QM... inizi sullo spin
scusate la domanda stupida, ma ho poco tempo per studiare troppe cose al momento... uff... 
...
vi volevo chiedere... se avete presente l'operatore di rotazione dello spin definito da:
$cos(\alpha/2)-i \sigma*\ro*sen(\alpha/2)$
con $\ro$ un versore e $\sigma=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ (il vettore delle matrici di Pauli)...
mi sapete dire a che serve?
inizialmente pensavo che se gli davo un autovettore per l'operatore
$\sigma*n==\sigma_x*n_1+\sigma_y*n_2+\sigma_zn_3$ (n versore reale), mi avrebbe restituito un autovettore per $\sigma*m$ (come sopra), dove $m$ sarebbe stato il versore ottenuto ruotando $n$ attorno a $\ro$ di un angolo $alpha$....
questo mi pare però non sia vero (la relazione tra $m$ ed $n$ non è la rotazione)...
pensavo anche che se avessi ruotato il sistema avrei dovuto "ruotare" i vettori dello spazio di Hilbert con quell'operatore...
ora però mi pare di capire che se ho un sistema che è in un autostato di spin lungo z, se ruoto in modo da spostare l'asse z con l'asse x per esempio e provo ad applicare l'operatore sopra allo spazio di hilbert, alla fine non ottengo un sistema che è autostato di spin lungo l'asse x...
cioè sembra che lo spin non "segua" la rotazione... ci sono tanti punti che possono essere sbagliati nei ragionamenti/congetture sopra... sareste in grado di fare ordine?
...vi volevo chiedere... se avete presente l'operatore di rotazione dello spin definito da:
$cos(\alpha/2)-i \sigma*\ro*sen(\alpha/2)$
con $\ro$ un versore e $\sigma=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ (il vettore delle matrici di Pauli)...
mi sapete dire a che serve?
inizialmente pensavo che se gli davo un autovettore per l'operatore
$\sigma*n==\sigma_x*n_1+\sigma_y*n_2+\sigma_zn_3$ (n versore reale), mi avrebbe restituito un autovettore per $\sigma*m$ (come sopra), dove $m$ sarebbe stato il versore ottenuto ruotando $n$ attorno a $\ro$ di un angolo $alpha$....
questo mi pare però non sia vero (la relazione tra $m$ ed $n$ non è la rotazione)...
pensavo anche che se avessi ruotato il sistema avrei dovuto "ruotare" i vettori dello spazio di Hilbert con quell'operatore...
ora però mi pare di capire che se ho un sistema che è in un autostato di spin lungo z, se ruoto in modo da spostare l'asse z con l'asse x per esempio e provo ad applicare l'operatore sopra allo spazio di hilbert, alla fine non ottengo un sistema che è autostato di spin lungo l'asse x...
cioè sembra che lo spin non "segua" la rotazione... ci sono tanti punti che possono essere sbagliati nei ragionamenti/congetture sopra... sareste in grado di fare ordine?
Risposte
"Thomas":
@Eredir: così ad occhio mi sembrava evidente... doma ci guardo un attimo e vedo se trovo l'esempio nomerico (alla fine sono quelli incontestabili)... cmq tieni conto anche dell'altra osservazione, ovvero che i vettori del tipo $|a>|b>$ non sono tutti gli elementi dello spazio tensore...
Probabilmente avrai ragione. Purtroppo queste cose nel corso che ho seguito sono state trattate veramente di fretta, quindi anche la tua seconda osservazione mi rimane oscura. Se hai tempo mi farebbe piacere vedere anche un esempio di questa.
Ciao, a presto.
scusa ma sono veramente occupatissimo....
per la questione della normalizzazione mi limito a dire che se prendi un qualsiasi vettore decomponibile dello spazio tensore vale che
$(av) X w= a (v X w)= v X (aw)$
la $X$ vuole essere il simbolo di prodotto tensore...
e quindi se prendi un qualsiasi vettore $|a>|b>$ con a e b non ancora normalizzati e lo normalizzi, puoi sempre spostare la costante di normalizzazione su una sola componente...
per quanto riguarda il fatto che i vettori decomponibili non sono tutti ti indico questo sito:
http://planetmath.org/encyclopedia/Entangled.html
fammi sapere... ciao!
per la questione della normalizzazione mi limito a dire che se prendi un qualsiasi vettore decomponibile dello spazio tensore vale che
$(av) X w= a (v X w)= v X (aw)$
la $X$ vuole essere il simbolo di prodotto tensore...
e quindi se prendi un qualsiasi vettore $|a>|b>$ con a e b non ancora normalizzati e lo normalizzi, puoi sempre spostare la costante di normalizzazione su una sola componente...
per quanto riguarda il fatto che i vettori decomponibili non sono tutti ti indico questo sito:
http://planetmath.org/encyclopedia/Entangled.html
fammi sapere... ciao!
"Thomas":
per la questione della normalizzazione mi limito a dire che se prendi un qualsiasi vettore decomponibile dello spazio tensore vale che
$(av) X w= a (v X w)= v X (aw)$
la $X$ vuole essere il simbolo di prodotto tensore...
e quindi se prendi un qualsiasi vettore $|a>|b>$ con a e b non ancora normalizzati e lo normalizzi, puoi sempre spostare la costante di normalizzazione su una sola componente...
Ho capito quello che intendi, forse mi sono espresso male io.
Quello che volevo dire era che, considerando due basi ortonormali di due spazi vettoriali, anche la base formata dal prodotto tensore di questi vettori sarà ortonormale, proprio in virtù della definizione di prodotto scalare nello spazio prodotto tensore.
Comunque direi che ci siamo capiti.
"Thomas":
per quanto riguarda il fatto che i vettori decomponibili non sono tutti ti indico questo sito:
http://planetmath.org/encyclopedia/Entangled.html
Grazie, ci darò un'occhiata.
Alla prossima!
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