Problemino di meccanica hamiltoniana
Ciao ragazzi, volevo sapere se siete d'accordo con me per la risoluzione del seguente problema
da $dot(p) = - (del H)/(del q)$ e $dot(q) = (del H)/(del p)$ si trova l'hamiltoniana $H = (a/2)pq^2$ che è la costante del moto
risolvendo il sistema proposto si ottiene $q(t) = -2/(at + 2c_1)$ e $p(t) = c_2 (at+2c_1)^2$
quindi risulta $p = 4c_2 / q$ attraverso il quale traccio le traiettorie sullo spazio delle fasi
quindi trovo l'energia cinetica $K = 1/2 p dot(q) = (a/4)pq^2$
e il potenziale $V = H - K = (a/4)pq^2$
siccome $(del V)/(del q)$ e $(del V)/(del p)$ calcolati in (0,0) sono entrambi uguali a 0 allora vuol dire che (0,0) è una configurazione di equilibrio
ma come matrice hessiana ottengo la matrice 2x2 nulla, quindi significa che (0,0) non si può sapere se è stabile o instabile?
da $dot(p) = - (del H)/(del q)$ e $dot(q) = (del H)/(del p)$ si trova l'hamiltoniana $H = (a/2)pq^2$ che è la costante del moto
risolvendo il sistema proposto si ottiene $q(t) = -2/(at + 2c_1)$ e $p(t) = c_2 (at+2c_1)^2$
quindi risulta $p = 4c_2 / q$ attraverso il quale traccio le traiettorie sullo spazio delle fasi
quindi trovo l'energia cinetica $K = 1/2 p dot(q) = (a/4)pq^2$
e il potenziale $V = H - K = (a/4)pq^2$
siccome $(del V)/(del q)$ e $(del V)/(del p)$ calcolati in (0,0) sono entrambi uguali a 0 allora vuol dire che (0,0) è una configurazione di equilibrio
ma come matrice hessiana ottengo la matrice 2x2 nulla, quindi significa che (0,0) non si può sapere se è stabile o instabile?
Risposte
Del resto, se il potenziale è giusto, è una funzione polinomiale senza termini quadratici. Quando lo sviluppi intorno all'origine, se ti spingi fino al terzo ordine, ottieni la funzione medesima, nemmeno una approssimazione. Io ragionerei in termini di piccoli spostamenti, aiutandomi con le equazioni del moto.
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