Proiettile contro asta rigida vincolata
Buonasera a tutti: propongo un esercizio di dinamica dei corpi rigidi/urti, per il quale non sono d'accordo con lo svolgimento proposto dal mio libro di testo (Mazzoldi)
TESTO: Un'asta lunga l=1.2m può ruotare, in un piano verticale attorno al proprio centro O. La massa dell'asta vale M=0.25kg. Un punto materiale di massa m=0.25kg, lanciato verticalmente dal basso verso l'alto, colpisce l'asta a distanza R= 0.4m da O e rimane ad essa attaccato. La velocità di m all'istante dell'urto vale v=20m/s. Calcolare: [...] c) la velocità angolare del sistema quando ha compiuto una rotazione di 90°
Il libro naturalmente utilizza la conservazione dell'energia meccanica: l'energia meccanica iniziale è costituita dall'energia cinetica del sistema dopo l'urto, quella finale dall'energia cinetica dopo la rotazione di 90° più l'energia potenziale gravitazionale che il libro calcola come:
$E_p=mgR$
mentre io ritengo si debba ricalcolare la posizione del centro di massa dopo la compenetrazione dei due corpi ed utilizzare la sua quota quando l'asta ruota di 90°, non dimenticando di inserire la somma delle due masse.
$E_p=(m+M)*g*y_(cm)$ con $y_(cm)=(M*L/2+m(L/2+R))/(M+m)$
chi ha ragione? Grazie.
TESTO: Un'asta lunga l=1.2m può ruotare, in un piano verticale attorno al proprio centro O. La massa dell'asta vale M=0.25kg. Un punto materiale di massa m=0.25kg, lanciato verticalmente dal basso verso l'alto, colpisce l'asta a distanza R= 0.4m da O e rimane ad essa attaccato. La velocità di m all'istante dell'urto vale v=20m/s. Calcolare: [...] c) la velocità angolare del sistema quando ha compiuto una rotazione di 90°
Il libro naturalmente utilizza la conservazione dell'energia meccanica: l'energia meccanica iniziale è costituita dall'energia cinetica del sistema dopo l'urto, quella finale dall'energia cinetica dopo la rotazione di 90° più l'energia potenziale gravitazionale che il libro calcola come:
$E_p=mgR$
mentre io ritengo si debba ricalcolare la posizione del centro di massa dopo la compenetrazione dei due corpi ed utilizzare la sua quota quando l'asta ruota di 90°, non dimenticando di inserire la somma delle due masse.
$E_p=(m+M)*g*y_(cm)$ con $y_(cm)=(M*L/2+m(L/2+R))/(M+m)$
chi ha ragione? Grazie.
Risposte
Secondo me è corretto come scrive il libro infatti l'energia potenziale di un corpo esteso è data dalla somma delle energie potenziali delle singole parti. Dopo la rotazione di $90°$ l'energia potenziale dell'asta, senza il punto materiale è per simmetia 0 invece quella del punto è $mgR$. Quindi l'energia potenziale complessiva è $mgR$ in accordo con quanto dice il libro.
Il secondo metodo non è scorretto ma contiene errori nel calcolo della quota $y_(cm)$.
Ponendo $y=0$ la quota del centro di rotazione $O$, risulta, in posizione verticale: $y_(cm)=\frac{M\cdot0+mR}{m+M}$.
Questo valore conduce al risultato indicato nel testo.
Ponendo $y=0$ la quota del centro di rotazione $O$, risulta, in posizione verticale: $y_(cm)=\frac{M\cdot0+mR}{m+M}$.
Questo valore conduce al risultato indicato nel testo.
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