Problemino centro di massa barca su fiume
Salve,
non riesco a risolvere il segeuente esercizio:
NB: spesso non userò le unità di misura per comodità di notazione.
"Un cane di massa $m_1=5Kg$ si trova sull estremo B di una barca di estremi $A,B$ lunga $7m$.
Il punto $A$ coincide con l'inizio della riva. La barca ha massa $m_2=21Kg$.
Il cane cammina per $2.8m$ da $B$ verso $A$.
Supponendo che non vi sia attrito tra l'acqua e la barca, calcolare la posizione finale del cane rispetto alla riva."
Il mio ragionamento:
Fissiamo una retta $x$ orientata da A verso B con origine in A.
Risulta $m\veca_{CM}=\vecF_{Int}+\vecF_{Est}=0$ perchè le uniche forze che agiscono sono interne , e quindi per la 3a legge di Newton, la loro risultante è 0.
Allora $\Rightarrow\vecV_{CM}$ è costante, e visto che valeva 0 all'inizio, varrà 0 anche dopo il movimento del cane; quindi il CM non si muove.
Ora la posizione del $CM$ all'inizio è
$r_{CM}=\frac(m_1r_1+m_2r_2)(m_1+m_2)$
e la posizione del $CM$ dopo è
$r_{CM}'=\frac(m_1r_1'+m_2r_2')(m_1+m_2)$
ma visto che $r_{CM}=r_{CM}'$ implica che
$\frac(m_1r_1+m_2r_2)(m_1+m_2)=\frac(m_1r_1'+m_2r_2')(m_1+m_2)$
$\Rightarrowm_1r_1+m_2r_2=m_1r_1'+m_2r_2'$
$\Rightarrow\frac(m_1r_1+m_2r_2-m_2r_2')(m_1)=r_1'$
sostituendo i valori
$r_1=7$ $m_1=5$ $m_2=21$
$r_2=3.5$ (il CM di B è a metà della sua lunghezza )
$r_2'=3.5+2.8=6.3$ (perchè il cane camminando sulla barca provoca lo spostamento positivo di 2.4 m di B)
risulta
$r_1'=\frac(5*7+21*3.5-21*6.3)(5)=-4.76$
Invece il risultato dovrebbe essere $+4.5$ (tra l'altro c'è quel segno meno che non riesco a spiegarmi, visto che il modulo dovrebbe essere positivo....)
Dove ho sbagliato?
Grazie a tutti!
non riesco a risolvere il segeuente esercizio:
NB: spesso non userò le unità di misura per comodità di notazione.
"Un cane di massa $m_1=5Kg$ si trova sull estremo B di una barca di estremi $A,B$ lunga $7m$.
Il punto $A$ coincide con l'inizio della riva. La barca ha massa $m_2=21Kg$.
Il cane cammina per $2.8m$ da $B$ verso $A$.
Supponendo che non vi sia attrito tra l'acqua e la barca, calcolare la posizione finale del cane rispetto alla riva."
Il mio ragionamento:
Fissiamo una retta $x$ orientata da A verso B con origine in A.
Risulta $m\veca_{CM}=\vecF_{Int}+\vecF_{Est}=0$ perchè le uniche forze che agiscono sono interne , e quindi per la 3a legge di Newton, la loro risultante è 0.
Allora $\Rightarrow\vecV_{CM}$ è costante, e visto che valeva 0 all'inizio, varrà 0 anche dopo il movimento del cane; quindi il CM non si muove.
Ora la posizione del $CM$ all'inizio è
$r_{CM}=\frac(m_1r_1+m_2r_2)(m_1+m_2)$
e la posizione del $CM$ dopo è
$r_{CM}'=\frac(m_1r_1'+m_2r_2')(m_1+m_2)$
ma visto che $r_{CM}=r_{CM}'$ implica che
$\frac(m_1r_1+m_2r_2)(m_1+m_2)=\frac(m_1r_1'+m_2r_2')(m_1+m_2)$
$\Rightarrowm_1r_1+m_2r_2=m_1r_1'+m_2r_2'$
$\Rightarrow\frac(m_1r_1+m_2r_2-m_2r_2')(m_1)=r_1'$
sostituendo i valori
$r_1=7$ $m_1=5$ $m_2=21$
$r_2=3.5$ (il CM di B è a metà della sua lunghezza )
$r_2'=3.5+2.8=6.3$ (perchè il cane camminando sulla barca provoca lo spostamento positivo di 2.4 m di B)
risulta
$r_1'=\frac(5*7+21*3.5-21*6.3)(5)=-4.76$
Invece il risultato dovrebbe essere $+4.5$ (tra l'altro c'è quel segno meno che non riesco a spiegarmi, visto che il modulo dovrebbe essere positivo....)
Dove ho sbagliato?
Grazie a tutti!
Risposte
$(m_cx_c+m_bx_b)/(m_(tot)) = cost.$ questo di fatto è quello che hai scritto, ed è giusto. Ma allora se metto un sistema di riferimento con lo 0 nel centro di massa ottengo la relazione
$(m_bx_b+m_c x_c) = 0$
$m_b x_b =-m_cx_c$
$x_b = -m_c/m_b x_c$
$x_b' = -m_c/m_b x_c'$
quindi dal momento che hai lo spostamento del cane ($x_c'$) ti ricavi lo spostamento della barca.
Adesso sai che il cane si è avvicinato di 2,8m e che la barca si è spostata di $-m_c/m_b *2,8m$
quindi ora hai la posizione del cane rispetto alla barca. A questa distanza devi aggiungere la distanza della barca dalla riva e quella sarà la distanza cercata.
Il tuo errore è dire "perchè il cane camminando sulla barca provoca lo spostamento positivo di 2.4 m di B", in realtà provoca uno spostamento di $-m_b/b_c x_c$
non preoccuparti el segno negativo, evidentemente il tuo libro avrà scelto un sistema di riferimento diverso.
$(m_bx_b+m_c x_c) = 0$
$m_b x_b =-m_cx_c$
$x_b = -m_c/m_b x_c$
$x_b' = -m_c/m_b x_c'$
quindi dal momento che hai lo spostamento del cane ($x_c'$) ti ricavi lo spostamento della barca.
Adesso sai che il cane si è avvicinato di 2,8m e che la barca si è spostata di $-m_c/m_b *2,8m$
quindi ora hai la posizione del cane rispetto alla barca. A questa distanza devi aggiungere la distanza della barca dalla riva e quella sarà la distanza cercata.
Il tuo errore è dire "perchè il cane camminando sulla barca provoca lo spostamento positivo di 2.4 m di B", in realtà provoca uno spostamento di $-m_b/b_c x_c$
non preoccuparti el segno negativo, evidentemente il tuo libro avrà scelto un sistema di riferimento diverso.
"Zkeggia":
$(m_cx_c+m_bx_b)/(m_(tot)) = cost.$ questo di fatto è quello che hai scritto
Scusami... ma non ho capito bene come arrivi a questa relazione.
Chi sono: $m_c,m_b$ e sopratutto $cos(t)$?
Ti sarei grato se potessi usare la mia notazione, almeno per chiarire come arrivi qui!
Grazie!
oooops scusami, che l'ho scritto nella mia notazione ehehe... chiariamo subito: per comodità ho scritto $m_c$ = massa del cane, $m_b$ massa della barca, e lo stesso $x_c e x_b$. cost indica semplicemente che è una costante e $m_tot$ è la massa totale. allora tu hai scritto che il centro di massa rimane fermo in quanto le forze sono tutte opposte tra loro quindi la risultante delle forze sul centro di massa è zero. Io non ho fatto altro che scrivere questa relazione, la x del centro di massa è definita come
$x_(cm)= (m_cx_c + m_bx_b)/(m_b+m_c)$ ma questa posizione è indipendente dal tempo, quindi
$(m_cx_c(t) + m_bx_b(t))/(m_b+m_c) = cost$
Questa costante dipende dalla posizione del cane e del centro di massa della barca. Possiamo fare in modo che questa posizione sia 0 all'istante iniziale, scegliendo un opportuno sisteam di riferimento. Se è zero all'istante inziale rimarrà zero durante tutto il tragitto del cane.
Per comodità ci mettiamo in un sistema di riferimento in cui il centro di massa totale è nell'origine. Questa condizione si esprime scrivendo:
$x_(cm)= (m_cx_c + m_bx_b)/(m_b+m_c) = 0 -> m_cx_c + m_bx_b=0$, dove l'ultima uguaglianza è resa legittima dal fatto che sul centro di massa non ci sono forze che non si annullino tra di loro, ovvero che rimanga fermo.
Da qui son solo calcoletti.
Una volta trovata la posizione del cane rispetto al centro di massa non ti resta che fare la somma vettoriale delle distanze: infatti la distanza del cane dalla spiaggia sarà pari alla distanza del cane dal centro di massa più (somma vettoriale, quindi attenzione ai segni) la distanza del centro di massa dalla spiaggia.
$x_(cm)= (m_cx_c + m_bx_b)/(m_b+m_c)$ ma questa posizione è indipendente dal tempo, quindi
$(m_cx_c(t) + m_bx_b(t))/(m_b+m_c) = cost$
Questa costante dipende dalla posizione del cane e del centro di massa della barca. Possiamo fare in modo che questa posizione sia 0 all'istante iniziale, scegliendo un opportuno sisteam di riferimento. Se è zero all'istante inziale rimarrà zero durante tutto il tragitto del cane.
Per comodità ci mettiamo in un sistema di riferimento in cui il centro di massa totale è nell'origine. Questa condizione si esprime scrivendo:
$x_(cm)= (m_cx_c + m_bx_b)/(m_b+m_c) = 0 -> m_cx_c + m_bx_b=0$, dove l'ultima uguaglianza è resa legittima dal fatto che sul centro di massa non ci sono forze che non si annullino tra di loro, ovvero che rimanga fermo.
Da qui son solo calcoletti.
Una volta trovata la posizione del cane rispetto al centro di massa non ti resta che fare la somma vettoriale delle distanze: infatti la distanza del cane dalla spiaggia sarà pari alla distanza del cane dal centro di massa più (somma vettoriale, quindi attenzione ai segni) la distanza del centro di massa dalla spiaggia.
Mah, guarda, "ispirato" dai tuoi consigli 
ho provato un'altro approccio, fissando il sistema di riferimento sul cane.
Ora, a parte i ragionamenti logici, questa volta il risultato mi esce "positivo", ma, curiosamente, esce sempre $4.73$ numericamente parlando, cioè uguale a prima!
Scusa se te lo chiedo, ma facendo i conti a te esce $4.5$?
No, così mi levo il dubbio e vado avanti....
ho provato un'altro approccio, fissando il sistema di riferimento sul cane.
Ora, a parte i ragionamenti logici, questa volta il risultato mi esce "positivo", ma, curiosamente, esce sempre $4.73$ numericamente parlando, cioè uguale a prima!
Scusa se te lo chiedo, ma facendo i conti a te esce $4.5$?
No, così mi levo il dubbio e vado avanti....
il risultato che esce a me è $4,86$ ottenuto così:
spostamento della barca:
$(m_cx_c + m_bx_b - m_cx'_c) /m_1 = x'_b$
Sostituendo mi esce
$x'_b =4,16$
Quindi la barca si è spostata di $0,66$ in direzione del cane. Il cane si è avvicinato alla spiaggia di $7-2,8 +0,66= 4,86$
Sono sicuro che è giusto perché dalla conservazione della posizione del baricentro ottengo la relazione
$m_cx_c + m_bx_b = m_cx'_c + m_bx'_b$
da cui mi ricavo lo spostamento della barca.
Lo spostamento del cane ce l'ho e quindi so che il cane si è avvicinato di 2,8, ma così facendo la barca si è allontanata di 0,66, ovvero il cane di fatto si è avicinato di solo 2,14 e 7 -2,14 = 4,86
Non credo di aver fatto errori. Comunque l'importante è capire che se il cane si sposta di 2,8 la barca non si sposta di altrettanto, ma si sposta in relazione al fatto che il centro di massa del sistema deve rimanere fermo.
spostamento della barca:
$(m_cx_c + m_bx_b - m_cx'_c) /m_1 = x'_b$
Sostituendo mi esce
$x'_b =4,16$
Quindi la barca si è spostata di $0,66$ in direzione del cane. Il cane si è avvicinato alla spiaggia di $7-2,8 +0,66= 4,86$
Sono sicuro che è giusto perché dalla conservazione della posizione del baricentro ottengo la relazione
$m_cx_c + m_bx_b = m_cx'_c + m_bx'_b$
da cui mi ricavo lo spostamento della barca.
Lo spostamento del cane ce l'ho e quindi so che il cane si è avvicinato di 2,8, ma così facendo la barca si è allontanata di 0,66, ovvero il cane di fatto si è avicinato di solo 2,14 e 7 -2,14 = 4,86
Non credo di aver fatto errori. Comunque l'importante è capire che se il cane si sposta di 2,8 la barca non si sposta di altrettanto, ma si sposta in relazione al fatto che il centro di massa del sistema deve rimanere fermo.
Vabbè, almeno vedo che ad entrambi non "esce" il risultato.
Mal comune mezzo gaudio
Ad ogni modo a me esce un risultato simile ma con un ragionamento un po' diverso.
Ragionamento:
Fissiamo un sistema S con l'origine nella riva ed un sistema S' con l'origine nell'estremo B della barca. Entrambi i sistemi abbiano l'asse positivo rivolto verso B.
All'inizio il centro di massa, rispetto ad S, è
$r_{cm}=\frac(m_1r_1+m_2r_2)(m_1+m_2)=4.17$
Quindi rispetto ad S' il centro di massa vale
$r_{cm}=-3.5+(4.17-3.5)=-2.83$
e le altre posizioni (prima che il cane si muova) sono, rispetto ad S',
$r_1=0$ pos. cane
$r_2=-3.5$ pos. barca
Dopo che il cane si è mosso le distanze sono, rispetto ad S',
$r_1'=-2.8$ per ipotesi
$r_2'=-3.5$ perchè il sistema S' si muove con la barca e quindi la distanza tra la barca e S' non varia nel tempo
$r_{cm}'=\frac(m_1r_1'+m_2r_2')(m_1+m_2)=\frac(5(-2.8)+21(-3.5))(26)=-3.36$
quindi la posizione del cane rispetto a $r_{cm}'$ è
$3.36-2.8=0.56$ cioè il cane è "più avanti" di 0.56 rispetto al CM.
Ma visto che il CM rispetto ad S non si è mosso, la posizione finale del cane sarà (rispetto ad S)
$r_1=r_{cm}+0.56=4.17+0.56=4.73$
Ti sembra che questa volta il ragionamento sia corretto?
PS: Ti ringrazio moltissimo per il tempo che perdi a starmi appresso!!
Mal comune mezzo gaudio
Ad ogni modo a me esce un risultato simile ma con un ragionamento un po' diverso.
Ragionamento:
Fissiamo un sistema S con l'origine nella riva ed un sistema S' con l'origine nell'estremo B della barca. Entrambi i sistemi abbiano l'asse positivo rivolto verso B.
All'inizio il centro di massa, rispetto ad S, è
$r_{cm}=\frac(m_1r_1+m_2r_2)(m_1+m_2)=4.17$
Quindi rispetto ad S' il centro di massa vale
$r_{cm}=-3.5+(4.17-3.5)=-2.83$
e le altre posizioni (prima che il cane si muova) sono, rispetto ad S',
$r_1=0$ pos. cane
$r_2=-3.5$ pos. barca
Dopo che il cane si è mosso le distanze sono, rispetto ad S',
$r_1'=-2.8$ per ipotesi
$r_2'=-3.5$ perchè il sistema S' si muove con la barca e quindi la distanza tra la barca e S' non varia nel tempo
$r_{cm}'=\frac(m_1r_1'+m_2r_2')(m_1+m_2)=\frac(5(-2.8)+21(-3.5))(26)=-3.36$
quindi la posizione del cane rispetto a $r_{cm}'$ è
$3.36-2.8=0.56$ cioè il cane è "più avanti" di 0.56 rispetto al CM.
Ma visto che il CM rispetto ad S non si è mosso, la posizione finale del cane sarà (rispetto ad S)
$r_1=r_{cm}+0.56=4.17+0.56=4.73$
Ti sembra che questa volta il ragionamento sia corretto?
PS: Ti ringrazio moltissimo per il tempo che perdi a starmi appresso!!
C'è una sottilezza che non è specificata all'inizio del problema che non mi permette di dirti se il tuo ragionamento è giusto(anche se ha un errore) o se è giusto il mio. Infatti abbiamo capito due cose diverse. Siccome nel testo non è specificato non so chi dei due sia nel giusto. Infatti il cane si muove di 2,8 metri verso la riva in quale sistema di riferimento? Se si assume che il sistema di riferimento sia quello solidale alla barca allora hai ragione tu, se invece si assume con le parole "Il cane si muove di 2,8 metri vero la riva" un'espressione del tipo "Il cane farebbe 2,8 metri verso la riva se non fosse sulla barca" allora si ottiene il ragionamento mio. Il punto è che non si specifica in quale sistema di riferimento il cane si sposta di 2,8 metri verso la riva.
Infatti se il sistema di riferimento fosse quello posizionato sulla riva, allora il cane si sarebbe mosso semplicemente di $7 - 2,8 = 4,2m$ e il problema non avrebbe senso. Se come ho sempre pensato di fronte a questi problemi, lo scrivere il cane si è mosso di 2,8 metri significa "il cane prova ad avvicinarsi di 2,8 metri" allora si deve usare il mio ragionamento. Se il sistema di riferimento in cui il cane si è mosso di 2,8 metri fosse quello della barca allora il tuo ragionamento è giusto (c'è un errore di calcolo quando scrivi la posizione rispetto a $r_(cm)'$, in realtà è $3,36 - 2,83 = 0,53$, quindi la distanza finale è $4,7$).
Infatti se il sistema di riferimento fosse quello posizionato sulla riva, allora il cane si sarebbe mosso semplicemente di $7 - 2,8 = 4,2m$ e il problema non avrebbe senso. Se come ho sempre pensato di fronte a questi problemi, lo scrivere il cane si è mosso di 2,8 metri significa "il cane prova ad avvicinarsi di 2,8 metri" allora si deve usare il mio ragionamento. Se il sistema di riferimento in cui il cane si è mosso di 2,8 metri fosse quello della barca allora il tuo ragionamento è giusto (c'è un errore di calcolo quando scrivi la posizione rispetto a $r_(cm)'$, in realtà è $3,36 - 2,83 = 0,53$, quindi la distanza finale è $4,7$).
Si, per l'errore di calcolo hai ragione.
Cmq ho sempre pensato che il cane si sia mosso "rispetto alla barca".
Ecco il perchè del mio ragionamento. Il fatto è che il testo non è per nulla chiaro....quindi alla fine dipende dall'interpretazione.
Cmq ho sempre pensato che il cane si sia mosso "rispetto alla barca".
Ecco il perchè del mio ragionamento. Il fatto è che il testo non è per nulla chiaro....quindi alla fine dipende dall'interpretazione.
Che testo usi? mi sembra il tipico testo di un Rosati, ma non vorrei spararla grossa...
Cmq ti ringrazio moltissimo per la disponibilità che hai avuto!!
Il testo è
Halliday, Resnik, Krane - Fisica 1 - 5a ed. italiano
Halliday, Resnik, Krane - Fisica 1 - 5a ed. italiano
Ah ok... riflettendoci meglio comunque sono giunto alla conclusione che la tua interpretazione fosse quella più corretta, anche perché l'unico sistema di riferimento in cui il problema ha un senso è quello della barca che si sposta, quindi i tuoi ragionamenti sono giusti. Solo l'errore di scrivere che lo spostamento del cane era pari a quello della barca, mentre invece poi ti sei corretto scrivendo la giusta relazione, ovvero $m_1x_1 + m_2x_2 = m_1x_1' +m_2x_2'$
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