QM: Normalizzazione particella libera

[david_e1]

Beh visto che vedo un po' di topic aperti di MQ. ne approfitto per fare una domanda su una cosa che onestamente non ho capito. Premetto che, ovviamente, studio MQ in un corso per ingegneri (e qualche cosa da autodidatta), per cui non scandalizzatevi troppo delle eventuali idiozie che dovessi scrivere!

La mia è più che altro una questione sul setting funzionale e sulla notazione a braket. Ho studiato alcune di queste cose sul Ballentine, solo che faccio fatica a ricollegarle con ciò che ho visto per le equazioni ellittiche in altri contesti.

Allora supponiamo che io stia cercando le autofunzioni dell'Hamiltoniano(*):

$ H | \phi_k > = H_k | \phi_k > $

allora nel caso in cui $\phi_k$ rappresenti uno stato legato, posso pensare di lavorare su uno spazio di Hilbert $X$ e sul suo duale $X'$ (indicando con il primo lo spazio duale), in modo da poter normalizzare le $\phi_i$ che trovo in maniera per cui:

$ < \phi_i | \phi_j > = \delta_{ij}$

Allora io questo simbolo lo interpreto in questo modo. Indicando con $< \Lambda , x >$ l'azione del funzionale $\Lambda \in X'$ su $x \in X$. Allora se introduco l'operatore di Riesz $J$, allora mi pare che:

$ < \phi_i | \phi_j > = < J \phi_i , \phi_j > = \delta_{ij} $

nel caso della particella legata, siccome mi sembra che l'ambiente più giusto sia la terna Hilbertiana:

$ H^1 \subset L^2 ~ (L^2)' \subset (H^1)' $

pongo $J: \phi_i \mapsto \int \bar{\phi_i} \cdot $ (notare qui il punto semi-invisibile che sta a significare il posto in cui mettere l'elemento su cui agisce il funzionale). Quindi tutto sembra tornare con quanto poi vedo in pratica ovvero:

$ < \phi_i | \phi_j > = \int \bar{\phi_i} \phi_j $

indicando con la barra il complesso coniugato.

Ora nel caso della particella libera chiaramente non c'è molta speranza di trovare la $\phi$ dentro la terna Hilbertiana, per cui la si espande andando a prendere lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida $S$ e il suo duale delle distribuzioni temperate:

$ S \subset H^1 \subset L^2 ~ (L^2)' \subset (H^1)' \subset (S)'$

ora da quello che ho capito le $\phi$ sono in $(S)'$ se l'energia cinetica è maggiore di zero. A questo punto sul Ballentine chiude li la questione, mentre a lezione ho visto la così detta "normalizzazione a delta di Dirach" in cui si pone:

$ \int \bar{\phi_s} \phi_p = \delta(s-p)$

ora mi stavo chiedendo se la cosa si può tirare fuori usando una specie di operatore di Riesz. Chiaramente $S$ non è di Hilbert, quindi niente $J$ "gratis", ma comunque posso usare tutto l'armamentario di spazi di cui sopra per fare una mappa "per densità" (o almeno credo). A questo punto penso di poter normalizzare in qualche modo:

$ <\phi_s | \phi_p > = < J \phi_s , \phi_p > = { (1 \qquad s=p),( 0 \qquad s\ne p ) :} $

Non so se si è capito quello che intendo... comunque dopo tutto questo panegirico i miei dubbi sono:

1. Il significato esatto dei braket: sono collegati, come credo di aver capito io, al simbolo di dualità con in più una mappa di Riesz $J: | f > \mapsto < f |$.
2. L'equazione di Schroedinger in che spazio si ambienta alla fine? Il Ballentine è molto vago in proposito, ma io credo che $H^1$ sia lo spazio giusto.
3. Ha un minimo senso matematico e fisico il mio discorso sulla particella libera? Se la cosa è completamente campata in aria che significato ha dire che l'azione di un elemento dello spazio di bra su uno dello spazio di ket è una misura?

