QM esercizio esame
ciao ragazzi,
ieri ho "fatto" l'esame di QM e...mi sa che lo dovrò rifare fra 2 settimane
vi scrivo un problema che mi ha creato della difficoltà...
PROBLEMA:
Una particella di spin 1/2 si trova nello stato $|psi> =1/(sqrt2)[|+>+|- >]$ dove |+> e |-> sono gli autostati di $sigma_z$ con autovalori rispettivamente +1 e -1, trovare il valore medio dell'operatore $hatO=isigma_xsigma_ysigma_x$ risolvendo il problema in maniera astratta.
allora:
ho risolto il problema in modo esplicito usando le matrici di Pauli e non è stato difficile vedere che il valor medio è 0.
però risolvere il problema in modo astratto è stato un problema...su indicazioni del prof bisognerebbe utilizzare le proprietà di commutazione e i nuovi operatori $sigma_+$ , $sigma_-$ analoghi ai rispettivi per il momento angolare...
se qualcuno vuole provare a risolverlo mi farebbe piacere
grazie
ieri ho "fatto" l'esame di QM e...mi sa che lo dovrò rifare fra 2 settimane
vi scrivo un problema che mi ha creato della difficoltà...
PROBLEMA:
Una particella di spin 1/2 si trova nello stato $|psi> =1/(sqrt2)[|+>+|- >]$ dove |+> e |-> sono gli autostati di $sigma_z$ con autovalori rispettivamente +1 e -1, trovare il valore medio dell'operatore $hatO=isigma_xsigma_ysigma_x$ risolvendo il problema in maniera astratta.
allora:
ho risolto il problema in modo esplicito usando le matrici di Pauli e non è stato difficile vedere che il valor medio è 0.
però risolvere il problema in modo astratto è stato un problema...su indicazioni del prof bisognerebbe utilizzare le proprietà di commutazione e i nuovi operatori $sigma_+$ , $sigma_-$ analoghi ai rispettivi per il momento angolare...
se qualcuno vuole provare a risolverlo mi farebbe piacere
grazie
Risposte
Parto dalle relazioni $S^2=h^2/4\sigma^2$ e $S_z = h/2\sigma_z$.
Da queste calcolo:
$\sigma^2|1/2,s_z\rangle = 4/{h^2}S^2|1/2,s_z\rangle = 4/{h^2}3/4h^2=3$
$\sigma_z|1/2,s_z\rangle = 2/hS_z|1/2,s_z\rangle = 2/hs_zh = 2s_z$
Considero le relazioni di commutazione $[\sigma_i,\sigma_j] = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_k$.
Definisco $\sigma_{+-} = \sigma_x+-i\sigma_y$, da cui ricavo $\sigma_x = {\sigma_{+}+\sigma_{-}}/2$ e $\sigma_y = {\sigma_{+}-\sigma_{-}}/{2i}$.
Calcolo il commutatore:
$[\sigma_z,\sigma_{+-}] = [\sigma_z,\sigma_x]+-i[\sigma_z,\sigma_y] = 2i\sigma_y+-i(-2i\sigma_x) = 2i\sigma_y+-2\sigma_x = +-2\sigma_{+-}$
Verifico che $\sigma_{+-}$ è ancora autovettore di $\sigma_z$:
$\sigma_z\sigma_{+-}|s,s_z\rangle = [\sigma_z,\sigma_{+-}]|s,s_z\rangle + \sigma_{+-}\sigma_z|s,s_z\rangle = +-2\sigma_{+-}|s,s_z\rangle +2s_z\sigma_{+-}|s,s_z\rangle = 2(s_z+-1)\sigma_{+-}|s,s_z\rangle$
Allora $\sigma_{+}|s,s_z\rangle = a|s,s_z+1\rangle$ e $\sigma_{-}|s,s_z\rangle = b|s,s_z-1\rangle$.
