Problemi di Meccanica
Rispolverando un po' di Fisica, mi sono accorto di bloccarmi su alcuni fatti credo piuttosto semplici.
Propongo i problemi sperando qualcuno mi aiuti a sbloccarmi.
Problemi:
1. Un pendolo di lunghezza $l$ è posto su una piattaforma rotante col punto di sospensione ad una distanza $d$ dal centro di rotazione.
Trascurando la resistenza dell'aria, calcolare:
[list=a][*:u6rgilt8]il periodo $T_0$ delle piccole oscillazioni del pendolo quando la piattaforma è ferma;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]la pendenza $\theta$ del filo rispetto alla verticale quando la piattaforma ruota con frequenza \(\nu\) ed il pendolo è in equilibrio rispetto al sistema di riferimento solidale con la piattaforma (il calcolo può richiedere approssimazioni);
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]il periodo $T$ delle piccole oscillazioni del pendolo quando la piattaforma è in rotazione trascurando la forza di Coriolis;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]una stima del valore massimo della forza di Coriolis; confrontare tale stima con il valore della risultante delle forze di richiamo del pendolo, per stabilire se è effettivamente lecito trascurare tale forza nel calcolo precedente.[/*:m:u6rgilt8][/list:o:u6rgilt8]
2. Una sfera di raggio $r$ e massa $m$ è lasciata libera di cadere dalla sommità di un piano inclinato di lunghezza $l$ il quale forma un angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale.
Calcolare:
[list=a][*:u6rgilt8] la velocità con la quale la sfera giunge alla fine del piano;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8] il minimo valore del coefficiente di attrito statico $\mu$ tra sfera e piano inclinato affinché la sfera non slitti sul piano.[/*:m:u6rgilt8][/list:o:u6rgilt8]
3. Due corpi di masse $m
Calcolare:
[list=a][*:u6rgilt8]la velocità con la quale il blocco $M$ tocca il suolo;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]il tempo che esso impiega complessivamente per la discesa;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]la tensione del filo nel tratto orizzontale durante la discesa.[/*:m:u6rgilt8][/list:o:u6rgilt8]
Grazie a tutti.
Propongo i problemi sperando qualcuno mi aiuti a sbloccarmi.
Problemi:
1. Un pendolo di lunghezza $l$ è posto su una piattaforma rotante col punto di sospensione ad una distanza $d$ dal centro di rotazione.
Trascurando la resistenza dell'aria, calcolare:
[list=a][*:u6rgilt8]il periodo $T_0$ delle piccole oscillazioni del pendolo quando la piattaforma è ferma;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]la pendenza $\theta$ del filo rispetto alla verticale quando la piattaforma ruota con frequenza \(\nu\) ed il pendolo è in equilibrio rispetto al sistema di riferimento solidale con la piattaforma (il calcolo può richiedere approssimazioni);
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]il periodo $T$ delle piccole oscillazioni del pendolo quando la piattaforma è in rotazione trascurando la forza di Coriolis;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]una stima del valore massimo della forza di Coriolis; confrontare tale stima con il valore della risultante delle forze di richiamo del pendolo, per stabilire se è effettivamente lecito trascurare tale forza nel calcolo precedente.[/*:m:u6rgilt8][/list:o:u6rgilt8]
2. Una sfera di raggio $r$ e massa $m$ è lasciata libera di cadere dalla sommità di un piano inclinato di lunghezza $l$ il quale forma un angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale.