Beh a questo punto, anche se non mi doveste rispondere, vi ringrazio comunque perché arrivare a leggere fino qui certo non era facile!

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(*) So che i braket con i <,> fanno un po' senso, ma le {l,r}angle di mathml proprio non mi piacciono!

[wedge]

mi sa che è un corso con più senso matematico che fisico

"david_e":
pongo $J: \phi_i \mapsto \int \bar{\phi_i} \cdot $ (notare qui il punto semi-invisibile che sta a significare il posto in cui mettere l'elemento su cui agisce il funzionale).

questa è una eguaglianza un po' pericolosa a cui pensare, però se la particella ha solo una parte spaziale è ovviamente ok.

1. Il significato esatto dei braket: sono collegati, come credo di aver capito io, al simbolo di dualità con in più una mappa di Riesz $J: | f > \mapsto < f |$.

banalmente: il bra è il funzionale duale del vettore ket. il teorema di Riesz assicura che per ogni ket ci sia un bra.
per mappa di Riesz intendi la mappa che instaura il collegamento 1-1 tra lo spazio di Hilbert e il suo duale?

2. L'equazione di Schroedinger in che spazio si ambienta alla fine? Il Ballentine è molto vago in proposito, ma io credo che $H^1$ sia lo spazio giusto.

se è giusto dire che H^1 è lo spazio delle funzioni L^2 per cui la derivata è ancora L^2, allora sì, le soluzioni dell'equazione hanno palesemente tale proprietà, anche in presenza di potenziali a delta e carognate simili.

(questo sempre quando non ci siano gradi di libertà non spaziali! altrimenti lo spazio può essere moltiplicato con un prodotto tensore per qualcos'altro, ad esempio C^2)

sul discorso della particella libera rifletto domani. ora come ora non ho ben capito cosa intendi.

[david_e1]

Grazie per la risposta!

Si $H^1$ intendo proprio lo spazio di Sobolev delle funzioni $L^2$ con derivata in $L^2$.

Sui bra e ket hai confermato quello che pensavo: lo spazio bra e' il duale e, quindi, c'e' di mezzo la mappa di Riesz che e' quella che identifica i ket con i bra.

Sulla particella libera, lasciando per un momento da parte il discorso dell'evoluzione temporale, succede il "disastro", nel senso che chiaramente la funzione d'onda stazionaria non appartiene allo spazio di Hilbert, ma finisce fuori, nello spazio delle distribuzioni temperate. Li la mappa che mi manda il ket nel bra non posso costruirla, se non usando la densita' di tutti quegli spazi l'uno dentro nell'altro. Sinceramente io non so' se questo discorso stia in piedi matematicamente: qualche cosa con la densita' si fa con le terne, ma li sono comunque tutti Hilbert...

Se la cosa si potesse fare allora dovrebbe risultare che, data la funzione d'onda $|\phi_p>$ il suo bra dovrebbe essere tale per cui:

$ < \phi_p | f > = \hat{f}(p) $

essendo $\hat{f}$ la trasformata di Fourier di $f$. Poi, ovviamente:

$ | f > = \int \hat{f}(p) | \phi_p > dp $

e questo dovrebbe venire fuori teoricamente senza fare uso della normalizzazione a delta...

Alla fine il motivo per cui mi sono inventato tutto questo giro e' questo: come ci hanno fatto vedere a lezione si normalizzano le $\phi$ viene:

$<\phi_s | \phi_r > = \delta(s-r)$

dove $\delta$ e' la delta di Dirach. Ora per quanto mi sforzi l'azione di un funzionale lineare e continuo (perche' le bra sono continue) su un vettore non puo' che essere un numero. Qui viene infinito per $s=r$ e zero altrove. O meglio viene una misura... Sinceramente questa cosa proprio non mi convince.

Non lo so magari c'e' un modo per giustificare teoricamente o comunque dare una idea della giustificazione senza addentrarsi in questioni di analisi funzionale. Non so da me a lezione la soluzione al problema e' stata piu' o meno buttata li senza troppo preoccuparsi del significato matematico-fisico della cosa, per questo che continuo a pensarci. Magari se qualcuno ha un link a una spiegazione un po' piu' comprensibile...

