Proiettile che esplode
Un proiettile viene sparato con velocità iniziale di 40m/s con un angolo di tiro di 30°. Dopo 1.2s il proiettile esplode. Determinare il punto con cui avviene l'esplosione e la velocità del proiettile prima dell'esplosione. Nell'esplosione il proiettile si divide in due frammenti di egual massa ed uno dei due risulta in quiete immediatamente dopo l'esplosione. Determinare la distanza dall'origine del moto del proiettile dei punti in cui cadono i due frammenti.
Allora le prime due richieste:
$v(t)=v_0cos30°+(vosen30°- g*t )$
$40*0.87+(20-11.76)=34.8+8.24=43.04m/s$
$x=v_0cos30° 40*0.87*1.2=41.76m$
$y=v_0sen30°t-1/2g*t^2= 24-7.056=16.9m$
Calcolo velocita del punto al momento dell'esplosione:
Sul piano orizzontale essendo il moto rettilineo uniforme, uso la legge oraria di tale moto.
$x=x_0+vt$
$41.76/1.2=v_x=34.8m/s$
Essendo rispetto all'asse y un moto in caduta libera con accelerazione -g
$v_y=v_0-g*t 40-9.8*1.2=28.24m/s$
$v_1=sqrt(v_x^2+v_y^2)=(34.8^2+28.24^2)=sqrt(1211+797.5)=sqrt (2008,5)=44.8m/s$
Visto che il primo frammento rimane in quiete, assumerà un moto in caduta libera da altezza h(16.9m) con velocità iniziale nulla.
L'altro invece assumerà per la conservazione della quantità di moto velocità doppia.
Quindi avrà velocità $v_2=v_1*2=44.8*2=89.6m/s$
Il moto del corpo lungo l'asse y sarà in caduta libera, quindi:
$t_c=sqrt(2h/g)=sqrt(3.44=1.86s$
Posizione al momento della caduta:
$x_c=v_2*t_c=89.6*1.86=166m$
che sommato alla distanza al momento dell'esplosione rispetto all'asse x diventa:
$x_f=x_1+x_c=41.76+166=208.36m$
Quindi il primo frammento sarà caduto a 41.76m di distanza dall'origine, mentre il secondo a 208.36m
Secondo me ho sbagliato tutto, spero nel vostro aiuto per capire cosa ho sbagliato
Allora le prime due richieste:
$v(t)=v_0cos30°+(vosen30°- g*t )$
$40*0.87+(20-11.76)=34.8+8.24=43.04m/s$
$x=v_0cos30° 40*0.87*1.2=41.76m$
$y=v_0sen30°t-1/2g*t^2= 24-7.056=16.9m$
Calcolo velocita del punto al momento dell'esplosione:
Sul piano orizzontale essendo il moto rettilineo uniforme, uso la legge oraria di tale moto.
$x=x_0+vt$
$41.76/1.2=v_x=34.8m/s$
Essendo rispetto all'asse y un moto in caduta libera con accelerazione -g
$v_y=v_0-g*t 40-9.8*1.2=28.24m/s$
$v_1=sqrt(v_x^2+v_y^2)=(34.8^2+28.24^2)=sqrt(1211+797.5)=sqrt (2008,5)=44.8m/s$
Visto che il primo frammento rimane in quiete, assumerà un moto in caduta libera da altezza h(16.9m) con velocità iniziale nulla.
L'altro invece assumerà per la conservazione della quantità di moto velocità doppia.
Quindi avrà velocità $v_2=v_1*2=44.8*2=89.6m/s$
Il moto del corpo lungo l'asse y sarà in caduta libera, quindi:
$t_c=sqrt(2h/g)=sqrt(3.44=1.86s$
Posizione al momento della caduta:
$x_c=v_2*t_c=89.6*1.86=166m$
che sommato alla distanza al momento dell'esplosione rispetto all'asse x diventa:
$x_f=x_1+x_c=41.76+166=208.36m$
Quindi il primo frammento sarà caduto a 41.76m di distanza dall'origine, mentre il secondo a 208.36m
Secondo me ho sbagliato tutto, spero nel vostro aiuto per capire cosa ho sbagliato
Risposte
Io ho ragionato così:
1)
Trovo le coordinate spaziali del punto di esplosione del proiettile:
$ { ( y_1=1/2g t_1^2+v_0sin(alpha) t_1 ),( x_1=v_0cos(alpha) t_1) :} $
Dove x1 e y1 sono le coordinate del punto di esplosione, g=-9.81, t1 l'istante di esplosione, v0 la velocità iniziale e alpha l'angolo di tiro dall'orizzontale.
