Proiettile e moto relativo
Salve a tutti, spero nel vostro aiuto.
Ho un sistema costituito da un cannone in moto orizzontale costante con velocità vc, e il cannone spara, con un angolo di alzo $ alpha $, un proiettile con velocità iniziale v, per colpire un bersaglio nel punto più alto della traiettoria a distanza e altezza entrambi uguali ad h (nell'istante dello sparo). Vanno bene le seguenti relazioni per risolvere il problema? (viene richiesto l'angolo di alzo e non viene fornita la velocità di lancio):
$ h=(vc+v cosalpha )t $
$ h=v sinalpha t-1/2 g t^2 $
$ t=(vsinalpha )/g $
Ho un sistema costituito da un cannone in moto orizzontale costante con velocità vc, e il cannone spara, con un angolo di alzo $ alpha $, un proiettile con velocità iniziale v, per colpire un bersaglio nel punto più alto della traiettoria a distanza e altezza entrambi uguali ad h (nell'istante dello sparo). Vanno bene le seguenti relazioni per risolvere il problema? (viene richiesto l'angolo di alzo e non viene fornita la velocità di lancio):
$ h=(vc+v cosalpha )t $
$ h=v sinalpha t-1/2 g t^2 $
$ t=(vsinalpha )/g $
Risposte
"giuseppe.b_02":
Salve a tutti, spero nel vostro aiuto.
Ho un sistema costituito da un cannone in moto orizzontale costante con velocità vc, e il cannone spara, con un angolo di alzo $ alpha $, un proiettile con velocità iniziale v, per colpire un bersaglio nel punto più alto della traiettoria a distanza e altezza entrambi uguali ad h (nell'istante dello sparo). Vanno bene le seguenti relazioni per risolvere il problema? (viene richiesto l'angolo di alzo e non viene fornita la velocità di lancio):
$ h=(vc+v cosalpha )t $
$ h=v sinalpha t-1/2 g t^2 $
$ t=(vsinalpha )/g $
Il problema era questo sono riuscito a inserire l'immagine. Quel 63,43° viene se risolvo il problema nel seguente modo:
$ h=v0 cosvartheta t $
$ h=v0 sinvartheta t -1/2 g t^2 $
$ t=v0sintheta /g $
Dove v0 dovrebbe essere la risultante della velocita v e della velocita vc. Ma in questo modo non trovo l'angolo compreso tra la risultante v0 e l'asse orizzontale?
$ h=v0 cosvartheta t $
$ h=v0 sinvartheta t -1/2 g t^2 $
$ t=v0sintheta /g $
Dove v0 dovrebbe essere la risultante della velocita v e della velocita vc. Ma in questo modo non trovo l'angolo compreso tra la risultante v0 e l'asse orizzontale?
Ciao,
se fosse giusto quello che scrivi:
in realtà non ci sarebbe nessuna differenza con la tua risoluzione precedente (almeno per quanto riguarda la prima equazione) dato che per la proiezione lungo x della velocità risultante vale \({v_0}_x = v_x + v_c = v cos\alpha + v_c\).
Conviene che ragioni su questi punti:
1) come definisci un sistema di riferimento "fisso" (cioé in cui vedi il carrello che si muove e il bersaglio fisso)?
2) è utile definire un sistema di riferimento "in moto" - solidale con il carrello? e se sì, perché? come descrivi la cinematica dei due corpi qui?
3) a questo punto, in quale dei due è più conveniente risolvere il problema? (NB la difficoltà è pressoché uguale, ma in questo modo formalizzi per bene il significato delle varie quantità che usi e non corri il rischio di ripetere l'errore che hai appena fatto)
a prima vista, però, non vedo errori nella prima risoluzione che hai postato. Non ti torna il risultato con quelle relazioni?
se fosse giusto quello che scrivi:
l problema era questo sono riuscito a inserire l'immagine. Quel 63,43° viene se risolvo il problema nel seguente modo:
$ h=v0 cosvartheta $
$ h=v0 sinvartheta t -1/2 g t^2 $
$ t=v0sintheta /g $
Dove v0 dovrebbe essere la risultante della velocita v e della velocita vc
in realtà non ci sarebbe nessuna differenza con la tua risoluzione precedente (almeno per quanto riguarda la prima equazione) dato che per la proiezione lungo x della velocità risultante vale \({v_0}_x = v_x + v_c = v cos\alpha + v_c\).
Conviene che ragioni su questi punti:
1) come definisci un sistema di riferimento "fisso" (cioé in cui vedi il carrello che si muove e il bersaglio fisso)?
2) è utile definire un sistema di riferimento "in moto" - solidale con il carrello? e se sì, perché? come descrivi la cinematica dei due corpi qui?
3) a questo punto, in quale dei due è più conveniente risolvere il problema? (NB la difficoltà è pressoché uguale, ma in questo modo formalizzi per bene il significato delle varie quantità che usi e non corri il rischio di ripetere l'errore che hai appena fatto)
a prima vista, però, non vedo errori nella prima risoluzione che hai postato. Non ti torna il risultato con quelle relazioni?