[Eredir]

Come detto da wedge lo spazio in cui si sviluppa la meccanica quantistica è uno spazio di Hilbert complesso e separabile, quindi per il teorema di rappresentazione di Riesz c'è un anti-isomorfismo tra ket e bra.

Come giustamente affermavi nel caso continuo si utilizzano ket non normalizzabili, ad esempio quelli che rappresentano gli stati di particella libera, e per tenerne conto in maniera rigorosa bisognerebbe considerare qualche struttura più complessa come uno spazio di Hilbert allargato.

Ad occhio mettere una normalizzazione come quella da te proposta non permette di avere una somiglianza formale tra il caso continuo e quello discreto. D'altra parte considerare lo spettro continuo è fondamentalmente una questione di comodo, poichè le misure hanno sempre una precisione finita e permettono di considerare ovviamente solo valori discreti.

In ogni caso sono questioni abbastanza delicate, in un corso di meccanica quantistica a fisica (almeno il mio) non c'è troppo tempo per affrontare per bene questi aspetti matematici. Personalmente spero di poter colmare un po' di queste lacune negli anni a venire.

[david_e1]

"Eredir":Come detto da wedge lo spazio in cui si sviluppa la meccanica quantistica è uno spazio di Hilbert complesso e separabile, quindi per il teorema di rappresentazione di Riesz c'è un anti-isomorfismo tra ket e bra.

Alt! Cosa intendi per anti-isomorfismo? La mappa di Riesz non e' un isomorfismo isometrico?

"Eredir":Come giustamente affermavi nel caso continuo si utilizzano ket non normalizzabili, ad esempio quelli che rappresentano gli stati di particella libera, e per tenerne conto in maniera rigorosa bisognerebbe considerare qualche struttura più complessa come uno spazio di Hilbert allargato.

Ad occhio mettere una normalizzazione come quella da te proposta non permette di avere una somiglianza formale tra il caso continuo e quello discreto. D'altra parte considerare lo spettro continuo è fondamentalmente una questione di comodo, poichè le misure hanno sempre una precisione finita e permettono di considerare ovviamente solo valori discreti.

Si infatti ho allargato l'Hilbert andando a prendere le distribuzioni temperate, come suggerisce il Ballentine. Peccato che ovviamente non so andare avanti. Intuitivamente dovrebbe venire piu' o meno come con la normalizzazione a $\delta$, con la trasformata di Fourier che prende il posto della serie nel caso continuo.

Comunque, da quello che ho capito, lo spettro continuo e' importante teoricamente, perche' se lo escludi, perdi la garanzia che gli operatori Hermitiani ammettano degli autostati... il teorema spettrale funziona solo sugli Hermitiani compatti, oppure sullo spazio espanso.

"Eredir":In ogni caso sono questioni abbastanza delicate, in un corso di meccanica quantistica a fisica (almeno il mio) non c'è troppo tempo per affrontare per bene questi aspetti matematici. Personalmente spero di poter colmare un po' di queste lacune negli anni a venire.

Per strani motivi di piani di studi questa e' di fatto la seconda volta che faccio un corso di MQ, ma ovviamente il livello e' sicuramente piu' basso che da voi, quindi ne sto approfittando per approfondire proprio questi aspetti di carattere formale. Non ho certo la pretesa di diventare un "esperto" di MQ, ma vorrei capire bene su quali concetti matematici si fonda la MQ, poi posso tranquillamente trascurare di fare in dettaglio il seguito (per lo meno per ora), dato che, comunque, all'esame mi saranno richiesti solo conti elementari (alla peggio la barriera rettangolare fatta con tutti i conti...).

[Eredir]

"david_e":Alt! Cosa intendi per anti-isomorfismo? La mappa di Riesz non e' un isomorfismo isometrico?

