Prodotto vettoriale tra 2 vettori, dovrebbe essere semplice ma?
Ciao ragazzi,
mi sono imbattuto in questo quesito, a scelta multipla:
"Calcolare il prodotto vettoriale tra 2 vettori di componenti (4; -3) e (-5; 2). k è il versore dell'asse Z, asse a cui appartiene il vettore ottenuto svolgendo il prodotto vettoriale."
Come dovrei risolverlo, poichè navigando in internet trovo solo spiegazioni dove i vettori sono indicati con tre "coordinate", e le formule per il prodotto le usano tutte e tre, tipo a1, a, a3, b1, b2, b3 ecc... Ed altre formule prevedono anche di conoscere l'angolo formato dai due vettori tra di loro, a cui calcolare il seno.
Come potrei fare, in maniera elementare?
mi sono imbattuto in questo quesito, a scelta multipla:
"Calcolare il prodotto vettoriale tra 2 vettori di componenti (4; -3) e (-5; 2). k è il versore dell'asse Z, asse a cui appartiene il vettore ottenuto svolgendo il prodotto vettoriale."
Come dovrei risolverlo, poichè navigando in internet trovo solo spiegazioni dove i vettori sono indicati con tre "coordinate", e le formule per il prodotto le usano tutte e tre, tipo a1, a, a3, b1, b2, b3 ecc... Ed altre formule prevedono anche di conoscere l'angolo formato dai due vettori tra di loro, a cui calcolare il seno.
Come potrei fare, in maniera elementare?
Risposte
L'unico modo in cui il prodotto vettoriale \(v\land w\) tra due vettori appartenga alla retta di versore $k$ è che i due vettori giacciano nel piano ad essa ortogonale, cioè che siano vettori con terza componente nulla; ora il prodotto vettoriale di \((4,-3,0)\) e di \((-5,2,0)\) sai farlo.
"fmnq":
L'unico modo in cui il prodotto vettoriale \(v\land w\) tra due vettori appartenga alla retta di versore $k$ è che i due vettori giacciano nel piano ad essa ortogonale, cioè che siano vettori con terza componente nulla; ora il prodotto vettoriale di \((4,-3,0)\) e di \((-5,2,0)\) sai farlo.
Ah, ecco, non sapevo che perché il vettore risultante appartenesse all'asse Z i due vettori dovessero giacere su un piano ad essa ortogonale, capisco, grazie mille!
Se i miei calcoli sono corretti il risultato è -7k.
Domanda, se i due vettori non fossero stati su piani ortogonali, quindi avessero avuto anche la terza componente non nulla, il risultato avrebbe coinvolto anche le consuete lettere i e j per indicare gli altri assi?
Ciao Dlofud, mi "intrometto" nella discussione perché mi sembra che tu abbia le idee un po' confuse sul prodotto vettoriale, quindi vorrei provare a fare un po' di luce...
Dico così perché quando scrivi:
si capisce che non hai ben presente nemmeno la definizione di prodotto vettoriale, poiché è già lì che risiede quella informazione. Tale definizione si dà spesso come segue:
Definizione: (1)
Siano $veca, vecb$ due vettori in $RR^3$, e sia $theta$ l'angolo fra essi compreso, il prodotto vettoriale tra $veca$ e $vecb$, $vecc=veca \times vecb$ è dato dal vettore perpendicolare al piano su cui giacciono $veca$ e $vecb$, verso dato dalla regola della mano destra[nota]Non divago su questo, è una di quelle cose più facile a farsi che a dirsi. Comunque puoi trovare su questo stesso forum diversi thread sull'argomento.[/nota] e modulo pari a: $|vecc|= |veca||vecb|sin theta$
Probabilmente è la "formula" a cui facevi riferimento nel primo messaggio.
Esprimendo i vettori in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $(hati, hatj, hatk)$, dove ciascuna lettera indica il versore dell'asse coordinato $x$, $y$ e $z$ rispettivamente, possiamo scrivere $veca$ e $vecb$ attraverso le rispettive componenti:
E qui mi ricollego alla tua ultima domanda:
Prima di tutto non ha molto senso dire che i due vettori sono su piani ortogonali. Due vettori (linearmente indipendenti) determinano univocamente un piano, al quale poi il loro prodotto vettoriale è ortogonale. Nel caso del primo esercizio hai due sole componenti, quindi sei in $RR^2$, i vettori sono del tipo $(x,y)$ e, come ha fatto notare fmnq, è la stessa cosa che dire che sono del tipo $(x,y,0)$.
Nel caso generale in cui entrambi i vettori hanno tutte le componenti non nulle, il prodotto vettoriale tra $veca$ e $vecb$ (vedi (2)), si ricava dal "determinante formale" della seguente matrice:
Se non sai cosa sono le matrici e quindi non hai idea di cosa sto parlando, ti basti sapere che la scrittura precedente si risolve semplicemente come:
Il motivo per cui la Definizione (1) è preferibile alla scrittura (3) è che la prima è valida a prescindere dal Sistema di Riferimento utilizzato, mentre la seconda (evidentemente!) no, malgrado quest'ultima possa essere più utile in alcune situazioni. Senza tirare in ballo coseni direttori ed altre amenità ti dico che si può dimostrare che le due scritture sono equivalenti, quindi poi scegliere quella che ti fa più comodo a seconda di cosa stai facendo.