Se dopo l'esplosione un blocco si trova in quiete ricadrà esattamente a distanza x1 dal punto di tiro.
2)
Per trovare il punto di atterraggio del secondo devo trovare x2 risolvendo questo sistema:
$ { ( y_2=1/2g t_2^2+v_(yf)t_2 + y_1=0 ),( x_2=v_(xf)t_2+x_1) :} $
Dove y2 e x2 sono le coordinate del punto di atterraggio, t2 l'istante di atterraggio, y1 e x1 le coordinate del punto di esplosione. Inoltre abbiamo vxf e vyf che sono le velocità in x e y assunte dal frammento successivamente all'esplosione.
Conoscendo vxf e vyf il sistema diventa risolvibile in quanto conosceremmo tutte le variabili in gioco meno che t2.
3)
Calcoliamo quindi vxf e vyf sfruttando il principio della conservazione della quantità di moto per componenti:
$ { ( Mv_(x i)= mv_(xf) ),( Mv_(y i)=mv_(yf) ):} $
Dove M è la massa di tutto il proiettile, m la massa del frammento, vxi e vyi le velocità in x e y del proiettile prima dell'esplosione.
4)
Calcoliamo infine la nostra ultima incognita, cioè le velocità del proiettile prima dell'esplosione:
$ { ( v_(x i)= v_0cos(alpha) ),( v_(y i)=g t_1+v_0sin(alpha) ):} $
A questo punto sostituiamo tutto e dovremmo aver finito.
1)
Trovo le coordinate spaziali del punto di esplosione del proiettile:
$ { ( y_1=1/2g t_1^2+v_0sin(alpha) t_1 ),( x_1=v_0cos(alpha) t_1) :} $
Dove x1 e y1 sono le coordinate del punto di esplosione, g=-9.81, t1 l'istante di esplosione, v0 la velocità iniziale e alpha l'angolo di tiro dall'orizzontale.
Se dopo l'esplosione un blocco si trova in quiete ricadrà esattamente a distanza x1 dal punto di tiro.
2)
Per trovare il punto di atterraggio del secondo devo trovare x2 risolvendo questo sistema:
$ { ( y_2=1/2g t_2^2+v_(yf)t_2 + y_1=0 ),( x_2=v_(xf)t_2+x_1) :} $
Dove y2 e x2 sono le coordinate del punto di atterraggio, t2 l'istante di atterraggio, y1 e x1 le coordinate del punto di esplosione. Inoltre abbiamo vxf e vyf che sono le velocità in x e y assunte dal frammento successivamente all'esplosione.
Conoscendo vxf e vyf il sistema diventa risolvibile in quanto conosceremmo tutte le variabili in gioco meno che t2.
3)
Calcoliamo quindi vxf e vyf sfruttando il principio della conservazione della quantità di moto per componenti:
$ { ( Mv_(x i)= mv_(xf) ),( Mv_(y i)=mv_(yf) ):} $
Dove M è la massa di tutto il proiettile, m la massa del frammento, vxi e vyi le velocità in x e y del proiettile prima dell'esplosione.
4)
Calcoliamo infine la nostra ultima incognita, cioè le velocità del proiettile prima dell'esplosione:
$ { ( v_(x i)= v_0cos(alpha) ),( v_(y i)=g t_1+v_0sin(alpha) ):} $
A questo punto sostituiamo tutto e dovremmo aver finito.
-Mi trovo con tutto, ho capito anche il mio errore nel calcolare il modulo della velocità(ma si può calcolare facendo
$sqrt (v_{x i}^2+v_{y i}^2)$,ma esiste per il moto parabolico, o bisogna sempre scindere nei due moti separati?)
-Una volta che ti trovi $ { ( Mv_(x i)= mv_(xf) ),( Mv_(y i)=mv_(yf) ):} $, qua ci si blocca, perchè pur risolvendo per sostituzione ovvero pongo $M= mv_(yf)/v_(y i)$ mi troverei due incognite $v_(yf)$ e $v_(y i)$, quindi io sapendo che il proiettile si divide in due masse uguali sostituisco $M$ con $2m$ quindi mi troverei:
$\{(v_(x i)=1/2v_(xf)), (v_(yi)=1/2v_(yf)):}$
trovandomi: $v_(xf)=69.6m/s$ e $v_(yf)=16.48m/s$
E' così?