Questo se lo spazio di Hilbert è reale, nel caso complesso c'è di mezzo un'operazione di coniugazione.
Mi riferisco a quanto scritto qui.

[david_e1]

"Eredir":[quote="david_e"]Alt! Cosa intendi per anti-isomorfismo? La mappa di Riesz non e' un isomorfismo isometrico?

Questo se lo spazio di Hilbert è reale, nel caso complesso c'è di mezzo un'operazione di coniugazione.
Mi riferisco a quanto scritto qui.[/quote]
Ah ok. Sapevo che c'era la coniugazione, ma non pensavo si dicesse anti-isomorfismo...

Grazie 1000!

[wedge]

ti hanno detto in che caso occorre utilizzare questa normalizzazione a delta (di DIRAC, ti prego )? forse sbaglio, ma penso nasca più da una necessità matematica che da una fisica.
per il mio modo di vedere le cose non è un grande problema che le onde piane non siano normalizzabili, tra le altre cose in nature le onde piane non esistono proprio, quindi le vedo bene "fuori" dallo spazio di Hilbert delle funzioni d'onda.
tante volte per ovviare al problema della normalizzazione delle onde piane si utilizza un modello ad anello chiuso (che trovi su diversi libri, come Sakurai o "Fisica Teorica" di Onofri-Destri, per dimostrare che il momento è generatore delle traslazioni) con la circonferenza L tanto grande da non avere effetti locali. così le onde piane sono normalizzate, ma poi non vale più la relazione di indeterminazione di Heisenberg: fissato lo stato di momento l'incertezza sulla posizione non può essere superiore ad L.
come sempre la bestia che cacci dalla porta ti rientra dalla finestra.

"Eredir":In ogni caso sono questioni abbastanza delicate, in un corso di meccanica quantistica a fisica (almeno il mio) non c'è troppo tempo per affrontare per bene questi aspetti matematici. Personalmente spero di poter colmare un po' di queste lacune negli anni a venire.

credo sia normale, e giusto aggiungo. il primo corso deve avere secondo me lo scopo di far passare bene il senso fisico delle cose, poi al secondo semestre o al primo della specialistica c'è il corso formale. credo sia così anche da voi. chi fa teorica poi ha di che divertirsi per una vita su queste cose.
noi ad esempio non abbiamo mai introdotto lo spazio di Sobolev H^1, e quando c'è da scrivere lo spazio di Hilbert di una particella con spin abbiamo sempre scritto $L^2 \otimes C^2$, benchè si sa che la parte spaziale non vive esattamente in L^2 e quella intrinseca non esattamente in C^2, ma alla fine sono finezze matematiche non vitali, imho.

[Eredir]

"wedge":credo sia normale, e giusto aggiungo. il primo corso deve avere secondo me lo scopo di far passare bene il senso fisico delle cose, poi al secondo semestre o al primo della specialistica c'è il corso formale. credo sia così anche da voi. chi fa teorica poi ha di che divertirsi per una vita su queste cose.
noi ad esempio non abbiamo mai introdotto lo spazio di Sobolev H^1, e quando c'è da scrivere lo spazio di Hilbert di una particella con spin abbiamo sempre scritto $L^2 \otimes C^2$, benchè si sa che la parte spaziale non vive esattamente in L^2 e quella intrinseca non esattamente in C^2, ma alla fine sono finezze matematiche non vitali, imho.

Chiaramente sono d'accordo che in un corso iniziale sia più importante far cogliere l'aspetto fisico che quello matematico.
La mia preoccupazione è che non vedo molti corsi a venire che potranno solidificare le fondamenta di quello che ho studiato, più che altro aggiungeranno, come è giusto che sia, altre nozioni ma dubito che torneranno troppo su queste questioni.
Quindi a meno di andarsi a cercare il particolare corso a scelta della specialistica temo che questi argomenti rimarranno sempre un po' incerti.
Se vuoi dare un'occhiata qui c'è l'elenco dei vari corsi disponibili per la specialistica.

