Problemino probabilità e misure quantistiche
ciao l'altro giorno, mentre riflettevo su come un successione di misure (diciamo che tra una e la successica intercorre un tempo \(\displaystyle \tau \) ) su una certa osservabile possa influenzare la dinamica un sistema (per esempio uno spin 1/2 in un campo magnetico costante e uniforme lungo z), mi sono posto la seguente domanda: se gli autostati dell'osservabile che vado a misurare, diciamo la componente x dello spin \(\displaystyle S_x \) sono \(\displaystyle |\uparrow \rangle , |\downarrow \rangle \) , e se l'Hamiltoniana del sistema può essere scritta come \(\displaystyle H = - \omega \sigma_z \) , e al tempo iniziale t=0 il sistema è preparato nello stato \(\displaystyle |\uparrow \rangle \), effettuando una misura dopo ogni intervallo \(\displaystyle \tau \), quale sarà la probabilità di ottenere lo stato iniziale \(\displaystyle |\uparrow \rangle \) all'n-esima misura? c'è qualcuno che riesce a risolverlo?
Io ho trovato che tale probabilità è pari a
\(\displaystyle P_n^\uparrow =u^n+d^n+ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k+1} u^{n-k}d^{k}\)
con \(\displaystyle u=cos^2(\omega \tau) \) e \(\displaystyle d=sen^2(\omega \tau) \)
Io ho trovato che tale probabilità è pari a
\(\displaystyle P_n^\uparrow =u^n+d^n+ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k+1} u^{n-k}d^{k}\)
con \(\displaystyle u=cos^2(\omega \tau) \) e \(\displaystyle d=sen^2(\omega \tau) \)
Risposte
Se misuri allora lo stato è noto. Quindi per il calcolo della misura \(n\) bisogna tenere conto dello stato alla misura \(n-1\). I problemi quindi diventerebbero due. Il calcolo della probabilità di ottenere \(|\chi_{+}\rangle\) a partire da \(|\chi_{+}\rangle\) ed il calcolo della probabilità di ottenere \(|\chi_{+}\rangle\) a partire da \(|\chi_{-}\rangle\), sempre dopo un tempo \(\tau\). No?
io inizialmente cercavo di ottenere una formula ricorsiva del tipo \(\displaystyle P_{n+1}^\uparrow = f(P_{n}^\uparrow,P_{n}^\downarrow) =g( P_{n}^\uparrow) \) , dove \(\displaystyle g(x)=f(x,1-x) \) e \(\displaystyle P_{1}^\uparrow = u \) (mi basta solo una probabilità in quanto la somma delle due fa uno 
), ma senza successo... alla fine ho ragionato in modo diverso: per ottenere la formula che ho scritto ho osservato che la probabilità \(\displaystyle P_{n}^\uparrow \) può assumere una certa struttura se espressa solo in termini di u e d. se uno ci pensa un pò è chiaro che in \(\displaystyle P_{n}^\uparrow \) compaiono solo termini del tipo \(\displaystyle u^n d^{n-k} \) con k=0,1,...n combinati linearmente tra loro mediante dei coefficienti... il problema si riduce a determinare questi coeff. io per ottenere tali coeff ho osservato che la situazione può essere descritta con una specie di grafico ad albero, che parte da un vertice rappresentante lo stato iniziale, e con una cascata di diramazioni, le quali possono essere "ricondotti a livelli" in cui avviene la misurazione n-esima, cerco di essere più chiaro,(visto che non posso mettere l'immagine) al livello zero ho il solo vertice iniziale, al primo livello ho due vertici che corrispondono ai due possibili risultati della prima misura, al secondo quattro vertici, e così via fino all'nesimo che contiene 2^n vertici (un vertice rappresenta uno dei due stati), inoltre ad ogni ramo associo una prob u o d. ragionando in questo modo riesco ad individuare una struttura "ripetitiva" per \(\displaystyle P_{n}^\uparrow \) in termini di u e d . sicuramente ci sarà un altro modo più diretto per attaccare il problema...
