Punti equilibrio: punti di intersezione fra due funzioni

[fonzimase]

ciao a voi..sentite..in un quesito, ho l'energia potenziale, quindi con il principio di stazionamento potenziale, cerco le posizioni di equilibrio; facendo la derivata prima dell'energia potenziale, ottengo:

$cosx - 2/x = 0$

e dovrei cercare le soluzioni x..queste soluzioni sono i miei punti di equilibrio. FINO A QUA CI SIAMO..ma da dove scaturisce questo ragionamento?

il mio prof. mi diche che non riusciremmo facilmente a capire il valore algebrico x per cui l'equazione di sopra sia soddisfatta! ed HA RAGIONE..quindi mi consiglia di

INTERSECARE GRAFICAMENTE LE DUE CURVE SEPARATAMENTE OSSIA FARE IL GRAFICO DI $y=cosx$ E IL GRAFICO DI $y=2x$ e andare a vedere i punti di interesezione..I PUNTI DI INTERSEZIONE SONO I PUNTI DI EQUILIBRIO...

bellissima cosa..! ma chi mi spiega il ragionamento che ci stà dietro?..inoltre i punti di equilibrio sono tutti stabili?..io forse da quello che ho potuto capire è che se ad esempio considero un intorno dell'asse x compreso fra $pi$ e $2pi$, la mia funzione $y=cosx$ interseca la funzione $y=2/x$; ma poichè in queso intervallo la funzione $y=cosx$ è crescente, ossia tenderà verso un max, l'intersezione sarà un punto di equilibrio stabile?..

grazie dell'aiuto

[ELWOOD1]

risolvere l'equazione [tex]\cos x-\frac{2}{x}=0[/tex] è equivalente a risolvere il sistema:

[tex]\left\{ \begin{array}{l}
y=\cos x \\
y=\frac{2}{x}
\end{array} \right.[/tex]

Da qua capisci che la soluzione al sistema è proprio il punto d'intersezione delle 2 funzioni

[fonzimase]

perfetto..questo è abbastanza intuitivo..il mio problema è legato alla natura del punto di equilibrio..ovvero come capire se è un punto stabile o instabile?

[ELWOOD1]

per conoscere la natura del punto di equilibrio devi studiare la derivata seconda della funzione potenziale, calcolata nel punto di equilibrio.

Se è positiva allora l'equilibrio è stabile, altrimenti no.

[fonzimase]

grazie ELWOOD..ma non credi che non avevo bisogno di sentirlmelo dire?..certamente ciò che dici è corretto..ma rispondi potendo alla seconda parte della mia domanda?..

[ELWOOD1]

non capisco cosa intendi...la procedura per poter definire la stabilità o meno di un equilibrio è quella che ti ho indicato....tu cosa intendi? capirlo intuitivamente?

[fonzimase]

vorrei capire se questa mia tesi potrebbe avere un senso:

considero un intorno dell'asse x compreso fra $\pi$ e $2\pi$, la mia funzione y=cosx interseca la funzione y=2x; ma poichè in queso intervallo la funzione y=cosx è crescente, ossia tenderà verso un max, l'intersezione sarà un punto di equilibrio stabile!

[ELWOOD1]

allora...tu dici che il punto di equilibrio ricade all'interno dell'intervallo [tex][\pi,2\pi][/tex]....bene
in questo intervallo com'è la derivata seconda??

Risulta sempre negativa....quindi...

Non devi studiare la natura della funzione, ma bensì la natura della "convessità" della funzione!