QM passare da $L_z$ a $L_x$
oggi mi sono imbattuto in questo esercizio di meccanica quantistica... e c'è un punto in cui veramente non ho capito cosa dovevo fare per poter andare avanti...
allora... è dato un sistema descritto da un Hamiltoniana (che non riporto) e al tempo iniziale so che le misure di $L^2$ e $L_z$ sono rispettivamente 2 e 1 (ho posto h=1), al tempo t voglio sapere che risultati fornisce una misura di $L^2$ e $L_x$ e la loro probabilità...
io ho visto subito che H commuta con $L^2$ e $L_z$ e ho chiamato $|1,1_z>$ lo stato del sistema al tempo iniziale (dove $|1,1_z>$ sarebbe $|l,m_z>$)
a questo punto, visto che devo lavorare con $L_x$ decido di sviluppare $|1,1>$ sui suoi autostati...
e quindi $|1,1_z> =alpha|1,1_x>+beta|1,0_x>+gamma|1,-1_x>$
dopo di che, so che devo applicare l'operatore temporale per poi trovare le varie probabilità...ecc....
il problema... come trovo gli $alpha beta gamma$ ???
spero di essere stato chiaro con le notazioni...
grazie
allora... è dato un sistema descritto da un Hamiltoniana (che non riporto) e al tempo iniziale so che le misure di $L^2$ e $L_z$ sono rispettivamente 2 e 1 (ho posto h=1), al tempo t voglio sapere che risultati fornisce una misura di $L^2$ e $L_x$ e la loro probabilità...
io ho visto subito che H commuta con $L^2$ e $L_z$ e ho chiamato $|1,1_z>$ lo stato del sistema al tempo iniziale (dove $|1,1_z>$ sarebbe $|l,m_z>$)
a questo punto, visto che devo lavorare con $L_x$ decido di sviluppare $|1,1>$ sui suoi autostati...
e quindi $|1,1_z> =alpha|1,1_x>+beta|1,0_x>+gamma|1,-1_x>$
dopo di che, so che devo applicare l'operatore temporale per poi trovare le varie probabilità...ecc....
il problema... come trovo gli $alpha beta gamma$ ???
spero di essere stato chiaro con le notazioni...
grazie

Risposte
a ok...
ti chiedo un favore però... visto che non sono ancora molto pratico, riusciresti a scrivermi come devo utilizzare?? visto che è la prima volta che faccio questo tipo di conti...
(non serve che mi scrivi tutti i passaggi con le formule... mi basterebbe solo capire cosa dovrei fare)
grazie ancora
ti chiedo un favore però... visto che non sono ancora molto pratico, riusciresti a scrivermi come devo utilizzare?? visto che è la prima volta che faccio questo tipo di conti...
(non serve che mi scrivi tutti i passaggi con le formule... mi basterebbe solo capire cosa dovrei fare)


grazie ancora
Ti basta diagonalizzare la matrice $L_x=h/\sqrt{2} ((0,1,0),(1,0,1),(0,1,0))$ e trovarne gli autovettori.
Le loro componenti sono i coefficienti che esprimono gli autoket di $L_x$ come combinazione lineare degli autoket di $L_z$.
Le loro componenti sono i coefficienti che esprimono gli autoket di $L_x$ come combinazione lineare degli autoket di $L_z$.
puoi anche far agire L_x direttamente sul tuo stato utilizzando gli operatori di innalzamento e abbassamento
$L_x |l,m \rangle = \frac{ L_+ + L_-}{2} |l,m\rangle$
$L_x |l,m \rangle = \frac{ L_+ + L_-}{2} |l,m\rangle$
un terzo metodo, metodo urang-utang direbbe Fioravante, è quello di scrivere lo stato iniziale, girare gli assi e risviluppare sulle armoniche sferiche.
nel tuo caso hai
$psi=Y_{2}^{1}(x)={-1/ 2}\sqrt{frac{15}{2\pi}}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\quad={frac{-1}{2}}\sqrt{frac{15}{ 2\pi}}\cdot(xz+iyz)/r^{2}$
quindi mandi x in z' e gli altri assi di conseguenza (in modo da mantenere l'orientazione), così da sviluppare nuovamente sulle armoniche sferiche questa volta riferite all'asse x (ossia z' )
nel tuo caso hai
$psi=Y_{2}^{1}(x)={-1/ 2}\sqrt{frac{15}{2\pi}}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\quad={frac{-1}{2}}\sqrt{frac{15}{ 2\pi}}\cdot(xz+iyz)/r^{2}$
quindi mandi x in z' e gli altri assi di conseguenza (in modo da mantenere l'orientazione), così da sviluppare nuovamente sulle armoniche sferiche questa volta riferite all'asse x (ossia z' )
grazie x la risposte!!
@wedge
il metodo alla urang-utang, mi sembra un po lunghetto
mentre quello di utilizzare gli operatori $L_+$ $L_-$ mi sembra un buon metodo e una bella idea...domani mattina proverò a risolvere il problema in questo modo...
grazie
invece
@eredir
devo cercare di capire come si utilizzano queste matrici di Pauli...allora...
il mio sistema si trova nello stato che ho chiamato $|1,1_z>$ che è un autostato di $L_z$ (con l'autovalore 1)
ho fatto come hai detto tu e ho trovato gli autovalori di $L_x$ $0$,$ h/2$, $ -h/2$ e i rispettivi autovettori $1/sqrt(2)(1,0,-1),sqrt(2/5)(1,1/sqrt(2),1),sqrt(2/5)(1,-1/sqrt(2),1)$ (sperando che siano giusti
)
bene...ora come collego il tutto?
(scusa ma qui ho le idee veramente confuse):rolleyes: grazie
@wedge
il metodo alla urang-utang, mi sembra un po lunghetto