Calcolare:
[list=a][*:u6rgilt8] la velocità con la quale la sfera giunge alla fine del piano;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8] il minimo valore del coefficiente di attrito statico $\mu$ tra sfera e piano inclinato affinché la sfera non slitti sul piano.[/*:m:u6rgilt8][/list:o:u6rgilt8]
3. Due corpi di masse $m
Calcolare:
[list=a][*:u6rgilt8]la velocità con la quale il blocco $M$ tocca il suolo;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]il tempo che esso impiega complessivamente per la discesa;
[/*:m:u6rgilt8]
[*:u6rgilt8]la tensione del filo nel tratto orizzontale durante la discesa.[/*:m:u6rgilt8][/list:o:u6rgilt8]
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao moderatore globale 
Chiarimento : la piattaforma ruota in un piano orizzontale , ok ? Il punto di sospensione dista $d$ dal centro di rotazione. Quando ruota , il filo si inclina di $theta$ rispetto alla verticale , supponiamo $theta $ piccolo . Quindi :
nel sistema rotante, la verticale " apparente" ha la direzione del filo inclinato . Quindi, è come se l'accelerazione di gravita fosse la risultante dell'accelerazione del campo terrestre e del campo centrifugo. Nel sistema non inerziale la massa del pendolo è in quiete, quindi la forza relativa deve essere nulla, prima di innescare le oscillazioni. dunque :
$g' = sqrt(g^2 + (\omega^2r)^2) $ , dove $r = d + lsen\theta$ . Se ti fai il disegno, vedi che è la direzione del filo rotante , determinata dalla risultante di $vecP$ e $vecF_c$. Perciò il periodo delle piccole oscillazioni è :
$T' = 2\pi*sqrt(l/(g')) $ . Piú grande è $g'$ , piu piccolo è $T'$ .
d) $v_(max)$ è il modulo della velocità massima " relativa" , cioè del pendolo nel sistema rotante, col periodo $T'$ prima detto. È la velocità che ha il pendolo quando si trova nel punto " più basso" dell'oscillazione nel sistema rotante. Devi pensare il piano di oscillazione perpendicolare al piano in cui giacciono l'asse di rotazione e il filo, quindi tangente, in ogni istante, al tronco di cono descritto dal filo , sicché il segmento di tangenza è proprio il filo ; naturalmente questo piano ruota rispetto ad un oss. inerziale, ma per un oss. rotante col sistema è fermo.
Questo al fine di poter massimizzare il modulo del vettore $vecF_c = -2mvec\omega\timesvecv$ : l'angolo tra $vec\omega$ e $vec\v$ è $\pi/2$ quando il pendolo, nel momentaneo piano di oscillazione, si trova nel punto più basso dell'oscillazione . Per trovare la velocità relativa nel punto piu basso, si fa come per un pendolo in un riferimento inerziale, basta mettere $g'$ al posto di $g$.
Immagino che come "forza di richiamo " il testo intenda la forza centripeta , cioè la componente orizzontale di $vecT$ , tensione del filo.
Ora devo andare via , poi ti darò qualche altra risposta .
Continuo ( ore 23...)
Dal principio di conservazione dell'energia si ricava la velocità del CM :
$v_(CM) = sqrt ( (2gh)/(1+ I/(mR^2))) $ , in cui $I = 2/5mR^2$ è il momento d'inerzia baricentrico della sfera piena.
Detta $vecF$ la forza di attrito statico agente sulla sfera, diretta verso l'alto, le due equazioni cardinali della dinamica applicate alla sfera, proiettate sul piano inclinato, dicono :
$ma_(CM) = mgsen\theta - F $
$FR = I\alpha = Ia_(CM)/R $
dalla seconda si ricava l'accelerazione del CM , che si sostituisce nella prima . Quindi si ricava il modulo della forza di attrito :
$F = (mgsen\theta)/(1+(mR^2)/I) $
affinché la sfera non scivoli , deve essere : $F <= \mu_s*mg cos\theta$ , e quindi : $ tg\theta <= \mu_s(1+(mR^2)/I) $
da cui si può ricavare il minimo valore che deve avere il coefficiente di attrito statico $mu_s$ affinché non ci sia scivolamento.
Le formule hanno validità generale, qualunque sia il corpo che rotola : sfera piena, sfera cava (guscio sferico sottile), cilindro pieno, cilindro cavo, anello . Cambia solo il rapporto $I/(mR^2) $.
Per la sfera piena vale $2/5$, quindi deve essere : $\mu_s >=2/7tg\theta$
Continuo domani . Buona notte.
1- Un pendolo di lunghezza $l$ è posto su una piattaforma rotante col punto di sospensione ad una distanza $d$ dal centro di rotazione.