$sqrt (v_{x i}^2+v_{y i}^2)$,ma esiste per il moto parabolico, o bisogna sempre scindere nei due moti separati?)
-Una volta che ti trovi $ { ( Mv_(x i)= mv_(xf) ),( Mv_(y i)=mv_(yf) ):} $, qua ci si blocca, perchè pur risolvendo per sostituzione ovvero pongo $M= mv_(yf)/v_(y i)$ mi troverei due incognite $v_(yf)$ e $v_(y i)$, quindi io sapendo che il proiettile si divide in due masse uguali sostituisco $M$ con $2m$ quindi mi troverei:
$\{(v_(x i)=1/2v_(xf)), (v_(yi)=1/2v_(yf)):}$
trovandomi: $v_(xf)=69.6m/s$ e $v_(yf)=16.48m/s$
E' così?
Ok ti divido la risposta in punti:
1) Se vuoi calcolare il modulo della velocità del proiettile dopo l'esplosione $ |v_i|=sqrt (v_{x i}^2+v_{y i}^2) $ va benissimo, ma avere la forma scomposta in generale è molto più comodo, in questo caso era praticamente indispensabile.
2) Sì, in questo caso hai noti i valori delle masse, quindi basta sostituirli (come hai fatto). Ottieni così:
$ \{(v_(x f)=M/m v_(x i)), (v_(y f)=M/m v_(y i)):} $
Noto il rapporto fra le masse e la velocità iniziale ricavi la velocità del frammento dopo l'esplosione.
1) Se vuoi calcolare il modulo della velocità del proiettile dopo l'esplosione $ |v_i|=sqrt (v_{x i}^2+v_{y i}^2) $ va benissimo, ma avere la forma scomposta in generale è molto più comodo, in questo caso era praticamente indispensabile.
2) Sì, in questo caso hai noti i valori delle masse, quindi basta sostituirli (come hai fatto). Ottieni così:
$ \{(v_(x f)=M/m v_(x i)), (v_(y f)=M/m v_(y i)):} $
Noto il rapporto fra le masse e la velocità iniziale ricavi la velocità del frammento dopo l'esplosione.
Grazie ancora per le info, volevo sapere una cosa per sfizio:
il primo frammento quello in cadta libera, all'inizio ha energia cinetica o potenziale? Perchè lui non parte da fermo, ma ha già una certa velocità verticale $v_y$
il primo frammento quello in cadta libera, all'inizio ha energia cinetica o potenziale? Perchè lui non parte da fermo, ma ha già una certa velocità verticale $v_y$
Tutto ok come procedimento, ma quando vado a fare i calcoli ho qualche problema:
$ { ( y_2=1/2g t_2^2+v_(yf)t_2 + y_1=0 ),( x_2=v_(xf)t_2+x_1) :} $
allora ho sostituito i dati, ricavando:
${ (0=-4.9t_2^2+16.48t_2+16.9),(x_2=69.6t_2+41.76):}$ ,per ricavare $x_2$ prendo la seconda equazione e trovo $t_2$ in funzione di $x_2$, sostituisco nei valori di t della prima equazione ottendendo:
$0=-4.9((x_2-41.76)/69.6)^2+16.48((x_2-41.76)/69.6)+16.9$. Adesso i conti non li riesco a fare, ho difficoltà te avresti fatto in qualche altro modo?
$ { ( y_2=1/2g t_2^2+v_(yf)t_2 + y_1=0 ),( x_2=v_(xf)t_2+x_1) :} $
allora ho sostituito i dati, ricavando:
${ (0=-4.9t_2^2+16.48t_2+16.9),(x_2=69.6t_2+41.76):}$ ,per ricavare $x_2$ prendo la seconda equazione e trovo $t_2$ in funzione di $x_2$, sostituisco nei valori di t della prima equazione ottendendo:
$0=-4.9((x_2-41.76)/69.6)^2+16.48((x_2-41.76)/69.6)+16.9$. Adesso i conti non li riesco a fare, ho difficoltà te avresti fatto in qualche altro modo?
Nella prima equazione, quella in cui poni y2=0, hai come unica variabile t2, quindi puoi direttamente risolverla. E' di secondo grado, ma una delle due soluzioni dovrebbe comunque venirti non accettabile (in quanto negativa).
La soluzione accettabile la sostituisci nella seconda equazione. A quel punto dovrebbe venirti tutto.
La soluzione accettabile la sostituisci nella seconda equazione. A quel punto dovrebbe venirti tutto.
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