No non torna il risulto. Non riesco proprio a capire. Da un punto di vista logico mi sembra più probabile il primo, ma il risultato viene col secondo. Come già detto, l'angolo che trovo col secondo metodo dovrebbe essere quello individuato dalla risultante della velocità con cui viene sparato il proiettile e la velocità orizzontale del cannone, e quindi non l'angolo di alzo.
Da un punto di vista logico mi sembra più probabile il primo, ma il risultato viene col secondo
se vuoi spiegare la logica dietro ai due procedimenti qui sicuramente potrai trovare qualcuno che ti aiuti. Per favore, però, evitiamo di confondere la fisica di base con la statistica (quando dici "mi sembra più probabile ... "), non si tratta di fare venire gli esercizi "per effetto tunnel" (https://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_tunnel) ma di capire la fisica che ci sta dietro
... anche perché le sviste dei libri e dei professori (specie quelli delle scuole superiori) sono sempre dietro l'angolo ...
detto questo, da quello che capisco ad un primo approccio:
Come già detto, l'angolo che trovo col secondo metodo dovrebbe essere quello individuato dalla risultante della velocità con cui viene sparato il proiettile e la velocità orizzontale del cannone, e quindi non l'angolo di alzo.
mi trovo molto d'accordo con te.
I ragionamenti mi sembra di averli spiegati. Sia nel primo che nel secondo tutte le formule che ho scritto sono state ricavate dalle leggi del moto e messe a sistema per trovare le incognite. Se non ho commesso errori dovrebbero essere giuste. Dicevo che secondo me è più "probabile" il primo perchè l'angolo che figura nel primo sistema fa riferimento all'angolo di alzo, mentre quello del secondo sistema fa riferimento all'angolo individuato dalla risultante (che non è quello richiesto dal problema). Intendo dire che secondo questi ragionamenti trovo due angoli che hanno a che fare con cose diverse. Dato che il risultato viene col secondo procedimento mi chiedevo dove sbaglio(o se magari è sbagliato il risultato). Tutto qui. Scusa per il disturbo
Nessun disturbo.
E' però evidente che abbiamo due concezioni diverse nell'intendere "descrivere il procedimento", perché quello che hai fatto è stato solamente ricopiare delle formule di risoluzione senza nemmeno una riga di descrizione.
Amen, si sopravvive anche senza, ma da qui a dire che "I ragionamenti mi sembra di averli spiegati" ne passa ...
Ribadisco comunque il mio parere iniziale: il risultato del libro è errato.
E' però evidente che abbiamo due concezioni diverse nell'intendere "descrivere il procedimento", perché quello che hai fatto è stato solamente ricopiare delle formule di risoluzione senza nemmeno una riga di descrizione.
Amen, si sopravvive anche senza, ma da qui a dire che "I ragionamenti mi sembra di averli spiegati" ne passa ...
Ribadisco comunque il mio parere iniziale: il risultato del libro è errato.
Grazie mille Lampo. Per quanto riguarda la spiegazione hai ragione, ma non ho scritto niente semplicemente perchè sono le leggi del moto, non saprei cosa altro dire (sapevo che comunque tu mi avresti capito). Per chi è agli inizi invece, per rendere questa discussione utile anche ad altri, potrei aggiungere che il tempo è stato ricavato dalla legge della componente verticale della velocità in funzione del tempo (in particolare ponendo la velocità finale uguale a 0 e successivamente isolando t). Dopo di che basta risolvere il sistema.
Ciao,
a mio avviso, il primo sistema, quello che considera nell'espressione della componente orizzontale della veolocità del proiettile il contributo $v_c$ dovuto al moto del cannone, è formalmente quella corretta. Ma, non so voi, io arrivo all'equazione:
$1/2vsin\alpha - vcos\alpha - v_c = 0$ (1)
Come si risolve senza conoscere $v$?
L'unica, per come la vedo io, è considerare che la velocità di un proiettile è in genere molto maggiore della velocità $v_c = 4.95m/s$ cioè:
$v_c/v~~ 0$
Con questa considerazione si arriva al secondo sistema da cui poi si ricava il valore numerico riportato dal testo.
Ma potrei anche prendere una cantonata perché mi sfugge qualcosa di cui si dovrebbe tener conto per poter risolvere l'equazione (1)
a mio avviso, il primo sistema, quello che considera nell'espressione della componente orizzontale della veolocità del proiettile il contributo $v_c$ dovuto al moto del cannone, è formalmente quella corretta. Ma, non so voi, io arrivo all'equazione:
$1/2vsin\alpha - vcos\alpha - v_c = 0$ (1)
Come si risolve senza conoscere $v$?
L'unica, per come la vedo io, è considerare che la velocità di un proiettile è in genere molto maggiore della velocità $v_c = 4.95m/s$ cioè:
$v_c/v~~ 0$
Con questa considerazione si arriva al secondo sistema da cui poi si ricava il valore numerico riportato dal testo.