), ma senza successo... alla fine ho ragionato in modo diverso: per ottenere la formula che ho scritto ho osservato che la probabilità \(\displaystyle P_{n}^\uparrow \) può assumere una certa struttura se espressa solo in termini di u e d. se uno ci pensa un pò è chiaro che in \(\displaystyle P_{n}^\uparrow \) compaiono solo termini del tipo \(\displaystyle u^n d^{n-k} \) con k=0,1,...n combinati linearmente tra loro mediante dei coefficienti... il problema si riduce a determinare questi coeff. io per ottenere tali coeff ho osservato che la situazione può essere descritta con una specie di grafico ad albero, che parte da un vertice rappresentante lo stato iniziale, e con una cascata di diramazioni, le quali possono essere "ricondotti a livelli" in cui avviene la misurazione n-esima, cerco di essere più chiaro,(visto che non posso mettere l'immagine) al livello zero ho il solo vertice iniziale, al primo livello ho due vertici che corrispondono ai due possibili risultati della prima misura, al secondo quattro vertici, e così via fino all'nesimo che contiene 2^n vertici (un vertice rappresenta uno dei due stati), inoltre ad ogni ramo associo una prob u o d. ragionando in questo modo riesco ad individuare una struttura "ripetitiva" per \(\displaystyle P_{n}^\uparrow \) in termini di u e d . sicuramente ci sarà un altro modo più diretto per attaccare il problema...
"5mrkv":
Se misuri allora lo stato è noto. Quindi per il calcolo della misura \(n\) bisogna tenere conto dello stato alla misura \(n-1\). I problemi quindi diventerebbero due. Il calcolo della probabilità di ottenere \(|\chi_{+}\rangle\) a partire da \(|\chi_{+}\rangle\) ed il calcolo della probabilità di ottenere \(|\chi_{+}\rangle\) a partire da \(|\chi_{-}\rangle\), sempre dopo un tempo \(\tau\). No?
non sono sicuro di aver capito... cmq serve anche la prob. di ottenere\(|\chi_{+}\rangle\) a partire da \(|\chi_{+}\rangle\) e a partire da \(|\chi_{-}\rangle\) sempre dopo l'intervallo di tempo. ma per ottenere queste quattro probabilità basta far evolvere il sistema considerando il relativo stato iniziale, alla fine due di queste quattro sono pari a u e due sono uguali a d...
E' che non ho capito a cosa serve la formula ricorsiva. Se durante la misurazione \(n-1\) ottengo \(\chi_{\pm}\) allora non devo fare altro che risolvere l'equazione di Schroedinger con condizione iniziale \(\chi_{\pm}\) ottenendo \(\psi\) e quindi la probabilità di ottenere nuovamente lo stesso stato è data da
\[
P(\chi_{\pm})=|\langle \chi_{\pm}|\psi \rangle|^{2}
\]
\[
P(\chi_{\pm})=|\langle \chi_{\pm}|\psi \rangle|^{2}
\]
"5mrkv":
E' che non ho capito a cosa serve la formula ricorsiva.
era il modo in cui stavo ragionando inizialmente, ma non ne ho cavato un fico secco
"5mrkv":
Se durante la misurazione \(n-1\) ottengo \(\chi_{\pm}\) allora non devo fare altro che risolvere l'equazione di Schroedinger con condizione iniziale \(\chi_{\pm}\) ottenendo \(\psi\) e quindi la probabilità di ottenere nuovamente lo stesso stato è data da
\[
P(\chi_{\pm})=|\langle \chi_{\pm}|\psi \rangle|^{2}
\]
ok è il modo corretto per ottenere le prob di avere uno stato o l'altro in seguito alla misurazione, queste non sono altro che u e d. non è tanto banale trovare la probabilità alla misura n-esima, infatti entrano in gioco due evoluzioni temporali differenti: quella descritta dall'eq. di Schrödinger e quella dovuta al processo di misurazione. io penso che un modo per ottenere la prob finale sia far evolvere ogni stato che è il risultato della misurazione, per il periodo \(\tau\), usando l'eq di Schr. ... in questo modo si ottiene un insieme di evoluzioni differenti che alla fine portano allo stesso stato \(\chi_+\) al tempo \(n \tau\), ognuna dà il suo contributo alla prob. finale ...
