Punto vincolato alla sfera
ho il seguente esercizio:
parametrizzo in coordinate sferiche
${(x=cos phi sin theta),(y=sin theta sin phi),(z=-cos phi):}$ con $theta in (0,pi) $ e $phi in [0,2pi)$
l'energia cinetica (avendo assunto la sfera di raggio 1 che comunque non è fisicamente rilevante) vale:
$T=m/2(dot(theta)^2+sin^2 theta dot(phi)^2)$
energia potenziale gravitazionale: $V=-mgcos theta$
per il potenziale elastico mi serve la distanza tra il polo nord (che chiamo N e parametrizzato come $N=(0,phi)$) ed il punto P. dopo tanto cercare in internet sono pervenuto alla seguente fomula: $||NP||^2 = 2r^2 (1-cos(Delta phi)costheta_N costheta_P)$. Qui non sono sicuro se ho fatto bene a considerare questa formula e se ho fatto bene a considerare l'angolo $phi$ uguale sia per N che per P.
In definitiva ottengo $||NP||^2 = 2(1-cos(pi-theta))=2(1-costheta)$
da cui $V=k/2(2costheta)=kcostheta$ (tanto le costanti non sono importanti)
quindi:
(i) $\mathcal{L}=T-V =m/2(dot(theta)^2+sin^2 theta dot(phi)^2)-(k-mg)costheta$
calcolando i momenti coniugati e sostituendo nell'espressione dell'energia ottengo che l'hamiltoniana è:
$\mathcal{H} = (p_(theta)^2)/(2m)+(p_(phi)^2)/(2msin^2(theta))+acostheta$ dove $a := k-mg$
(ii)
scrivendo le equazioni di Hamilton ho:
${(dot(p_(theta))=-(partial H)/(partial theta)=asintheta +(p_(phi)^2 costheta)/(m sin^3(theta))),(dot(theta)=(partial H)/(partial p_(theta))=(p_(theta))/m):}$
${(dot(p_(phi))=-(partial H)/(partial phi)=0),(dot(phi)=(partial H)/(partial p_(phi))=(p_(phi))/(msin^2(theta))):}$
bastano queste come equazioni del moto o devo derivare ancora per ottenere le derivate seconde rispetto a $theta$?
per i punti di equilibrio ho annullato le derivate del potenziale ottenendo $theta = 0,pi$
(iii)
dato che la $dot(p_(phi))=0 rArr p_(phi)=cost$ è un integrale primo e si conserva durante il moto
altra quantità conservata è come sempre l'energia meccanica E (oppure H)
(iv)
il potenziale efficacie vale $V^(star)=acostheta +b/(sin^2theta)$ con $b=(p_(phi)^2)/(2m) > 0$
il grafico in $[0,pi]$ è una sorta di U leggermente storta che ha come asintoti verticali gli estremi dell'intervallo da cui segue che:
per energie minori del potenziale non ho moto
per le altre energie si hanno come degli ovali concentrici (attorno all'energia di minimo raggiunta per un certa $theta$): oscilla infatti tra un $theta_(_)$ ed un $theta_(+)$
(v)
per classificare i punti di equilibrio vado a studiare la derivata seconda del potenziale rispetto a $theta$
$V'' = -a costheta$
da cui segue che:
Un punto pesante è vincolato a muoversi sulla superficie di una sfera ed è collegato al polo Nord della sfera stessa (l’intersezione della superficie con l’asse verticale passante per il centro) con una molla elastica di lunghezza a riposo nulla. Si svolgano i seguenti punti:
(i) Si scrivano la Lagrangiana e l’Hamiltoniana del sistema.
(ii) Si scrivano le equazioni del moto e si trovino eventuali punti di equilibrio.
(iii) Si trovino gli integrali primi (o costanti del moto) del sistema.
(iv) Si dia una descrizione qualitativa del moto, tracciando il ritratto in fase del
sistema ridotto.
(v) Si discuta la stabilità degli eventuali punti di equilibrio ( facoltativo).
parametrizzo in coordinate sferiche
${(x=cos phi sin theta),(y=sin theta sin phi),(z=-cos phi):}$ con $theta in (0,pi) $ e $phi in [0,2pi)$
l'energia cinetica (avendo assunto la sfera di raggio 1 che comunque non è fisicamente rilevante) vale:
$T=m/2(dot(theta)^2+sin^2 theta dot(phi)^2)$
energia potenziale gravitazionale: $V=-mgcos theta$
per il potenziale elastico mi serve la distanza tra il polo nord (che chiamo N e parametrizzato come $N=(0,phi)$) ed il punto P. dopo tanto cercare in internet sono pervenuto alla seguente fomula: $||NP||^2 = 2r^2 (1-cos(Delta phi)costheta_N costheta_P)$. Qui non sono sicuro se ho fatto bene a considerare questa formula e se ho fatto bene a considerare l'angolo $phi$ uguale sia per N che per P.
