Procedimenti che non corrispondono? (energia elastica e forza elastica)
Ciao a tutti, stavo svolgendo il seguente:
Un lampadario di massa m = 3,0 kg è appeso a un'asta orizzontale collegata al soffitto da due molle identiche agganciate alle sue estremità. ciascuna delle molle si allunga di x = 5,0 cm rispetto alla condizione di equilibrio.
Qual'è la costante elastica delle molle se la massa dell'asta è trascurabile?
La forza peso può essere distribuita per ogni molla quindi:
$ F = mg/2 $
$ k = F/x = mg/(2x) $
Perché applicando la conservazione dell' energia non torna invece?
L'energia per abbassare il lampadario:
$ E = mgx $
L'energia di ogni molla:
$ Ee = kx^2/2 $
L'energia di due molle $ E = 2Ee = kx^2 $
Quindi uguagliando l'energia necessaria per allungare le due molle e quella per spostare il lampadario:
$ mgx = kx^2 $
$ k = mg/x $
Manca un due, cosa trascuro? Grazie
Un lampadario di massa m = 3,0 kg è appeso a un'asta orizzontale collegata al soffitto da due molle identiche agganciate alle sue estremità. ciascuna delle molle si allunga di x = 5,0 cm rispetto alla condizione di equilibrio.
Qual'è la costante elastica delle molle se la massa dell'asta è trascurabile?
La forza peso può essere distribuita per ogni molla quindi:
$ F = mg/2 $
$ k = F/x = mg/(2x) $
Perché applicando la conservazione dell' energia non torna invece?
L'energia per abbassare il lampadario:
$ E = mgx $
L'energia di ogni molla:
$ Ee = kx^2/2 $
L'energia di due molle $ E = 2Ee = kx^2 $
Quindi uguagliando l'energia necessaria per allungare le due molle e quella per spostare il lampadario:
$ mgx = kx^2 $
$ k = mg/x $
Manca un due, cosa trascuro? Grazie
Risposte
"ignorante":
cosa trascuro?
Il problema sta nel fatto che applichi mal ela conservazione dell'energia. Il ragionamento che tu fai è il seguente:
- tengo fermo il lampadario nella posizione di riposo delle molle
- lascio il lampadario
- il lampadario si abbassa fino alla posizione di equilibrio e si ferma lì
- quindi, l'energia finale del sistema (che, assumendo lo zero dell'energia potenziale gravitazionale nella posizione di equilibrio dle lampadario, è solo quella potenziale delle molle) deve uguagliare quella iniziale, che è solo quella potenziale gravitazionale
Il problema è che le cose non vanno così! Se lasci andare il lampadario, esso si mette ad oscillare intorno alla posizione di equilibrio, e quindi quando durante la discesa raggiunge la posizione di equilibrio, ci arriva con una velocità non nulla e la supera. Ne segue che se scrivi l'equazione di conservazione nell'istante in cui il lampadario passa per la posizione di equilibrio, devi aggiungere un termine per l'energia cinetica.
Se vuoi sapere come vanno le cose in dettaglio, devi risolvere l'equazione differenziale del moto del lampadario. Considerando un asse x rivolto veros il basso, si ha:
\(\displaystyle m\ddot x=mg-2kx \)
la cui soluzione generale è
\(\displaystyle x(t)=A\sin (\omega t +\phi) + \frac{mg}{2k} \)
dove le costanti arbitrarie $A$ e $\phi$ le determini tramite le condizioni iniziali
$x(t=0)=0$
$\dot x(t=0)=0$
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