Chiarimento : la piattaforma ruota in un piano orizzontale , ok ? Il punto di sospensione dista $d$ dal centro di rotazione. Quando ruota , il filo si inclina di $theta$ rispetto alla verticale , supponiamo $theta $ piccolo . Quindi :
c)- il periodo T delle piccole oscillazioni del pendolo quando la piattaforma è in rotazione trascurando la forza di Coriolis;
nel sistema rotante, la verticale " apparente" ha la direzione del filo inclinato . Quindi, è come se l'accelerazione di gravita fosse la risultante dell'accelerazione del campo terrestre e del campo centrifugo. Nel sistema non inerziale la massa del pendolo è in quiete, quindi la forza relativa deve essere nulla, prima di innescare le oscillazioni. dunque :
$g' = sqrt(g^2 + (\omega^2r)^2) $ , dove $r = d + lsen\theta$ . Se ti fai il disegno, vedi che è la direzione del filo rotante , determinata dalla risultante di $vecP$ e $vecF_c$. Perciò il periodo delle piccole oscillazioni è :
$T' = 2\pi*sqrt(l/(g')) $ . Piú grande è $g'$ , piu piccolo è $T'$ .
d) $v_(max)$ è il modulo della velocità massima " relativa" , cioè del pendolo nel sistema rotante, col periodo $T'$ prima detto. È la velocità che ha il pendolo quando si trova nel punto " più basso" dell'oscillazione nel sistema rotante. Devi pensare il piano di oscillazione perpendicolare al piano in cui giacciono l'asse di rotazione e il filo, quindi tangente, in ogni istante, al tronco di cono descritto dal filo , sicché il segmento di tangenza è proprio il filo ; naturalmente questo piano ruota rispetto ad un oss. inerziale, ma per un oss. rotante col sistema è fermo.
Questo al fine di poter massimizzare il modulo del vettore $vecF_c = -2mvec\omega\timesvecv$ : l'angolo tra $vec\omega$ e $vec\v$ è $\pi/2$ quando il pendolo, nel momentaneo piano di oscillazione, si trova nel punto più basso dell'oscillazione . Per trovare la velocità relativa nel punto piu basso, si fa come per un pendolo in un riferimento inerziale, basta mettere $g'$ al posto di $g$.
Immagino che come "forza di richiamo " il testo intenda la forza centripeta , cioè la componente orizzontale di $vecT$ , tensione del filo.
Ora devo andare via , poi ti darò qualche altra risposta .
Continuo ( ore 23...)
2. Una sfera di raggio r e massa m è lasciata libera di cadere dalla sommità di un piano inclinato di lunghezza l il quale forma un angolo α rispetto all'orizzontale.
Calcolare:
la velocità con la quale la sfera giunge alla fine del piano;
il minimo valore del coefficiente di attrito statico μ tra sfera e piano inclinato affinché la sfera non slitti sul piano.
Dal principio di conservazione dell'energia si ricava la velocità del CM :
$v_(CM) = sqrt ( (2gh)/(1+ I/(mR^2))) $ , in cui $I = 2/5mR^2$ è il momento d'inerzia baricentrico della sfera piena.
Detta $vecF$ la forza di attrito statico agente sulla sfera, diretta verso l'alto, le due equazioni cardinali della dinamica applicate alla sfera, proiettate sul piano inclinato, dicono :
$ma_(CM) = mgsen\theta - F $
$FR = I\alpha = Ia_(CM)/R $
dalla seconda si ricava l'accelerazione del CM , che si sostituisce nella prima . Quindi si ricava il modulo della forza di attrito :
$F = (mgsen\theta)/(1+(mR^2)/I) $
affinché la sfera non scivoli , deve essere : $F <= \mu_s*mg cos\theta$ , e quindi : $ tg\theta <= \mu_s(1+(mR^2)/I) $
da cui si può ricavare il minimo valore che deve avere il coefficiente di attrito statico $mu_s$ affinché non ci sia scivolamento.