"zerolucat":
...e al tempo iniziale t=0 il sistema è preparato nello stato \(\displaystyle |\uparrow \rangle \), effettuando una misura dopo ogni intervallo \(\displaystyle \tau \), quale sarà la probabilità di ottenere lo stato iniziale \(\displaystyle |\uparrow \rangle \) all'n-esima misura?
Non vorrei dire una enorme stupidaggine, ma se a t=0 il sistema si trova già in un autostato, se nell'intervallo \(\displaystyle \tau \) non interviene qualcosa che ingeneri decoerenza nel sistema (ma non mi pare che sia questo il caso a giudicare dalle premesse del problema proposto), alla successiva misura il sistema si troverà ancora nello stesso autostato e quindi si troverà lo stesso autovalore. Quindi, se non c'è decoerenza, in qualsiasi misurazione successiva si otterrà sempre lo stao iniziale e quindi la probabilità cercata è banalmente 1. Ripeto che non sono certo di quanto ho detto (i miei ricordi di MQ non sono molto freschi
) ma rifletteteci e fatemi sapere
@zerolucat: Non ho mai studiato il problema della misurazione. Comunque mi sembra sia inutile la formula iterativa perché il problema è semplice.
@mathbells: Il discorso dovrebbe valere per gli autostati dell'operatore di evoluzione temporale che è l'Hamiltoniana. Essendo invariante rispetto a questa un vettore non dovrebbe variare rispetto al tempo, ma non ne ricordo la matematica. Il nostro autostato di partenza invece è associato all'operatore spin.
@mathbells: Il discorso dovrebbe valere per gli autostati dell'operatore di evoluzione temporale che è l'Hamiltoniana. Essendo invariante rispetto a questa un vettore non dovrebbe variare rispetto al tempo, ma non ne ricordo la matematica. Il nostro autostato di partenza invece è associato all'operatore spin.
"zerolucat":
se gli autostati dell'osservabile che vado a misurare, diciamo la componente x dello spin \(\displaystyle S_x \) sono \(\displaystyle |\uparrow \rangle , |\downarrow \rangle \) , e se l'Hamiltoniana del sistema può essere scritta come \(\displaystyle H = - \omega \sigma_z \) , e al tempo iniziale t=0 il sistema è preparato nello stato \(\displaystyle |\uparrow \rangle \), effettuando una misura dopo ogni intervallo \(\displaystyle \tau \), quale sarà la probabilità di ottenere lo stato iniziale \(\displaystyle |\uparrow \rangle \) all'n-esima misura?
In effetti il problema e' praticamente un problema di probabilita'. La MQ entra solo nella fase iniziale.
Fissiamo le notazioni prima:
Diagonalizzando $\sigma_x$, e definendo gli operatori di salita e discesa [tex]\sigma_\pm=\sigma_y\pm i\sigma_z[/tex], ottieni per l'Hamiltoniana:
[tex]H = -\omega\frac{\sigma_+ - \sigma_-}{2 i}[/tex]
L'operatore di evoluzione temporale per un tempo [tex]\tau[/tex] e'
[tex]U = \cos\omega\tau \cdot - \sin\omega\tau (\sigma_+-\sigma_-)[/tex]
Quindi dopo l'intervallo $\tau$ prima della misura avro' per i due autostati
[tex]|\uparrow\rangle \rightarrow \cos\omega\tau |\uparrow\rangle +\sin\omega\tau |\downarrow\rangle[/tex]
e
[tex]|\downarrow\rangle \rightarrow \cos\omega\tau |\downarrow\rangle -\sin\omega\tau |\uparrow\rangle[/tex]
Quando faccio la misura lo stato "collassera'" in uno dei due autostati dell'osservabile: in entrambi i casi si vede che la probabilita' di restare nello stato dal quale si partiva e' $u=\cos^2\omega\tau$ mentre la probabilita' di flip e' $d=\sin^2\omega\tau$ (secondo le tue notazioni).
Dopo la misura il processo riparte daccapo (evoluzione piu' misurazione). Quindi prima di ogni evoluzione lo stato e' uno dei due autostati di $\sigma_x$. Quindi hai un processo solo probabilistico. La probabilita' di ritornare dopo $n$ iterazioni nello stato iniziale e' allora la probabilita' che dopo $n$ processi "elementari" ci sia stato un numero pari di flip.
