Protone non relativistico in un campo magnetico

[Paolo902]

Esercizio. Un protone non relativistico di energia cinetica $E_k=50MeV$ si muove lungo l'asse $x$ ed entra in un campo magnetico di intensità $B=0.5T$ diretto lungo l'asse $z$. Il campo magnetico si estende da $x=0$ a $x=1 m$. Calcolare l'angolo $\alpha$ che la velocità del protone forma all'uscita dal campo magnetico e la coordinata $y$ del punto di uscita.

Ecco alcune mie idee, ovviamente inconcludenti: ho capito con un disegno il verso del moto del protone (ho disegnato una terna cartesiana e ho applicato la regola della mano destra). Inoltre, dall'informazione sull'energia mi posso ricavare subito la velocità:
\[
v=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}
\]

Ora applico Lorentz: più precisamente, so che il moto del mio protone sarà circolare uniforme e per trovare il raggio della traiettoria uguaglio forza centripeta e forza di Lorentz: risulta
\[
r=\frac{mv}{qB}
\]

Se quanto ho fatto fin qui è corretto (e non ne sono convintissimo) a questo punto il problema diventa cinematica elementare... Però non so come risolverlo. Dove si trova il protone quando $x=1$ (cioè il campo magnetico "finisce")? E come determinare l'angolo della velocità? Qualche idea, per favore?

Grazie.

[Palliit]

Ciao. Posso sbagliarmi ma credo si possa risolvere come un problema di geometria analitica piana, la traiettoria del protone è un arco di una circonferenza nel piano $(x,y)$, di raggio $r$, passante per l'origine (il punto in cui il protone entra nel campo magnetico) e qui tangente all'asse $x$ (la direzione iniziale della velocità del protone), con centro sul semiasse $y$ fissato dalla regola della mano destra, appunto. Scritta l'equazione, il seguito è immediato.

[chiaraotta1]

Mi sembra che, se la situazione è quella della figura, la traiettoria nel campo $vecB$ sia l'arco della circonferenza di centro $D(0, -r)$ e raggio $r$, compreso tra l'origine del sistema di riferimento $B$ e il punto $C$ d'intersezione tra la circonferenza e la retta $x=1 \ m$.



L'ordinata del punto $C$ è $-bar(BE)=-(r-sqrt(r^2-1))$.
L'angolo $alpha=ChatDE=arcsin(bar(EC)/bar(CD))=arcsin(1/r)$.

Con i dati numerici $r=sqrt(2*E_k*m)/(q*B)~=2.04 \ m$.

[Paolo902]

Eccellente, mi torna tutto. Vi ringrazio molto per il vostro preziosissimo aiuto.