Ti ho scritto tutto questo pippotto per cercare di darti una (moooolto limitata) panoramica sul'argomento, lascia perdere le "formule" magiche: non serve a niente saper calcolare un prodotto vettoriale senza sapere cosa effettivamente è un prodotto vettoriale! Molto più utile è invece conoscere l'argomento in questione (definizioni, proprietà ecc.) in modo che con un paio di semplici ragionamenti si può risolvere il problema in maniera efficace (nel caso del primo post, non c'è bisogno né di una formulaccia come la (3) e nemmeno che il testo ti dica che il prodotto dei due vettori giaccia sull'asse $z$!).
Spero che ti sia stato utile, scrivi pure i tuoi dubbi e in bocca al lupo con i tuoi studi
Dico così perché quando scrivi:
"Dlofud":
non sapevo che perché il vettore risultante appartenesse all'asse Z i due vettori dovessero giacere su un piano ad essa ortogonale
si capisce che non hai ben presente nemmeno la definizione di prodotto vettoriale, poiché è già lì che risiede quella informazione. Tale definizione si dà spesso come segue:
Definizione: (1)
Siano $veca, vecb$ due vettori in $RR^3$, e sia $theta$ l'angolo fra essi compreso, il prodotto vettoriale tra $veca$ e $vecb$, $vecc=veca \times vecb$ è dato dal vettore perpendicolare al piano su cui giacciono $veca$ e $vecb$, verso dato dalla regola della mano destra[nota]Non divago su questo, è una di quelle cose più facile a farsi che a dirsi. Comunque puoi trovare su questo stesso forum diversi thread sull'argomento.[/nota] e modulo pari a: $|vecc|= |veca||vecb|sin theta$
Probabilmente è la "formula" a cui facevi riferimento nel primo messaggio.
Esprimendo i vettori in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $(hati, hatj, hatk)$, dove ciascuna lettera indica il versore dell'asse coordinato $x$, $y$ e $z$ rispettivamente, possiamo scrivere $veca$ e $vecb$ attraverso le rispettive componenti:
\begin{cases}
\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k} \\ \vec{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k}
\end{cases} (2)
\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k} \\ \vec{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k}
\end{cases} (2)
E qui mi ricollego alla tua ultima domanda:
"Dlofud":
se i due vettori non fossero stati su piani ortogonali, quindi avessero avuto anche la terza componente non nulla, il risultato avrebbe coinvolto anche le consuete lettere i e j per indicare gli altri assi?
Prima di tutto non ha molto senso dire che i due vettori sono su piani ortogonali. Due vettori (linearmente indipendenti) determinano univocamente un piano, al quale poi il loro prodotto vettoriale è ortogonale. Nel caso del primo esercizio hai due sole componenti, quindi sei in $RR^2$, i vettori sono del tipo $(x,y)$ e, come ha fatto notare fmnq, è la stessa cosa che dire che sono del tipo $(x,y,0)$.
Nel caso generale in cui entrambi i vettori hanno tutte le componenti non nulle, il prodotto vettoriale tra $veca$ e $vecb$ (vedi (2)), si ricava dal "determinante formale" della seguente matrice:
$\vec{a} \times vec{b} =$ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}
Se non sai cosa sono le matrici e quindi non hai idea di cosa sto parlando, ti basti sapere che la scrittura precedente si risolve semplicemente come:
$veca \times vecb = (a_y b_z - b_y a_z)hati + (a_x b_z - b_x a_z)hatj + (a_x b_y - b_x a_y)hatk$ (3)
Il motivo per cui la Definizione (1) è preferibile alla scrittura (3) è che la prima è valida a prescindere dal Sistema di Riferimento utilizzato, mentre la seconda (evidentemente!) no, malgrado quest'ultima possa essere più utile in alcune situazioni. Senza tirare in ballo coseni direttori ed altre amenità ti dico che si può dimostrare che le due scritture sono equivalenti, quindi poi scegliere quella che ti fa più comodo a seconda di cosa stai facendo.
Ti ho scritto tutto questo pippotto per cercare di darti una (moooolto limitata) panoramica sul'argomento, lascia perdere le "formule" magiche: non serve a niente saper calcolare un prodotto vettoriale senza sapere cosa effettivamente è un prodotto vettoriale! Molto più utile è invece conoscere l'argomento in questione (definizioni, proprietà ecc.) in modo che con un paio di semplici ragionamenti si può risolvere il problema in maniera efficace (nel caso del primo post, non c'è bisogno né di una formulaccia come la (3) e nemmeno che il testo ti dica che il prodotto dei due vettori giaccia sull'asse $z$!).
Spero che ti sia stato utile, scrivi pure i tuoi dubbi e in bocca al lupo con i tuoi studi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo