Problemi di Termologia
1) Si vuole costruire una macchina termica frigorifera che lavori tra la temperatura ambiente $T_2 = 300 text{ K}$ e la temperatura $T_1 = 270 text{ K}$. La macchina deve prelevare ad ogni ciclo dalla sorgente fredda una quantità di calore $Q = 400 text{ kcal}$. Si calcoli:
- [*:3q7on3a5]Il massimo rendimento della macchina frigorifera che operi tra le temperature $T_1$ e $T_2$;[/*:m:3q7on3a5]
[*:3q7on3a5]Il minimo lavoro che occorre compiere perche’ la macchina descritta sia realizzabile;[/*:m:3q7on3a5]
[*:3q7on3a5]La quantità di calore ceduta all’ambiente nel caso la macchina sia reversibile.[/*:m:3q7on3a5][/list:u:3q7on3a5]
***
Ho un dubbio sul primo punto: $\eta _{max} = T_1/(T_2 - T_1) = 9$, ma non può essere, perchè $0<=\eta<=1$. Cosa sbaglio?
2) Si calcoli il rendimento del ciclo in figura (http://digilander.libero.it/danilo.mauro/images/macchine3.gif) sapendo che il fluido termodinamico è un gas perfetto biatomico, e che $V_A = 0,2 text{ m}^3$, $V_B = 0,4 text{ m}^3$, $P_A=2*10^5 text{ Pa}$, $P_D=0,8 *10^5text{ Pa}$.
***
$\eta = L/Q$, il lavoro $L$ lo determino come la somma delle aree sottese alle curve $\bar{AB}$ e $\bar{CD}$, ma come si può determinare la quantità di calore assorbito $Q$?
3) Una macchina termica reversibile scambia calore con tre sorgenti alle temperature $T2 = 600 text{ K}$, $T_1 = 450 text{ K}$, $T_0 = 350 text{ K}$. In ogni ciclo la macchina assorbe dalla sorgente alla temperatura $T_2$ la quantità di calore $Q_2 = 2 text{ kcal}$ e cede la stessa quantità di calore $Q_0$ alle sorgenti alla temperatura $T_1$ e $T_0$. Si calcoli:
- [*:3q7on3a5]La quantità di calore $Q_0$ ceduta alle sorgenti più fredde;[/*:m:3q7on3a5]
[*:3q7on3a5]Il lavoro prodotto in ogni ciclo;[/*:m:3q7on3a5]
[*:3q7on3a5]Il rendimento della macchina;[/*:m:3q7on3a5]
[*:3q7on3a5]Si rappresenti il ciclo in esame nel piano $P-V$.[/*:m:3q7on3a5][/list:u:3q7on3a5]
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I primi tre punti li ho risolti. Qual è il procedimento per svolgere il quarto?
Risposte
"Jhons":
2) Si calcoli il rendimento del ciclo in figura (http://digilander.libero.it/danilo.mauro/images/macchine3.gif) sapendo che il fluido termodinamico è un gas perfetto biatomico, e che $V_A = 0,2 text{ m}^3$, $V_B = 0,4 text{ m}^3$, $P_A=2*10^5 text{ Pa}$, $P_D=0,8 *10^5text{ Pa}$.
$\eta = L/Q$, il lavoro $L$ lo determino come la somma delle aree sottese alle curve $\bar{AB}$ e $\bar{CD}$, ma come si può determinare la quantità di calore assorbito $Q$?
Intanto, sarebbe meglio dire che il lavoro è pari alla differenza di quelle due aree, in pratica, l'area del rettangolo. Per il calcolo del calore assorbito, dovresti calcolare la variazione di energia interna lungo le trasformazioni dove il calore viene assorbito e non ceduto, quindi applicare il primo principio della termodinamica.
"speculor":
Per il calcolo del calore assorbito, dovresti calcolare la variazione di energia interna lungo le trasformazioni dove il calore viene assorbito e non ceduto, quindi applicare il primo principio della termodinamica.
Le trasformazioni in cui avviene assorbimento di calore sono $C \to D$ e $D \to A$? Quindi dici di calcolare la variazione di energia interna di queste trasformazioni? L'unico modo che mi viene in mente per calcolarle è
$\Delta U_{C \to D} = nC_V(T_D - T_C)$,
$\Delta U_{D \to A} = nC_V(T_A - T_D)$, con $C_V = 5/2 R$
Il problema è che non conosco $n$, $T_A$, $T_C$ e $T_D$.
Esistono anche le equazioni di stato. Inoltre, le trasformazioni in cui avviene assorbimento di calore sono $A \to B$ e $D \to A$.
"speculor":
Esistono anche le equazioni di stato.
è vero
! sono un beota..., quindi basta risolvere$\{(\Delta U_{A→B} = nC_V (T_B −T_A )),(P_B(V_B - V_A)=nR(T_B −T_A)):} \rArr \Delta U_{A→B}=(C_V P_B(V_B - V_A))/R$
$\{(\Delta U_{D→A} = nC_V (T_A −T_D )),(V_A(P_A - P_D)=nR(T_A −T_D)):} \rArr \Delta U_{D→A}=(C_V V_A(P_A - P_D))/R$
$Q = \Delta U + L$
$\eta = L/Q$
Giusto?
Il procedimento è corretto. Però, avevo aggiunto che le trasformazioni in cui avviene assorbimento di calore sono $A \to B$ e $D \to A$.
"speculor":
Il procedimento è corretto. Però, avevo aggiunto che le trasformazioni in cui avviene assorbimento di calore sono $A \to B$ e $D \to A$.
Si, infatti dopo l'ho corretto. Grazie mille! Hai qualche idea per gli altri problemi?
"Jhons":
1) Si vuole costruire una macchina termica frigorifera che lavori tra la temperatura ambiente $T_2 = 300 text{ K}$ e la temperatura $T_1 = 270 text{ K}$. La macchina deve prelevare ad ogni ciclo dalla sorgente fredda una quantità di calore $Q = 400 text{ kcal}$. Si calcoli:
[*:147b3mhm]Il massimo rendimento della macchina frigorifera che operi tra le temperature $T_1$ e $T_2$;[/*:m:147b3mhm]
[*:147b3mhm]Il minimo lavoro che occorre compiere perche’ la macchina descritta sia realizzabile;[/*:m:147b3mhm]
[*:147b3mhm]La quantità di calore ceduta all’ambiente nel caso la macchina sia reversibile.[/*:m:147b3mhm][/list:u:147b3mhm]
Ho un dubbio sul primo punto: $\eta _{max} = T_1/(T_2 - T_1) = 9$, ma non può essere, perchè $0<=\eta<=1$. Cosa sbaglio?
Devi considerare la macchina termica che, inversamente, corrisponde alla macchina frigorifera: $\eta _{max}=1-T_1/T_2$.
"speculor":
$\eta _{max}=1-T_1/T_2$.
Sul libro però leggo che la formula che hai scritto tu vale per macchine termiche "normali", mentre per quelle frigorifere riporta quella che ho scritto io, perchè dice che per una qualunque macchina frigorifera vale
$ |Q_1|/|L| <= T_1/(T_2 - T_1)$
"Jhons":
...ma non può essere, perchè $0<=\eta<=1$...
Al di là delle definizioni di rendimento, ne trovi diverse anche solo nell'ambito delle macchine termiche, mi sembravi stupito di ottenere qualcosa che non verificasse quella condizione. Per questo ti ho suggerito la definizione normalmente utilizzata per le macchine termiche. Onestamente, non ricordavo la definizione che hai riportato per le macchine frigorifere. Si tratta più propriamente del coefficiente di prestazione, senza ombra di dubbio una diversa definizione più appropriata per le macchine frigorifere. Per questo motivo, non bisogna stupirsi che quella condizione non sia soddisfatta. Riassumendo, possiamo fare le considerazioni che seguono.
Nel caso delle macchine termiche, il rendimento $\eta$ è definito come rapporto tra il lavoro svolto e il calore assorbito dalla sorgente a temperature maggiore. A parità di calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore, una macchina termica reale compie un lavoro inferiore rispetto ad una macchina termica ideale. Quindi:
$[L_R
Nel caso delle macchine frigorifere, il coefficiente di prestazione $c$ è definito come rapporto tra il calore assorbito dalla sorgente a temperatura minore e il lavoro assorbito. A parità di calore assorbito dalla sorgente a temperatura minore, una macchina frigorifera reale assorbe un lavoro superiore rispetto ad una macchina frigorifera ideale. Quindi:
$[L_R>L_I] rarr [Q_1/L_R
"Jhons":
3) Una macchina termica reversibile scambia calore con tre sorgenti alle temperature $T2 = 600 text{ K}$, $T_1 = 450 text{ K}$, $T_0 = 350 text{ K}$. In ogni ciclo la macchina assorbe dalla sorgente alla temperatura $T_2$ la quantità di calore $Q_2 = 2 text{ kcal}$ e cede la stessa quantità di calore $Q_0$ alle sorgenti alla temperatura $T_1$ e $T_0$. Si calcoli:
[*:3js2osa5]La quantità di calore $Q_0$ ceduta alle sorgenti più fredde;[/*:m:3js2osa5]
[*:3js2osa5]Il lavoro prodotto in ogni ciclo;[/*:m:3js2osa5]
[*:3js2osa5]Il rendimento della macchina;[/*:m:3js2osa5]
[*:3js2osa5]Si rappresenti il ciclo in esame nel piano $P-V$.[/*:m:3js2osa5][/list:u:3js2osa5]
I primi tre punti li ho risolti. Qual è il procedimento per svolgere il quarto?
Dovresti connettere le $3$ trasformazioni isoterme corrispondenti a quelle $3$ temperature con delle trasformazioni adiabatiche.
"speculor":
Si tratta più propriamente del coefficiente di prestazione, senza ombra di dubbio una diversa definizione più appropriata per le macchine frigorifere. Per questo motivo, non bisogna stupirsi che quella condizione non sia soddisfatta.
Quindi potrei applicare una delle due formule che abbiamo proposto per il rendimento di una macchina frigorifera e nel caso applicassi quella che ho proposto io non è sbagliato che venga 9. Ho capito bene?
"speculor":
Dovresti connettere le $3$ trasformazioni isoterme corrispondenti a quelle $3$ temperature con delle trasformazioni adiabatiche.
Non ho capito molto bene...
La formula che avevo proposto io, pensando che la priorità fosse avere una grandezza compresa tra zero e uno, era quella del rendimento della macchina termica che si ottiene invertendo il ciclo svolto dalla macchina frigorifera. Ma, se non viene espressamente chiesto, non ha senso. La tua formula è quella corretta, più che del rendimento si tratta del coefficiente di prestazione e non deve soddisfare quella condizione. Per quanto riguarda l'ultimo problema, per rispondere alle prime tre domande hai sicuramente applicato la seguente relazione:
$Q_1/T_1+Q_2/T_2+Q_3/T_3=0$
Essa impone che la variazione complessiva di entropia dell'ambiente sia nulla, infatti, stiamo parlando di una macchina reversibile, quella del sistema è nulla a priori essendo l'entropia una funzione di stato e la trasformazione ciclica. Questo significa che le trasformazioni di cui hai bisogno per chiudere il ciclo devono essere delle adiabatiche reversibili, infatti, esse non danno contributo alla variazione complessiva di entropia dell'ambiente e quindi continua a valere la stessa relazione di cui sopra. In pratica, hai una specie di ciclo di Carnot formato da $3$ isoterme e $3$ adiabatiche reversibili. Non ho pensato al numero di modi con i quali puoi chiudere il ciclo, prova e magari ne riparliamo.
$Q_1/T_1+Q_2/T_2+Q_3/T_3=0$
Essa impone che la variazione complessiva di entropia dell'ambiente sia nulla, infatti, stiamo parlando di una macchina reversibile, quella del sistema è nulla a priori essendo l'entropia una funzione di stato e la trasformazione ciclica. Questo significa che le trasformazioni di cui hai bisogno per chiudere il ciclo devono essere delle adiabatiche reversibili, infatti, esse non danno contributo alla variazione complessiva di entropia dell'ambiente e quindi continua a valere la stessa relazione di cui sopra. In pratica, hai una specie di ciclo di Carnot formato da $3$ isoterme e $3$ adiabatiche reversibili. Non ho pensato al numero di modi con i quali puoi chiudere il ciclo, prova e magari ne riparliamo.
"speculor":
In pratica, hai una specie di ciclo di Carnot formato da $3$ isoterme e $3$ adiabatiche reversibili.
Ho capito
, garzie mille... non credo che il problema richieda una rappresentazione precisa, credo la richieda abbastanza qualitativa... secondo te?
"Jhons":
3) Una macchina termica reversibile...
[*:38pn0j57]...[/*:m:38pn0j57]
[*:38pn0j57]...[/*:m:38pn0j57]
[*:38pn0j57]...[/*:m:38pn0j57]
[*:38pn0j57]Si rappresenti il ciclo in esame nel piano $P-V$.[/*:m:38pn0j57][/list:u:38pn0j57]
La domanda è chiara, devi farne una rappresentazione grafica.
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