[QM] Oscillatore armonico

[5mrkv]

L'equazione è quella indipendente dal tempo. con t=\hbar
\[
-\frac{t^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}u(x)}{\partial x^{2}}+\frac{1}{2}kx^{2}u(x)=Eu(x)
\]
Ponendo $\omega=\sqrt{k \/ m}$, $\epsilon=2E \/ t\omega$ e $y=x\sqrt{m\omega \/t}$ mi viene
\[
\frac{\partial^{2}u(y)}{\partial y^{2}}+\omega m(\epsilon-y^{2})u(y)=0
\]
Invece di
\[
\frac{\partial^{2}u(y)}{\partial y^{2}}+(\epsilon-y^{2})u(y)=0
\]
I calcoli sono abbastanza semplici e li ho ricontrollati un paio di volte, ma non ho considerato alcun contributo dalla derivazione nel cambio di variabile e forse il problema è quello.

$\frac{t^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}u(x)}{\partial x^{2}}-\frac{1}{2}kx^{2}u(x)+Eu(x)=0$
$\frac{t^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}u(x)}{\partial x^{2}}-\frac{1}{2}\frac{k}{m}x^{2}m u(x)+\frac{2E}{t\omega}\frac{t\omega}{2}u(x)=0$
$\frac{\partial^{2}u(x)}{\partial x^{2}}+[m\omega \epsilon-\frac{\omega^{2} x^2 m^2}{t}]u(x)=0$
...

[alle.fabbri]

"5mrkv":
I calcoli sono abbastanza semplici e li ho ricontrollati un paio di volte, ma non ho considerato alcun contributo dalla derivazione nel cambio di variabile e forse il problema è quello.

Infatti. Ricorda che
\( \displaystyle \frac{d}{dx} = \frac{dy}{dx} \frac{d}{dy} \)

[5mrkv]