Le formule hanno validità generale, qualunque sia il corpo che rotola : sfera piena, sfera cava (guscio sferico sottile), cilindro pieno, cilindro cavo, anello . Cambia solo il rapporto $I/(mR^2) $.
Per la sfera piena vale $2/5$, quindi deve essere : $\mu_s >=2/7tg\theta$
Continuo domani . Buona notte.
3. Due corpi di masse mIl corpo m è poggiato su un piano orizzontale privo di attrito; il corpo M è sospeso verticalmente e fermo ad un'altezza h dal suolo; la carrucola ha raggio r e momento di inerzia I rispetto al suo asse.
Calcolare:
la velocità con la quale il blocco M tocca il suolo;
il tempo che esso impiega complessivamente per la discesa;
la tensione del filo nel tratto orizzontale durante la discesa.
Per il problema suddetto, in cui la carrucola ha massa e quindi momento d inerzia non trascurabile,
segnalo questa risposta .
Si può risolver anche con la conservazione dell'energia.
Non capisco che cosa vuol dire "Il corpo m è poggiato su un piano orizzontale privo di attrito" . Non importa se il piano orizzontale su cui poggia $m$ abbia o meno attrito. Quando non c'è moto relativo tra due corpi, non c'è neanche una forza d'attrito tra essi, probabilmente è un semplice trabocchetto
, che non ci impressiona . A meno che non voglia dire altro, ma occorrerebbe un chiarimento. Trovata l'accelerazione del sistema delle due masse , la massa maggiore, dal momento in cui è lasciata libera , si muove di moto uniformemente accelerato verso il basso , del tratto $h$ : basta quindi applicare le formule del moto detto, per trovare il tempo richiesto.
Neanche capisco questa richiesta :
La tensione del filo nel tratto orizzontale durante la discesa.
Non vedo tratti orizzontali qui, a meno che il filo che si attacca alla massa più piccola non abbia subito una deviazione dalla verticale all'orizzontale, per esempio passando attorno a un'altra puleggina liscia , il che spiegherebbe pure il fatto che la massa piccola è poggiata su un piano orizzontale senza attrito....
Comunque , se questo fosse il caso, la tensione nel tratto collegato alla massa piccola non cambia valore, solo direzione. Ma il testo non è chiaro al riguardo. Attendo chiarimenti.
A disposizione. Saluti .
"Shackle":
Non capisco che cosa vuol dire "Il corpo m è poggiato su un piano orizzontale privo di attrito" . Non importa se il piano orizzontale su cui poggia $m$ abbia o meno attrito. Quando non c'è moto relativo tra due corpi, non c'è neanche una forza d'attrito tra essi, probabilmente è un semplice trabocchetto
Neanche capisco questa richiesta :La tensione del filo nel tratto orizzontale durante la discesa.
Non vedo tratti orizzontali qui, a meno che il filo che si attacca alla massa più piccola non abbia subito una deviazione dalla verticale all'orizzontale, per esempio passando attorno a un'altra puleggina liscia , il che spiegherebbe pure il fatto che la massa piccola è poggiata su un piano orizzontale senza attrito....
Ma il testo non è chiaro al riguardo.
Strano. A me il testo sembra chiaro.... Non è banalmente così?
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Se è così, deve dirlo Gugo, che non ha messo alcun disegno. Io avevo inteso che i due fili fossero entrambi verticali e la massa piccola poggiasse su un piano orizzontale, il che mi sembrava strano, appunto. È più probabile che sia cosí come dici.
Ad ogni modo, il principio per la soluzione non cambia: equazioni cardinali della dinamica, oppure conservazione dell'energia. Con le eq. della dinamica:
$Ma = Mg - T_1$ (massa sospesa)
$(T_1-T_2) R = I \alpha = I a/R$ ( puleggia)
$T_2 = ma $ ( massa su piano orizzontale)
Ad ogni modo, il principio per la soluzione non cambia: equazioni cardinali della dinamica, oppure conservazione dell'energia. Con le eq. della dinamica:
$Ma = Mg - T_1$ (massa sospesa)
$(T_1-T_2) R = I \alpha = I a/R$ ( puleggia)
$T_2 = ma $ ( massa su piano orizzontale)
Per il punto C del primo esercizio, io ho percorso una strada diversa, che mi porta a una soluzione che mi sembra diversa da quella di shackle.
