Prodotto vettoriale
Ripetendo un pò di teoria per l'esame, mi sono imbattuto in questo prodotto vettoriale:
Detti $a, b , c $ vettori
e $|a|, |b|, |c|$ i rispettivi moduli
si verifica che:
$a x (b x c) = b(a*c)-c(a*b)$
al primo membro c'è il prodotto vettoriale, qui ci siamo.
Non riesco a capire come 'è venuto fuori' i secondo membro.
dove $(a*c)$ e $(a*b)$ sono prodotti scalari.
C'è una formula generale per questo, che io non trovo?
Grazie.
Detti $a, b , c $ vettori
e $|a|, |b|, |c|$ i rispettivi moduli
si verifica che:
$a x (b x c) = b(a*c)-c(a*b)$
al primo membro c'è il prodotto vettoriale, qui ci siamo.
Non riesco a capire come 'è venuto fuori' i secondo membro.
dove $(a*c)$ e $(a*b)$ sono prodotti scalari.
C'è una formula generale per questo, che io non trovo?
Grazie.
Risposte
Ad occhio mi sembra un pò strano... perchè il prodotto vettoriale restituisce un vettore, mentre in quel caso esce uno scalare 
sicuro che non si riferisca ad un caso speciale?
sicuro che non si riferisca ad un caso speciale?
In effetti io non riesco a capire i passaggi che si fanno per arrivare al secondo membro.
Al primo membro tutto è prodotto vettoriale
al secondo invece no, non c'entra nulla il prodotto misto? :S
Al primo membro tutto è prodotto vettoriale
al secondo invece no, non c'entra nulla il prodotto misto? :S
Ho appena notato che ho detto una cavolata, il termine al secondo membro non è uno scalare ma la differenza di due vettori, la cui norma è moltiplicata una volta per $(a*b)$ ed una volta per $(a*c)$, quindi effettivamente è possibile che quello sia il risultato
Quello è il risultato, cioè questa cosa l'ho copiata dal libro, il problema è: come arrivare a quel risultato?quali sono i passaggi?
Se conosci la notazione di Levi-Civita, puoi provare a veder qui:
http://www.matematicamente.it/forum/esercizio-sul-rotore-di-prodotto-di-vettori-t55480.html
Altrimenti, volendo, puoi verificare componente per componente la validità di quell'uguaglianza fra vettori.
Ad esempio, indicando con i pedici le componenti dei vettori, hai $(\vec b \wedge \vec c)_2 = b_3c_1-b_1c_3$ e $(\vec b \wedge \vec c)_3 = b_1c_2-c_1b_2$, dunque
$(\vec a \wedge (\vec b \wedge \vec c))_1 = a_2 (\vec b \wedge \vec c)_3 - a_3 (\vec b \wedge \vec c)_2 = a_2b_1c_2 -a_2 c_1b_2 -a_3b_3c_1+a_3b_1c_3 = b_1(a_2c_2 + a_3c_3) -c_1(a_2b_2 + a_3b_3)$
Sommando e sottraendo $a_1b_1c_1$ ottieni
$b_1(a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3) -c_1(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) = b_1 \sum_i a_i c_i - c_1 \sum_i a_i b_i = (\vec b(\vec a \cdot \vec c) - \vec c(\vec a \cdot \vec b))_1$.
http://www.matematicamente.it/forum/esercizio-sul-rotore-di-prodotto-di-vettori-t55480.html
Altrimenti, volendo, puoi verificare componente per componente la validità di quell'uguaglianza fra vettori.
Ad esempio, indicando con i pedici le componenti dei vettori, hai $(\vec b \wedge \vec c)_2 = b_3c_1-b_1c_3$ e $(\vec b \wedge \vec c)_3 = b_1c_2-c_1b_2$, dunque
$(\vec a \wedge (\vec b \wedge \vec c))_1 = a_2 (\vec b \wedge \vec c)_3 - a_3 (\vec b \wedge \vec c)_2 = a_2b_1c_2 -a_2 c_1b_2 -a_3b_3c_1+a_3b_1c_3 = b_1(a_2c_2 + a_3c_3) -c_1(a_2b_2 + a_3b_3)$
Sommando e sottraendo $a_1b_1c_1$ ottieni
$b_1(a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3) -c_1(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) = b_1 \sum_i a_i c_i - c_1 \sum_i a_i b_i = (\vec b(\vec a \cdot \vec c) - \vec c(\vec a \cdot \vec b))_1$.
Non conosco la notazione di Levi-Civita.
Avevo pensato a farlo componente per componente, ma non ricordavo come fare.
Grazie per il prezioso suggerimento.
Avevo pensato a farlo componente per componente, ma non ricordavo come fare.
Grazie per il prezioso suggerimento.
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