In definitiva ottengo $||NP||^2 = 2(1-cos(pi-theta))=2(1-costheta)$
da cui $V=k/2(2costheta)=kcostheta$ (tanto le costanti non sono importanti)
quindi:
(i) $\mathcal{L}=T-V =m/2(dot(theta)^2+sin^2 theta dot(phi)^2)-(k-mg)costheta$
calcolando i momenti coniugati e sostituendo nell'espressione dell'energia ottengo che l'hamiltoniana è:
$\mathcal{H} = (p_(theta)^2)/(2m)+(p_(phi)^2)/(2msin^2(theta))+acostheta$ dove $a := k-mg$
(ii)
scrivendo le equazioni di Hamilton ho:
${(dot(p_(theta))=-(partial H)/(partial theta)=asintheta +(p_(phi)^2 costheta)/(m sin^3(theta))),(dot(theta)=(partial H)/(partial p_(theta))=(p_(theta))/m):}$
${(dot(p_(phi))=-(partial H)/(partial phi)=0),(dot(phi)=(partial H)/(partial p_(phi))=(p_(phi))/(msin^2(theta))):}$
bastano queste come equazioni del moto o devo derivare ancora per ottenere le derivate seconde rispetto a $theta$?
per i punti di equilibrio ho annullato le derivate del potenziale ottenendo $theta = 0,pi$
(iii)
dato che la $dot(p_(phi))=0 rArr p_(phi)=cost$ è un integrale primo e si conserva durante il moto
altra quantità conservata è come sempre l'energia meccanica E (oppure H)
(iv)
il potenziale efficacie vale $V^(star)=acostheta +b/(sin^2theta)$ con $b=(p_(phi)^2)/(2m) > 0$
il grafico in $[0,pi]$ è una sorta di U leggermente storta che ha come asintoti verticali gli estremi dell'intervallo da cui segue che:
per energie minori del potenziale non ho moto
per le altre energie si hanno come degli ovali concentrici (attorno all'energia di minimo raggiunta per un certa $theta$): oscilla infatti tra un $theta_(_)$ ed un $theta_(+)$
(v)
per classificare i punti di equilibrio vado a studiare la derivata seconda del potenziale rispetto a $theta$
$V'' = -a costheta$
da cui segue che:
[*:6dmzdfp2] per $k>mg$ ho che 0 è instabile e $pi$ è stabile[/*:m:6dmzdfp2]
[*:6dmzdfp2] per $k
Risposte
"cooper":
... avendo assunto la sfera di raggio 1 che comunque non è fisicamente rilevante ...
Veramente, il raggio della sfera è fisicamente rilevante.
"cooper":
... dopo tanto cercare in internet ...
Puoi tranquillamente calcolarla applicando la distanza tra due punti:
$P(Rcos\phisin\theta,Rsin\phisin\theta,Rcos\theta) ^^ N(0,0,R) rarr bar(PN)^2=2R^2(1-cos\theta)$
"cooper":
(i) Si scrivano la Lagrangiana e l’Hamiltoniana del sistema.
$L=1/2mR^2(dot\phi^2sin^2\theta+dot\theta^2)+R(kR-mg)cos\theta$
$H=1/(2mR^2)(p_\phi^2/sin^2\theta+p_\theta^2)+R(mg-kR)cos\theta$
"cooper":
(ii) Si scrivano le equazioni del moto ...
Tipicamente, si intendono le equazioni di Lagrange.
"anonymous_0b37e9":
Veramente, il raggio della sfera è fisicamente rilevante.
ne sei sicuro? quando in classe abbiamo fatto il pendolo sferico, ha posto il raggio pari ad 1. ho supposto che si potesse fare anche in questo caso.
"anonymous_0b37e9":
Puoi tranquillamente calcolarla applicando la distanza tra due punti
grazie!
"anonymous_0b37e9":
Tipicamente, si intendono le equazioni di Lagrange.
ok
"cooper":
Ne sei sicuro?
Basta considerare la presenza di $R$ nelle equazioni del moto:
$\{(ddot\phisin\theta+2dot\phidot\thetacos\theta=0),(ddot\theta-dot\phi^2sin\thetacos\theta+(k/m-g/R)sin\theta=0):}$
Probabilmente, avete posto $[R=1]$ solo per semplicità.
ah ho capito quello che intendi forse. credo allora di essermi espresso male (se ho ben capito cosa intendi). ho detto "non rilevante" intendendo "non coordinata lagrangiana" rispetto alla quale calcolare le equazioni del moto ed il resto. il raggio entra come caratteristica del sistema e basta (in questo senso ponendo $R=1$ diventa non rilevante: avendo fissato un particolare sistema). anche perchè dicono una trattazione qualitativa quindi penso che se anche non inserisco un raggio generico poco (o nulla) cambierebbe nel mio ritratto di fase.
è un'interpretazione corretta?
è un'interpretazione corretta?
Premesso che, nella seconda equazione del moto, avevo dimenticato un termine:
$\{(ddot\phisin\theta+2dot\phidot\thetacos\theta=0),(ddot\theta-dot\phi^2sin\thetacos\theta+(k/m-g/R)sin\theta=0):}$
il parametro $[R]$ ha lo stesso ruolo che aveva il parametro $[d]$ in questa discussione precedente:
viewtopic.php?f=19&t=177083#p8288996
Dipendendo dal segno di $[k/m-g/R]$, dipende anche da $[R]$.
$\{(ddot\phisin\theta+2dot\phidot\thetacos\theta=0),(ddot\theta-dot\phi^2sin\thetacos\theta+(k/m-g/R)sin\theta=0):}$
il parametro $[R]$ ha lo stesso ruolo che aveva il parametro $[d]$ in questa discussione precedente:
viewtopic.php?f=19&t=177083#p8288996
"cooper":
... penso che se anche non inserisco un raggio generico poco (o nulla) cambierebbe nel mio ritratto di fase ...
Dipendendo dal segno di $[k/m-g/R]$, dipende anche da $[R]$.
"anonymous_0b37e9":
il parametro [R] ha lo stesso ruolo che aveva il parametro [d] in questa discussione precedente:
capito grazie!
"anonymous_0b37e9":
Dipendendo dal segno di [km−gR], dipende anche da [R].
non ci avevo pensato.
dovrebbe essere tutto chiaro, grazie.
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