La propongo, e forse si puo' discutere e svilupparla meglio.
Il lavoro delle forze applicate al corpo, per una rotazione infinitesima $d theta$ attorno alla posizione di equilibrio e'
Forza peso: $dV_p=-mgLsinthetad theta$
Forza centrifuga: $dV_c=momega^2(d+Lsintheta)Lcosthetad theta$
Dal che si ottiene:
$(dV)/(d theta)=momega^2dLcostheta+momega^2L^2costhetasintheta-mgLsintheta$.
L'equilibrio si raggiunge ovviamente quando $(dV)/(d theta)=0$.
La soluzione dell'equazione porta a 4 punti di equilibrio, ma io non sono riuscito a risolverla per via analitica. Se pero' si concede l'ipotesi che il prodotto $omega^2d$ sia trascurabile (o e' lenta la piattaforma o il punto di sospensione del pendolo e' poco distante dall'asse di rotazione), possiamo scrivere:
$momega^2L^2costhetasintheta-mgLsintheta=0$
I punti di equilibrio ora sono due:
$theta_0=0$.
$costheta_1=g/(omega^2L)$.
Derivando ancora si ottiene
$(d^2V)/(d theta^2) = momega^2L^2(2cos^2theta-1)-mgLcostheta$
La soluzione con $theta_0$ e' di equilibrio se $momega^2L^2-mgL<0$, cioe' se $g>omega^2L$. (La gravita' "vince" sulla forza centrifuga e tende a richiamare il pendolo verso $theta_0$).
La linearizzazione di V intorno a $theta=0$ e':
$V=V(0)+V'(0)theta+[V''(0)theta^2]/2$. I primi due termini sono nulli, quindi
$V(theta)=[V''(0)theta^2]/2=((momega^2L^2-mgL)theta^2)/2$.
Applicando la conservazione dell'energia si giunge a scrivere $mL^2ddot theta+(mgL-momega^2L^2)theta=0$
Cioe' $ ddot theta+((g-omega^2)/L)theta=0$
rappresentativa di un moto armonico attorno a 0 di frequenza $Omega=sqrt((g-omega^2)/L)$
Ripetendo lo stesso procedimento per la posizione di equilibrio $theta_2$, si ottiene che la stabilita' e' assicurata se
$omega^2L>g$: nel punto "piu' alto" di euilibrio e' la forza centrifuga che riporta il pendolo alla posizione di equilibrio $theta_2$
Linearizzando la funzione potenziale in $theta_2$ e riapplicando la cons. dell'energia si arriva a scrivere:
$mL^2ddot theta+((momega^4L^2-mg^2)/omega^2)(theta-theta_2)=0$ che e' un moto armonico intorno a $theta_2$ di frequenza
$Omega=sqrt((omega^4L^2-g^2)/(omega^2L^2))$.
Il metodo di Shackle "pecca" perche da' per scontato che il punto di equilibrio sia vicino a $theta=0$, cosa non necessariamente vera, se non si impongono limitazioni. Nella risposta per Shacke deve essere $r=d+lsentheta=d+l theta=d$.
Il mio metodo pecca (ammesso e non concesso che sia uno svolgimento corretto) perche' per risolverlo analiticamente devo imporre quella limitazione di $omega^2d$ molto piccolo, che pero' il testo non fornisce.
Ma quello che mi lascia perplesso e' che il mio risultato su $theta=0$ sia diverso da quello di Shackle....boh. Qualcuno ci si diverta, se vuole, perche' non vedo la spiegazione e ora devo correggere un vecchio post sballato prima di andare a nanna.
La propongo, e forse si puo' discutere e svilupparla meglio.
Il lavoro delle forze applicate al corpo, per una rotazione infinitesima $d theta$ attorno alla posizione di equilibrio e'
Forza peso: $dV_p=-mgLsinthetad theta$
Forza centrifuga: $dV_c=momega^2(d+Lsintheta)Lcosthetad theta$
Dal che si ottiene:
$(dV)/(d theta)=momega^2dLcostheta+momega^2L^2costhetasintheta-mgLsintheta$.
L'equilibrio si raggiunge ovviamente quando $(dV)/(d theta)=0$.
La soluzione dell'equazione porta a 4 punti di equilibrio, ma io non sono riuscito a risolverla per via analitica. Se pero' si concede l'ipotesi che il prodotto $omega^2d$ sia trascurabile (o e' lenta la piattaforma o il punto di sospensione del pendolo e' poco distante dall'asse di rotazione), possiamo scrivere:
$momega^2L^2costhetasintheta-mgLsintheta=0$
I punti di equilibrio ora sono due:
$theta_0=0$.
$costheta_1=g/(omega^2L)$.
Derivando ancora si ottiene
$(d^2V)/(d theta^2) = momega^2L^2(2cos^2theta-1)-mgLcostheta$
La soluzione con $theta_0$ e' di equilibrio se $momega^2L^2-mgL<0$, cioe' se $g>omega^2L$. (La gravita' "vince" sulla forza centrifuga e tende a richiamare il pendolo verso $theta_0$).
La linearizzazione di V intorno a $theta=0$ e':
$V=V(0)+V'(0)theta+[V''(0)theta^2]/2$. I primi due termini sono nulli, quindi
$V(theta)=[V''(0)theta^2]/2=((momega^2L^2-mgL)theta^2)/2$.
Applicando la conservazione dell'energia si giunge a scrivere $mL^2ddot theta+(mgL-momega^2L^2)theta=0$
Cioe' $ ddot theta+((g-omega^2)/L)theta=0$
rappresentativa di un moto armonico attorno a 0 di frequenza $Omega=sqrt((g-omega^2)/L)$
Ripetendo lo stesso procedimento per la posizione di equilibrio $theta_2$, si ottiene che la stabilita' e' assicurata se
$omega^2L>g$: nel punto "piu' alto" di euilibrio e' la forza centrifuga che riporta il pendolo alla posizione di equilibrio $theta_2$
Linearizzando la funzione potenziale in $theta_2$ e riapplicando la cons. dell'energia si arriva a scrivere:
$mL^2ddot theta+((momega^4L^2-mg^2)/omega^2)(theta-theta_2)=0$ che e' un moto armonico intorno a $theta_2$ di frequenza
$Omega=sqrt((omega^4L^2-g^2)/(omega^2L^2))$.
Il metodo di Shackle "pecca" perche da' per scontato che il punto di equilibrio sia vicino a $theta=0$, cosa non necessariamente vera, se non si impongono limitazioni. Nella risposta per Shacke deve essere $r=d+lsentheta=d+l theta=d$.
Il mio metodo pecca (ammesso e non concesso che sia uno svolgimento corretto) perche' per risolverlo analiticamente devo imporre quella limitazione di $omega^2d$ molto piccolo, che pero' il testo non fornisce.
Ma quello che mi lascia perplesso e' che il mio risultato su $theta=0$ sia diverso da quello di Shackle....boh. Qualcuno ci si diverta, se vuole, perche' non vedo la spiegazione e ora devo correggere un vecchio post sballato prima di andare a nanna.
Ciao professorkappa.
Ho visto che ti sei dato molto da fare , per rispondere a Gugo sul primo problema !
Allora , faccio una prima, semplicissima considerazione : i problemini posti da Gugo sono Fisica di base , primo anno , che richiedono l'applicazione quasi automatica ( non voglio dire "pedissequa" ) dei principali teoremi fondamentali della meccanica. In sostanza, nel caso in esame, si tratta di capire che un riferimento in rotazione non è inerziale, quindi nascono forze non inerziali , che sappiamo ( o dovremmo sapere ) ben trattare :
$veca_a = veca_r + veca_t + veca_c$ , e l'analoga per le forze. Non farmi dire di che cosa si tratta , perché lo sai benissimo e perderei solo tempo a scriverle e a spiegarle . Nel forum ho visto centinaia di spiegazioni al riguardo.
