procedimento) è corretto?? (vedendo le probabilità finali sembra che anche i coefficienti siano giusti...speriamo...):-D

se il risultato è giusto poi proverò il metodo "urang-utang".. giusto per vedere come viene...

comunque non ho cambiato i valori...ho detto che la misura di $L^2$ è 2 che sarebbe l(l+1) quindi l=1

comunque grazie a tutti e due x l'aiuto :-D :-D

wedge
si, il procedimento è corretto.

(scusa la svista sulla misura e il numero quantico associato)

Eredir
Mi sembra tutto corretto. Se hai altri dubbi chiedi pure.

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