mentre quello di utilizzare gli operatori $L_+$ $L_-$ mi sembra un buon metodo e una bella idea...domani mattina proverò a risolvere il problema in questo modo...
grazie
invece
@eredir
devo cercare di capire come si utilizzano queste matrici di Pauli...allora...
il mio sistema si trova nello stato che ho chiamato $|1,1_z>$ che è un autostato di $L_z$ (con l'autovalore 1)
ho fatto come hai detto tu e ho trovato gli autovalori di $L_x$ $0$,$ h/2$, $ -h/2$ e i rispettivi autovettori $1/sqrt(2)(1,0,-1),sqrt(2/5)(1,1/sqrt(2),1),sqrt(2/5)(1,-1/sqrt(2),1)$ (sperando che siano giusti

bene...ora come collego il tutto?
(scusa ma qui ho le idee veramente confuse):rolleyes: grazie
Si vede ad occhio che c'è qualcosa che non va, poichè avendo un sistema di spin 1 dovresti ottenere autovalori $h,0,-h$.
In ogni caso una volta trovato l'autovettore $(a,b,c)$ corrispondente all'autovalore $\lambda$ puoi scrivere il relativo autoket di $L_x$ come $|\lambda_x\rangle=a|1_z\rangle+b|0_z\rangle+c|-1_z\rangle$.
Il fatto che questo sia l'ordine corretto segue dal modo in cui è stata scritta la matrice $L_z$ in termini dei suoi autoket.

In ogni caso una volta trovato l'autovettore $(a,b,c)$ corrispondente all'autovalore $\lambda$ puoi scrivere il relativo autoket di $L_x$ come $|\lambda_x\rangle=a|1_z\rangle+b|0_z\rangle+c|-1_z\rangle$.
Il fatto che questo sia l'ordine corretto segue dal modo in cui è stata scritta la matrice $L_z$ in termini dei suoi autoket.
a ok ora ho capito!!
si in effetti potevo anche fare i calcoli con un po più di attenzione
bene... domani mattina finisco l'esercizio, poi ti faro sapere... anche se credo di aver capito come funziona...
grazie mille
si in effetti potevo anche fare i calcoli con un po più di attenzione



bene... domani mattina finisco l'esercizio, poi ti faro sapere... anche se credo di aver capito come funziona...
grazie mille

mentre quello di utilizzare gli operatori $L_+$ $L_-$ mi sembra un buon metodo e una bella idea...domani mattina proverò a risolvere il problema in questo modo...
così però puoi avere solo il valor medio di Lx brakettandolo
il metodo urang utang non è così lento se hai accanto a te una tavola di armoniche sferiche.
ciao!
bene... ho fatto un po di calcoli...
riassumo quello che ho capito di ieri sera...e spero di non scrivere solo fesserie:
da quello che ho capito devo per prima cosa trovare autovalori e autovettori della matrice che mi rappresenta $L_x$
che sono (quelli giusti) 0,1,-1 con gli autovalori: $|0_x> =1/sqrt(2)(1,0,-1), |1_x> =1/2(1,sqrt(2),1), |-1_x> =1/2(1,-sqrt(2),1)$
visto che lo stato in cui mi trovo $|1_z>$ lo posso esplicitare come autovettore di $L_z$ ed è $(1,0,0)$ decido di esprimerlo come combinazione lineare degli autostati di $L_x$
$|1_z> =a|-1_x>+b|0_x>+c|1_x>$ e risolvendo il sistemino ottengo i valori $a=1/2, b=1/(sqrt2), c=1/2$
che guarda caso sono uguali alle componenti di $|1_x>$ come aveva detto eredir (e qui devo ancora arrivarci
)
dunque... quello che ho fatto (il procedimento) è corretto?? (vedendo le probabilità finali sembra che anche i coefficienti siano giusti...speriamo...):-D
se il risultato è giusto poi proverò il metodo "urang-utang".. giusto per vedere come viene...
comunque non ho cambiato i valori...ho detto che la misura di $L^2$ è 2 che sarebbe l(l+1) quindi l=1
comunque grazie a tutti e due x l'aiuto
riassumo quello che ho capito di ieri sera...e spero di non scrivere solo fesserie:
da quello che ho capito devo per prima cosa trovare autovalori e autovettori della matrice che mi rappresenta $L_x$
che sono (quelli giusti) 0,1,-1 con gli autovalori: $|0_x> =1/sqrt(2)(1,0,-1), |1_x> =1/2(1,sqrt(2),1), |-1_x> =1/2(1,-sqrt(2),1)$
visto che lo stato in cui mi trovo $|1_z>$ lo posso esplicitare come autovettore di $L_z$ ed è $(1,0,0)$ decido di esprimerlo come combinazione lineare degli autostati di $L_x$
$|1_z> =a|-1_x>+b|0_x>+c|1_x>$ e risolvendo il sistemino ottengo i valori $a=1/2, b=1/(sqrt2), c=1/2$
che guarda caso sono uguali alle componenti di $|1_x>$ come aveva detto eredir (e qui devo ancora arrivarci

dunque... quello che ho fatto (il procedimento) è corretto?? (vedendo le probabilità finali sembra che anche i coefficienti siano giusti...speriamo...):-D
se il risultato è giusto poi proverò il metodo "urang-utang".. giusto per vedere come viene...
comunque non ho cambiato i valori...ho detto che la misura di $L^2$ è 2 che sarebbe l(l+1) quindi l=1
comunque grazie a tutti e due x l'aiuto


si, il procedimento è corretto.
(scusa la svista sulla misura e il numero quantico associato)
(scusa la svista sulla misura e il numero quantico associato)
Mi sembra tutto corretto. Se hai altri dubbi chiedi pure.