Ma potrei anche prendere una cantonata perché mi sfugge qualcosa di cui si dovrebbe tener conto per poter risolvere l'equazione (1)
Si effettivamente la tua intuizione mi sembra corretta, perchè è come se mancasse un dato. Cercando su internet la velocità di un proiettile si aggira sui 500 m/s e quindi, dato che il carretto va ad una velocità di molto inferiore, la risultante delle due velocità ad occhio dovrebbe avere un angolo di inclinazione molto simile all'angolo della velocità del proiettile. E quindi mi conviene lavorare con la risultante, cioè con il secondo sistema.
Come si risolve senza conoscere v?
In realtà si tratta di un sistema di tre equazioni diverse. Detto \(t^*\) il tempo in cui viene colpito il bersaglio
1) le prime due impongono che al tempo \(t^*\) il corpo si trovi alle coordinate (h,h) [NB è implicito l'uso di un Sistema di riferimento in cui al tempo zero l'origine coincide con la posizione del proiettile, e in cui il carrello si muove]
2) la terza impone che al tempo \(t^*\) l'oggetto raggiunga la quota massima.
Inoltre, come già detto, se la velocità del proiettile relativa al carrello è indicata con \(\vec{v} =\left(v\cos\alpha,v\sin\alpha\right)\), la risultante delle velocità con cui si muove il corpo - all'istante iniziale - nel sistema O sarà pari a \(\vec{v_0} =\left(v\cos\alpha + v_c,v\sin\alpha\right)\)
per cui, in formule, il sistema risultante sarà:
\[
\begin{array}{lcr}
\left(v\cos\alpha + v_c\right)t^* &=& h \\
v\sin(\alpha) t^* - \frac{1}{2}g {t^*}^2 &=& h\\
v\sin(\alpha) - g t^* &=& 0
\end{array}
\]
dove la terza equazione è semplicemente la richiesta che al tempo dell'impatto la velocità verticale si annulli (data la definizione di quota massima).
A questo punto, trattandosi di un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, la risoluzione è banale (o meglio, ho evitato di farlo a mano https://www.wolframalpha.com/input?i=So ... %2Ca%7D%5D e la prima bozza di risoluzione l'avevo cannata in pieno, eventualmente se postate i vostri passaggi possiamo dare uno sguardo a dove sono i problemi)
Limitandosi ai risultati numerici:
\[
\begin{array}{lcr}
v&=& 9.90454\,\frac{m}{s} \\
t^*&=& 1.00964\,s \\
\alpha &=& 1.57057 = 89.9869° \\
\end{array}
\]
BTW notare che il proiettile è piuttosto lento rispetto al solito, ma non deve stupire poiché il bersaglio si trova a solo 5m di distanza e il carrello si muove a 4.95 m/s. Ciò vuol dire che il proiettile deve essere sparato con una piccola velocità orizzontale e quasi ortogonalmente: essendo \(\theta \approx \frac{\pi}{2}\), il proiettile si muoverà lungo x a circa 5 m/s, e quindi percorrerà la distanza orizzontale che lo separa dal bersaglio in circa un secondo. Di conseguenza, la velocità verticale iniziale che dovrà avere per raggiungere la quota massima in 1 secondo sarà circa 10 m/s.
Ricapitolando. Il problema si risolve sicuramente come ha detto Lampo, tutto sembra tornare (anche se è un po difficile da risolvere il sistema). Mentre in un caso più realistico possiamo dire che l'intuizione di Ziben può essere utile. (Sperando di non doverla utilizzare per abbattere un caccia)
In verità, una volta ben impostato il sistema si risolve in meno di 2min ...
\[
\begin{array}{rcl}
t^* &=& \sqrt{\frac{2 h}{g}}\\
\tan(\alpha) &=& \frac{2}{1- \sqrt{\frac{2}{g h}}v_c}\\
v &=& \sqrt{\frac{5}{2}h g + v_c^2 - \sqrt{2 h g}v_c}
\end{array}
\]
Basta risolvere esplicitamente per \(t^*\) dalla seconda equazione, sostituendo in essa le varie incognite utilizzando la terza equazione, e a quel punto si risolve facilmente \(\tan\alpha\) e v con la prima e la terza equazione.
\[
\begin{array}{rcl}
t^* &=& \sqrt{\frac{2 h}{g}}\\
\tan(\alpha) &=& \frac{2}{1- \sqrt{\frac{2}{g h}}v_c}\\
v &=& \sqrt{\frac{5}{2}h g + v_c^2 - \sqrt{2 h g}v_c}
\end{array}
\]
Basta risolvere esplicitamente per \(t^*\) dalla seconda equazione, sostituendo in essa le varie incognite utilizzando la terza equazione, e a quel punto si risolve facilmente \(\tan\alpha\) e v con la prima e la terza equazione.
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