Questa dovrebbe essere data (se non ho fatto qualcosa di terribilmente sbagliato) da
[tex]\sum_l \binom{n}{2l} u^{n-2l} d^{2l}[/tex]
Volendo uno potrebbe fare i conti considerando questo un problema puramente quantistico, applicando la teoria della misura quantistica etc.; alla fine si dovrebbe riemergere dalle catacombe
con lo stesso risultato.(Nota: adesso l'ultima formula dovrebbe avere gli esponenti giusti...)
"yoshiharu":
La probabilita' di ritornare dopo $n$ iterazioni nello stato iniziale e' allora la probabilita' che dopo $n$ processi "elementari" ci sia stato un numero pari di flip.
Questa dovrebbe essere data (se non ho fatto qualcosa di terribilmente sbagliato) da
[tex]\sum_l \binom{n}{2l} u^n d^{n-2l}[/tex]
bell'intuizione!però non riesco a capire come l'hai usata per dedurre la formula finale... cioè alla misura n-esima non dovrebbero esserci in tutto [tex]2^{n-1}[/tex] modi diversi in cui si hanno un numero pari di spin flip? inoltre non capisco anche come mai hai scritto [tex]u^n[/tex]... forse hai fatto qualche errore di battitura?
"zerolucat":
inoltre non capisco anche come mai hai scritto [tex]u^n[/tex]... forse hai fatto qualche errore di battitura?
Ooops!
Ho sbagliato gli esponenti, adesso correggo subito, grazie!
"zerolucat":
bell'intuizione!però non riesco a capire come l'hai usata per dedurre la formula finale... cioè alla misura n-esima non dovrebbero esserci in tutto [tex]2^{n-1}[/tex] modi diversi in cui si hanno un numero pari di spin flip?
Il fatto e' che devi sommare tutti i modi che hanno lo stesso contributo (la stessa probabilita') per ogni termine, per cui se con $0$ flip hai ovviamente un termine che e' $u^n$, con $2$ flip hai un termine proporzionale a $u^{n-2}d^2$, e cosi' via.
Il motivo per cui hai quel coefficiente binomiale e' che devi arrangiare $2l$ spin-flip in $n$ posti diversi, in tutti i modi distinguibili, per ogni termine (cioe' per tutti i termini con lo stesso numero di flip).
ok ho rivisto il ragionamento che avevo fatto, e mi sono accorto che è sbagliato. oltre al fatto che entrano in gioco solo termini con potenze pari di d, anche i coeff. della formula che avevo scritto sono sbagliati. in realtà anch'io mi ritrovo la formula di yoshiharu! che giusto per essere pignolo riscrivo esplicitando gli estremi della somma
[tex]P_n=\sum_{l=0}^{[n/2]} \binom{n}{2l} u^{n-2l} d^{2l}[/tex]
dove [n/2] sta a indicare che va presa la parte intera di ciò che è dentro le quadre. grazie mille yoshiharu
, avevo scritto una bestialità!
[tex]P_n=\sum_{l=0}^{[n/2]} \binom{n}{2l} u^{n-2l} d^{2l}[/tex]
dove [n/2] sta a indicare che va presa la parte intera di ciò che è dentro le quadre. grazie mille yoshiharu
, avevo scritto una bestialità!
"zerolucat":
anch'io mi ritrovo la formula di yoshiharu! che giusto per essere pignolo riscrivo esplicitando gli estremi della somma
[tex]P_n=u^n+d^n+\sum_{l=1}^{[n/2]} \binom{n}{2l} u^{n-2l} d^{2l}[/tex]
dove [n/2] sta a indicare che va presa la parte intera di ciò che è dentro le quadre.
Permetti una correzione: se $n$ e' dispari il termine $d^n$ non puo' andare bene (sarebbe per un numero dispari di flip, risultante in un singolo flip globale, mentre tu rivuoi lo stesso stato di partenza), e infatti non viene generato dalla somma.
Inoltre se fai partire la sommatoria da $l=0$ invece che da $l=1$ ottieni il termine $u^n$ automaticamente, quindi puoi semplificare anche quello includendolo nella somma.
grazie mille yoshiharu
Prego!
giusto! ora la correggo
@zerolucat: scusa allora, non avevo capito la seconda parte del problema
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo