Probleminio di astronomia

[sant3]

Salve a tutti, mi è stato recentemente sottoposto un problema di meccanica celeste che mi ha creato un po' di difficoltà. Ho due masse m e M (nessuna è trascurabile rispetto all'altra), di raggio r e R a una distanza ∆r, inizialmente ferme. Quanto tempo impiegano per incontrarsi? Se mi scriveste anche le leggi orarie vi sarei molto grato, e non voglio esitazioni nell'usare analisi matematica.

[g171]

Da regolamento dovresti dire le tue idee di risoluzione

[baldo891]

devi risolvere un'equazione differenziale, l'equazione del moto è:
$a=-k/(\mu r^2)$
dove $\mu$ è la massa ridotta,facendo tutti i conti a me viene:
$t=sqrt(\mu/(2k)) r_0^(3/2)(\pi)/4$
dove $r_0$ è la distanza iniziale tra le due masse,
nei conti che ho fatto ho assunto le particelle come se fossero puntiformi

[mathbells]

"baldo89":devi risolvere un'equazione differenziale, l'equazione del moto è:
$ a=-k/(\mu r) $
dove $ \mu $ è la massa ridotta,facendo tutti i conti a me viene:
$ t=sqrt(\mu/(2k)) r_0^(3/2)(\pi)/4 $
dove $ r_0 $ è la distanza iniziale tra le due masse,
nei conti che ho fatto ho assunto le particelle come se fossero puntiformi

Scusa baldo89 ma non ti seguo. Suppongo che tu ti riferisca all'equazione del moto relativo tra le due masse...ma l'equazione non è quella poiché a secondo membro ci dovrebbe essere $r^2$ al denominatore e non $r$. Inoltre, quella non è una equazione integrabile analiticamente quindi non capisco quali sarebbero "i conti" che hai fatto per trovare il tempo Potresti dare qualche dettaglio?

[baldo891]

Scusa baldo89 ma non ti seguo. Suppongo che tu ti riferisca all'equazione del moto relativo tra le due masse...ma l'equazione non è quella poiché a secondo membro ci dovrebbe essere $r^2$ al denominatore e non $r$

si ovviamente hai ragione, mi sono sbagliato a scrivere al computer.. adesso modifico,
comunque nei conti che ho fatto ho ovviamente messo $r^2$ invece che $r$.

quella non è una equazione integrabile analiticamente

ti sbagli! tu pensi che sia non integrabile perchè è non lineare, tuttavia mediante un cambio di variabili del tipo
$ddot r=v (delv)/(delr)$
ti riconduci ad un'equazione del primo ordine semplice semplice
$v (delv)/(delr)=-k/(\mu r^2)$
la derivata parziale coincide con la derivata totale, solo che non sapevo come scriverla....

[hamilton2]

Ciao sant3.

Non è necessario trovare per forza l'equazione del moto.

Per il caso, più semplice, delle masse puntiformi, considera questo:

\[ T = \int_0^T dt = \int_0^{r_0} \frac{dr}v = \int_0^{r_0} dr \sqrt{ \frac{r*r_0}{2G(m_1 + m_2)(r_0-r)} } \]

Dove ho usato $v = \sqrt{2(E_0 - V(r))}$ e $E_0 = V(r_0)$

Puoi risolvere l'integrale con la sostituzione $ r = r_0 sin^2(\theta) $, ottenendo $T = \frac{\pi}{2 \sqrt(2)} \frac{r_0^{3/2}}\sqrt{G(m_1+m_2)} $

Per avere la soluzione del problema originale, cambia l'estremo d'integrazione da 0 a $r_1 + r_2$

[mathbells]

Scusa se insisto baldo89, ma per quella strada non credo si risolva il problema proposto. Con la sostituzione che proponi, dopo aver integrato, riesci a trovare la funzione $v(r)$ che altro non è che quella che si ricava (più semplicemente) dalla conservazione dell'energia. L'utente sant3 aveva chiesto il tempo necessario per arrivare allo scontro, e questo si trova con il metodo mostrato dall'utente hamilton, che in sostanza permette di trovare la funzione inversa della legge oraria $r(t)$.
Ma forse non ho ben capito tutto il tuo procedimento...se è così scusami

[hamilton2]

che in sostanza permette di trovare la funzione inversa della legge oraria $r(t)$.

Sì, praticamente sì.
Quando ho iniziato il post non speravo che l'integrale fosse fattibile anche indefinito, ma poi risolvendolo ho realizzato che si può fare, per cui in pratica (a meno di traslazioni e - forse - una riflessione nel tempo) si trova $t(r)$, che è proprio l'inversa della legge oraria.

[baldo891]

si ma siccome $v=dot r$ allora se conosci $v$ ti ricavi il tempo semplicemente facendo un altro integrale