[Thomas16]

ho letto un pò delle vostre discussioni sopra...

Sinceramente credo che ci siano più modi per "sistemare" matematicamente queste questioni di MQ... o tramite spazi di Hilbert allargati (questi sconosciuti ), oppure decomponendo i vari operatori autoaggiunti con il teorema spettrale e lavorare quindi con proiettori più che con vettori dello spazio

http://mathworld.wolfram.com/SpectralTheorem.html

alla fine però, per come la vedo, le relazioni che vengono poi a scriversi molte volte hanno un significato solo formale, nel senso che acquistano validità solo una volta integrate... in questo senso mi riferisco alla questione 3) di david_e...

ad esempio per cosa può servire quella normalizzazioni per gli autostati dell'energia?

prendiamo l'espressione

$\int |p>
dove l'integrale in genere ha valore formale se visto come autostato improprio, ma acquistà valore matematico se visto come proiettore...

supponiamo ad esempio di voler calcolare $$... si ha:

$v=\int |p>dp$

$w=\int |p'>dp'$

$ =\int \int dpdp'=\int \bar()dp$

dove tutte le espressioni contenenti autostati impropri compaiono solo come integrali...

in quanto alla questione 2) di interpretare un ket come vettore ed un bra come elemento del duale (nel caso di vettori dello spazio di Hilbert), non è che ne veda un bisogno pratico... perchè guardare il prodotto scalare in dualità quando vi è un bel prodotto scalare interno allo spazio di Hilbert che permette di interpretare entrambi come vettori? sarò banalotto ma sinceramente al momento non ne vedo il bisogno...



scusate se sono intervenuto, quando probabilmente ho le idee molte meno chiare delle vostre...

[david_e1]

@ Thomas

Ti ringrazio per essere intervenuto.

Purtroppo conosco molto poco la teoria degli spazi di Hilbert allargati.

Credo di aver capito il tuo discorso sull'uso formale degli autostati come proiettori, comunque per rendere il discorso rigoroso, dato un $|p>$ sarebbe necessario dire che oggetto sia $
Proprio per questo interpreto i braket come dualità, perché nella terna Hilbertiana su cui si lavora l'identificazione naturale è quella di $L^2$ col duale, mentre lo spazio di ket è $H^1$, per cui non si può usare il prodotto scalare dello spazio di ket, a meno di non scrivere esplicitamente la mappa di Riesz. Altrimenti lavorando in dualità l'identificazione "praticamente è l'identità" rendendo più semplici le cose. Credo che la cosa sia poi la strada per lavorare negli spazi allargati, ma qui le mie conoscenze matematiche sono estremamente lacunose. Anzi direi che sono quasi nulle!

[Thomas16]

"david_e":@ Thomas

Ti ringrazio per essere intervenuto.

Purtroppo conosco molto poco la teoria degli spazi di Hilbert allargati.

Credo di aver capito il tuo discorso sull'uso formale degli autostati come proiettori, comunque per rendere il discorso rigoroso, dato un $|p>$ sarebbe necessario dire che oggetto sia $

in realtà anche io ne so poco... scrivevo solo per informare di questo che mi sembrava un altro modo per rendere rigorosa la teoria, alternativo a spazi di hilbert allargati... purtoppo non so come prosegua la faccenda...

cmq se si interpreta come proiettori si l'oggetto è solo formale, ma non è che non abbia senso matematico...

$\int |p>dp
sarà interpretabile, credo, come proiettori in questo senso:

$\int dE(lambda)=id$

come si scriva esplicitamente la misura spettrale in funzione degli autovettori impropri e vedere se le cose tornano della particella libera potrebbe essere una cosa da provare a fare... (io non ne ho il tempo ma non so se ne sono capace)...

però poi nel fare i calcoli la prima forma è più chiara, in quanto dice chiaramente che cosa fare... mentre la seconda non esplicita la misura sullo spazio di integrazione...

