Prodotto Vettoriale problema dei 2 corpi

[enaud84]

Salve,
stavo studiando il problema dei 2 corpi, sono giunto a questo punto:
In definitiva, l'equazione del moto relativo di m2 rispetto ad m1 è la seguente:

\(\displaystyle (\delta^2 r)/\delta t + \mu r/r^3 =0\)

Cerchiamo ora di individuare delle costanti del moto. Dalla relazione 1.3, moltiplicando vettorialmente entrambi i membri per r, si ottiene :

\(\displaystyle r \times \ddot{r} =0\)

come fa ad uscire zero? ed il secondo termine con mu che fine fà?

inoltre continua dicendo:
e quindi integrando si ottiene la costante

\(\displaystyle r \times \dot{r} =h\) <-- non si deve fare l'integrale anche di r?

grazie
scusate se ho postato nel posto sbagliato.

[enaud84]

Nessuno sà aiutarmi?

[qasw1]

"enaud84":
come fa ad uscire zero? ed il secondo termine con mu che fine fà?

Il secondo termine con mu è \( \mu \vec{r} / r^3 \), quindi è parallelo a \( \vec{r} \). Perciò il suo prodotto vettoriale con \( \vec{r} \) fa $0$ (il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è sempre $0$). Quindi a sinistra dell'uguale resta solo \( \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} \).

"enaud84":
inoltre continua dicendo:
e quindi integrando si ottiene la costante

\( \displaystyle r \times \dot{r} =h \) <-- non si deve fare l'integrale anche di r?

Prova a fare il ragionamento inverso e a derivare \( \vec{r} \times \dot{\vec{r}} \):
\( \displaystyle \frac{d}{dt} (\vec{r} \times \dot{\vec{r}}) = \dot{\vec{r}} \times \dot{\vec{r}} + \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} = 0 + \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} = \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} \)
Nota che anche in questi conti in un passaggio abbiamo usato il fatto che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è \( 0 \) (quando abbiamo calcolato \( \dot{\vec{r}} \times \dot{\vec{r}} \)).
In conclusione, la derivata rispetto al tempo di \( \vec{r} \times \dot{\vec{r}} \) è \( \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} \). Ergo, l'integrale nel tempo di \( \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} \) è \( \vec{r} \times \dot{\vec{r}} \).

In alternativa, ci arrivi anche integrando \( \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} \) per parti:
\( \displaystyle \int_{t_0}^{t_1} \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} dt = \vec{r} \times \dot{\vec{r}} \mid_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} \dot{\vec{r}} \times \dot{\vec{r}} dt = \vec{r} \times \dot{\vec{r}} \mid_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} 0 dt = \vec{r} \times \dot{\vec{r}}\mid_{t_0}^{t_1} \)

[enaud84]

grazie

[qasw1]

prego