Calcolo $\sigma_{+}\sigma_{-}$ e $\sigma_{-}\sigma_{+}$:
$\sigma_{+}\sigma_{-} = (\sigma_x+i\sigma_y)(\sigma_x-i\sigma_y) = \sigma_x^2 - i\sigma_x\sigma_y + i\sigma_y\sigma_x + \sigma_y^2 = \sigma^2 - \sigma_z^2 -i[\sigma_x,\sigma_y] = \sigma^2 - \sigma_z^2 + 2\sigma_z$
$\sigma_{-}\sigma_{+} = (\sigma_x-i\sigma_y)(\sigma_x+i\sigma_y) = \sigma_x^2 + i\sigma_x\sigma_y - i\sigma_y\sigma_x + \sigma_y^2 = \sigma^2 - \sigma_z^2 +i[\sigma_x,\sigma_y] = \sigma^2 - \sigma_z^2 - 2\sigma_z$
Calcolo quindi le costanti $a$ e $b$, scegliendole per convenzione reali e positive:
$|a|^2 = \langle1/2,s_z|\sigma_{-}\sigma_{+}|1/2,s_z\rangle = \langle1/2,s_z|(\sigma^2 - \sigma_z^2 - 2\sigma_z)|1/2,s_z\rangle = 3-1-4s_z => a = \sqrt(2-4s_z)$
$|b|^2 = \langle1/2,s_z|\sigma_{+}\sigma_{-}|1/2,s_z\rangle = \langle1/2,s_z|(\sigma^2 + \sigma_z^2 - 2\sigma_z)|1/2,s_z\rangle = 3-1+4s_z => b = \sqrt(2+4s_z)$
A questo punto si può fare il conto usando $\sigma_+$ e $\sigma_-$.
Da queste calcolo:
$\sigma^2|1/2,s_z\rangle = 4/{h^2}S^2|1/2,s_z\rangle = 4/{h^2}3/4h^2=3$
$\sigma_z|1/2,s_z\rangle = 2/hS_z|1/2,s_z\rangle = 2/hs_zh = 2s_z$
Considero le relazioni di commutazione $[\sigma_i,\sigma_j] = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_k$.
Definisco $\sigma_{+-} = \sigma_x+-i\sigma_y$, da cui ricavo $\sigma_x = {\sigma_{+}+\sigma_{-}}/2$ e $\sigma_y = {\sigma_{+}-\sigma_{-}}/{2i}$.
Calcolo il commutatore:
$[\sigma_z,\sigma_{+-}] = [\sigma_z,\sigma_x]+-i[\sigma_z,\sigma_y] = 2i\sigma_y+-i(-2i\sigma_x) = 2i\sigma_y+-2\sigma_x = +-2\sigma_{+-}$
Verifico che $\sigma_{+-}$ è ancora autovettore di $\sigma_z$:
$\sigma_z\sigma_{+-}|s,s_z\rangle = [\sigma_z,\sigma_{+-}]|s,s_z\rangle + \sigma_{+-}\sigma_z|s,s_z\rangle = +-2\sigma_{+-}|s,s_z\rangle +2s_z\sigma_{+-}|s,s_z\rangle = 2(s_z+-1)\sigma_{+-}|s,s_z\rangle$
Allora $\sigma_{+}|s,s_z\rangle = a|s,s_z+1\rangle$ e $\sigma_{-}|s,s_z\rangle = b|s,s_z-1\rangle$.
Calcolo $\sigma_{+}\sigma_{-}$ e $\sigma_{-}\sigma_{+}$:
$\sigma_{+}\sigma_{-} = (\sigma_x+i\sigma_y)(\sigma_x-i\sigma_y) = \sigma_x^2 - i\sigma_x\sigma_y + i\sigma_y\sigma_x + \sigma_y^2 = \sigma^2 - \sigma_z^2 -i[\sigma_x,\sigma_y] = \sigma^2 - \sigma_z^2 + 2\sigma_z$
$\sigma_{-}\sigma_{+} = (\sigma_x-i\sigma_y)(\sigma_x+i\sigma_y) = \sigma_x^2 + i\sigma_x\sigma_y - i\sigma_y\sigma_x + \sigma_y^2 = \sigma^2 - \sigma_z^2 +i[\sigma_x,\sigma_y] = \sigma^2 - \sigma_z^2 - 2\sigma_z$
Calcolo quindi le costanti $a$ e $b$, scegliendole per convenzione reali e positive:
$|a|^2 = \langle1/2,s_z|\sigma_{-}\sigma_{+}|1/2,s_z\rangle = \langle1/2,s_z|(\sigma^2 - \sigma_z^2 - 2\sigma_z)|1/2,s_z\rangle = 3-1-4s_z => a = \sqrt(2-4s_z)$
$|b|^2 = \langle1/2,s_z|\sigma_{+}\sigma_{-}|1/2,s_z\rangle = \langle1/2,s_z|(\sigma^2 + \sigma_z^2 - 2\sigma_z)|1/2,s_z\rangle = 3-1+4s_z => b = \sqrt(2+4s_z)$
A questo punto si può fare il conto usando $\sigma_+$ e $\sigma_-$.
grazie Eredir!!
per fortuna si può sempre contare su di te
ho capito i calcoli che hai fatto, ora proverò a vedere se mi viene giusto anche con il procedimento astratto
per fortuna si può sempre contare su di te
ho capito i calcoli che hai fatto, ora proverò a vedere se mi viene giusto anche con il procedimento astratto
Poi fammi sapere se torna oppure c'è qualche errore. 
ho provato risolvere questo problema dopo il tuo imput, ma non so perchè non riesco ad uscirne ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
eppure è un problema d'esame...non dovrebbe essere difficilissimo...
-prima ho provato a sostituire direttamente i $sigma_+$ e i $sigma_-$ ma i conti venivano troppo lunghi...
-poi ho provato a manipolare un po' quell'operatore usando la formula di commutazione...cercando di ottenere qualche $sigma_z$ visto che lavoro con i suoi autovettori
e infine mi sono reso conto che non solo non riuscivo ad ottenere nulla...ma che più continuavo più ero tentato a fare delle operazioni che non si possono fare per far venire il risultato...
eppure è un problema d'esame...non dovrebbe essere difficilissimo...
-prima ho provato a sostituire direttamente i $sigma_+$ e i $sigma_-$ ma i conti venivano troppo lunghi...
-poi ho provato a manipolare un po' quell'operatore usando la formula di commutazione...cercando di ottenere qualche $sigma_z$ visto che lavoro con i suoi autovettori
e infine mi sono reso conto che non solo non riuscivo ad ottenere nulla...ma che più continuavo più ero tentato a fare delle operazioni che non si possono fare
per far venire il risultato...
Voglio semplificare $\sigma_x\sigma_y\sigma_x = 1/{8i}(\sigma_{+}+\sigma_{-})(\sigma_{+}-\sigma_{-})(\sigma_{+}+\sigma_{-})$.
Calcolo $[\sigma_+,\sigma_-] = -i[\sigma_x,\sigma_y] + i[\sigma_y,\sigma_x] = -2i[\sigma_x,\sigma_y] = 4\sigma_z$.
Considero gli ultimi due fattori:
$(\sigma_{+}-\sigma_{-})(\sigma_{+}+\sigma_{-}) = \sigma_{+}^2 - \sigma_{-}\sigma_{+} + \sigma_{+}\sigma_{-} - \sigma_{-}^2 = \sigma_{+}^2 - \sigma_{-}^2 + [\sigma_+,\sigma_-] = \sigma_{+}^2 - \sigma_{-}^2 + 4\sigma_z$
Noto poi che $\sigma_{+-}^2$$|+-\rangle=0$, poichè il sistema è a due stati. Allora ottengo $(\sigma_{+}-\sigma_{-})(\sigma_{+}+\sigma_{-}) = 4\sigma_z$.
Il risultato è $\sigma_x\sigma_y\sigma_x = 1/{2i}(\sigma_{+}+\sigma_{-})\sigma_z$, un'espressione non così spaventosa.
Calcolo $[\sigma_+,\sigma_-] = -i[\sigma_x,\sigma_y] + i[\sigma_y,\sigma_x] = -2i[\sigma_x,\sigma_y] = 4\sigma_z$.
Considero gli ultimi due fattori:
$(\sigma_{+}-\sigma_{-})(\sigma_{+}+\sigma_{-}) = \sigma_{+}^2 - \sigma_{-}\sigma_{+} + \sigma_{+}\sigma_{-} - \sigma_{-}^2 = \sigma_{+}^2 - \sigma_{-}^2 + [\sigma_+,\sigma_-] = \sigma_{+}^2 - \sigma_{-}^2 + 4\sigma_z$
Noto poi che $\sigma_{+-}^2$$|+-\rangle=0$, poichè il sistema è a due stati. Allora ottengo $(\sigma_{+}-\sigma_{-})(\sigma_{+}+\sigma_{-}) = 4\sigma_z$.
Il risultato è $\sigma_x\sigma_y\sigma_x = 1/{2i}(\sigma_{+}+\sigma_{-})\sigma_z$, un'espressione non così spaventosa.
e in effetti così non è per nulla spaventosa...
grazie ancora per l'aiuto...
adesso sono riuscito finalmente a risolverlo.
inoltre ho scoperto che non avevo ben chiaro in mente come agivano questi operatori $sigma_{+-}$ e per questo facevo confusione...
in pratica:
$sigma_{+-} |+-> =0$
$sigma_{+-} |-+> = 2 |+->$
dove ritrovo come coefficienti il 2 e lo 0 che ottengo anche da quegli a e b delle formule che hai scritto tu. Giusto??
a questo punto approfitto della tua disponibilità per chiederti un ultima cosa:
perchè per trovare a e b hai fatto come un valor medio dell' operatore $sigma_{+-}sigma_{-+}$ ??
ti ringrazio ancora
grazie ancora per l'aiuto...
adesso sono riuscito finalmente a risolverlo.
inoltre ho scoperto che non avevo ben chiaro in mente come agivano questi operatori $sigma_{+-}$ e per questo facevo confusione...
in pratica:
$sigma_{+-} |+-> =0$
$sigma_{+-} |-+> = 2 |+->$
dove ritrovo come coefficienti il 2 e lo 0 che ottengo anche da quegli a e b delle formule che hai scritto tu. Giusto??
a questo punto approfitto della tua disponibilità per chiederti un ultima cosa:
perchè per trovare a e b hai fatto come un valor medio dell' operatore $sigma_{+-}sigma_{-+}$ ??
ti ringrazio ancora
"Cantaro86":
inoltre ho scoperto che non avevo ben chiaro in mente come agivano questi operatori $sigma_{+-}$ e per questo facevo confusione...
in pratica:
$sigma_{+-} |+-> =0$
$sigma_{+-} |-+> = 2 |+->$
Non è proprio esatto. Devi considerare che l'effetto pratico di questi operatori è quello di alzare e di abbassare la componente $s_z$ dello spin. Se alzi $|-\rangle$ ti ritrovi, a meno di un coefficiente, $|+\rangle$, viceversa se abbassi $|+\rangle$ ti ritrovi con $|-\rangle$ e questo è abbastanza ragionevole. Tuttavia se provi ad alzare $|+\rangle$ ottieni il vettore nullo, poichè il sistema è a due stati, e un discorso analogo vale per l'abbassamento di $|-\rangle$.
Quindi in definitiva:
$\sigma_+|+\rangle = 0$, $\sigma_+|-\rangle = 2|+\rangle$
$\sigma_-|+\rangle = 2|-\rangle$, $\sigma_-|-\rangle = 0$
Scritte come matrici vengono:
$\sigma_+ = ((0,2),(0,0))$, $\sigma_ = ((0,0),(2,0))$
Notiamo infatti che sostituendo
$\sigma_x = {\sigma_{+}+\sigma_{-}}/2 = ((0,1),(1,0))$
$\sigma_y = {\sigma_{+}-\sigma_{-}}/{2i} = ((0,-i),(i,0))$
otteniamo le matrici di Pauli.
"Cantaro86":
a questo punto approfitto della tua disponibilità per chiederti un ultima cosa:
perchè per trovare a e b hai fatto come un valor medio dell' operatore $sigma_{+-}sigma_{-+}$ ??
ti ringrazio ancora
Si vede dalla definizione che $\sigma_{+}^+ = \sigma_{-}$ e viceversa.
Considera $\sigma_+|s,s_z\rangle = a|s,s_z+1\rangle$ e l'hermitiano coniugato $\langles,s_z|\sigma_- = \langles,s_z+1|a^{**}$.
Quindi ovviamente $\langles,s_z|\sigma_{-}\sigma_{+}|s,s_z\rangle = |a|^2$.
Ma puoi scrivere anche $\sigma_{-}\sigma_{+} = \sigma^2-\sigma_z^2-2\sigma_z$ e questo lo puoi calcolare esplicitamente.
Questo discorso è pari pari a quello che fai per trovare gli elementi di matrice di $L_+$ ed $L_-$, gli operatori di innalzamento e abbassamento del momento angolare.
"Eredir":
[quote="Cantaro86"]inoltre ho scoperto che non avevo ben chiaro in mente come agivano questi operatori $sigma_{+-}$ e per questo facevo confusione...
in pratica:
$sigma_{+-} |+-> =0$
$sigma_{+-} |-+> = 2 |+->$
Quindi in definitiva:
$\sigma_+|+\rangle = 0$, $\sigma_+|-\rangle = 2|+\rangle$
$\sigma_-|+\rangle = 2|-\rangle$, $\sigma_-|-\rangle = 0$
[/quote]
si è lo stesso di quello che avevo scritto in modo più compatto
(che forse non era chiarissimo)be,l'importante è che finalmente ho capito!! (anche il modo per trovare gli a e b
)ti ringrazio ancora Eredir...
(usando le matrici di Pauli è assolutamente più semplice risolvere questi problemi
) l'ultimo esame è fra 10 gg e magari posterò ancora qualche problema...(anche se spero di non averne bisogno)
ciao
"Cantaro86":
si è lo stesso di quello che avevo scritto in modo più compatto
be,l'importante è che finalmente ho capito!! (anche il modo per trovare gli a e b
In effetti non avevo capito la notazione, hai ragione.
Io ho lo scritto di quantistica domani, ma vado solo per migliorare il voto.
L'esame orale invece la prossima settimana. Speriamo vada tutto bene.
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