"david_e":
Proprio per questo interpreto i braket come dualità, perché nella terna Hilbertiana su cui si lavora l'identificazione naturale è quella di $L^2$ col duale, mentre lo spazio di ket è $H^1$, per cui non si può usare il prodotto scalare dello spazio di ket, a meno di non scrivere esplicitamente la mappa di Riesz. Altrimenti lavorando in dualità l'identificazione "praticamente è l'identità" rendendo più semplici le cose. Credo che la cosa sia poi la strada per lavorare negli spazi allargati, ma qui le mie conoscenze matematiche sono estremamente lacunose. Anzi direi che sono quasi nulle!

posso chiederti perchè parli di "terna hilbertiana" ed in che senso ne parli?

e perchè dici che lo spazio dei ket è $H^1$, $L^2$ non và bene?... continuo a non capire perchè non và bene vedere sia i bra che i ket come elementi di L^2 (quando siamo sicuri che contengano elementi di L^2 certo)...

[david_e1]

Si in effetti usando questa idea del proiettore basta richiedere che $$ sia una misura. Quindi la normalizzazione a $\delta$ di Dirach ha senso. Fisicamente questo corrisponde ad affermare che la particella libera la vediamo sempre e comunque come un pacchetto d'onda, sempre $L^2$.

Lo spazio $L^2$ mi sembra che non vada bene per lo spazio di ket perché l'Hamiltoniano non è definibile su $L^2$. Nemmeno in senso variazionale. L'unica sarebbe vedere $L^2$ come spazio di distribuzioni, ma a quel punto lo spazio di bra non può più essere $L^2$, visto che non ha senso far agire una distribuzione su una classe di funzioni in $L^2$. (per quanto ne sappia io ovviamente).

La cosa più semplice mi sembra mettersi in $H^1$...

*** EDIT ***
Quanto parlo di terna Hilbertiana intendo riferirmi allo spazio $H^1$, denso in $L^2$. Poi uso la mappa di Riesz per identificare la dualità fra $H^1$ e $(H^1)'$ con il prodotto scalare in $L^2$:

http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

[Thomas16]

ah ok... in effetti hai ragione che non si può definire l'hamiltoniano su tutto L^2... però mi chiedo se questo è davvero necessario... alla fine basta che sia un operatore autoaggiunto, no? e mica è necessario che un operatore autoaggiunto sia definito su tutto lo spazio, basta un sottospazio vettoriale... (un dominio di autoaggiunzione per l'appunto)....

nel primo tuo post mi sà che c'è una formula da cambiare (quella della terna hilbertiana) dove volevi mettere un segno di isomorfismo (credo) è uscito fuori uno spazio un pò balzano....

[david_e1]

"Thomas":ah ok... in effetti hai ragione che non si può definire l'hamiltoniano su tutto L^2... però mi chiedo se questo è davvero necessario... alla fine basta che sia un operatore autoaggiunto, no? e mica è necessario che un operatore autoaggiunto sia definito su tutto lo spazio, basta un sottospazio vettoriale... (un dominio di autoaggiunzione per l'appunto)....

nel primo tuo post mi sà che c'è una formula da cambiare (quella della terna hilbertiana) dove volevi mettere un segno di isomorfismo (credo) è uscito fuori uno spazio un pò balzano....

L'equazione variazionale è ambientata naturalmente in $H^1$ perché l'Hamiltoniano è definito solo su $H^1$ e perché lo spazio delle funzioni test deve essere $H^1$. Quindi comunque l'equazione deve essere intesa come equivalenza di funzionali rispetto alla classe di equivalenza data dalle funzioni test di $H^1$. Mi sembra, quindi, che la struttura di $H^1$ sia necessaria. Ovviamente poi uno può vedere $H^1$ come sottospazio di $L^2$...

Sull'errore nel primo post sinceramente non lo trovo... purtroppo il mathml non si vede uguale su tutti i browser/sistemi operativi, può essere benissimo che un simbolo che io vedo benissimo non compaia da te o viceversa. Io uso Firefox sotto Linux e il simbolo di isomorfismo "$\sim$" lo vedo...