Poi, tu dici che :
Non è mica vero. La mia risposta dice solo : $ r=d+lsenθ$ , che si può approssimare a $d+ l\theta$ quando l'angolo è piccolo . MA non potrà giammai diventare $r=d$ , perché questa è vera solo se la piattaforma non ruota affatto, e sulla massa pendolare non agisce la forza centrifuga . Se la piattaforma gira, il filo si inclina verso l'esterno, non ci sono santi. E al massimo l'angolo theta potrebbe "avvicinarsi" a $\pi/2$ , non raggiungerlo, perché c'è sempre la forza peso che $tira$ verso il basso, oltre alla forza centrifuga che "tira" all'infuori. Non sei d'accordo ? Chiarisco, se ce ne fosse bisogno (ma non credo che ci sia, non sei uno sprovveduto) che questo $theta$ è soltanto la posizione di equilibrio relativo del pendolo, assunta a causa della rotazione della piattaforma. Poi , il pendolo viene fatto oscillare attorno a questa posizione con una spintarella...e ho supposto che l'oscillazione avvenga non in un piano diametrale ma in un piano perpendicolare ad esso, trascurando la forza di Coriolis come suggerisce il testo.
Il mio risultato , per $theta = 0 $ , è che la piattaforma non gira, come ti ho detto prima, e quindi ....c'è solo la forza peso su $m$ .
Ciao.
Ho visto che ti sei dato molto da fare , per rispondere a Gugo sul primo problema !
Allora , faccio una prima, semplicissima considerazione : i problemini posti da Gugo sono Fisica di base , primo anno , che richiedono l'applicazione quasi automatica ( non voglio dire "pedissequa" ) dei principali teoremi fondamentali della meccanica. In sostanza, nel caso in esame, si tratta di capire che un riferimento in rotazione non è inerziale, quindi nascono forze non inerziali , che sappiamo ( o dovremmo sapere ) ben trattare :
$veca_a = veca_r + veca_t + veca_c$ , e l'analoga per le forze. Non farmi dire di che cosa si tratta , perché lo sai benissimo e perderei solo tempo a scriverle e a spiegarle . Nel forum ho visto centinaia di spiegazioni al riguardo.
Poi, tu dici che :
Il metodo di Shackle "pecca" perche da' per scontato che il punto di equilibrio sia vicino a θ=0, cosa non necessariamente vera, se non si impongono limitazioni. Nella risposta per Shacke deve essere $ r=d+lsenθ=d+lθ=d $ .
Non è mica vero. La mia risposta dice solo : $ r=d+lsenθ$ , che si può approssimare a $d+ l\theta$ quando l'angolo è piccolo . MA non potrà giammai diventare $r=d$ , perché questa è vera solo se la piattaforma non ruota affatto, e sulla massa pendolare non agisce la forza centrifuga . Se la piattaforma gira, il filo si inclina verso l'esterno, non ci sono santi. E al massimo l'angolo theta potrebbe "avvicinarsi" a $\pi/2$ , non raggiungerlo, perché c'è sempre la forza peso che $tira$ verso il basso, oltre alla forza centrifuga che "tira" all'infuori. Non sei d'accordo ? Chiarisco, se ce ne fosse bisogno (ma non credo che ci sia, non sei uno sprovveduto) che questo $theta$ è soltanto la posizione di equilibrio relativo del pendolo, assunta a causa della rotazione della piattaforma. Poi , il pendolo viene fatto oscillare attorno a questa posizione con una spintarella...e ho supposto che l'oscillazione avvenga non in un piano diametrale ma in un piano perpendicolare ad esso, trascurando la forza di Coriolis come suggerisce il testo.
Il mio metodo pecca (ammesso e non concesso che sia uno svolgimento corretto) perche' per risolverlo analiticamente devo imporre quella limitazione di $ω^2d$ molto piccolo, che pero' il testo non fornisce.
Ma quello che mi lascia perplesso e' che il mio risultato su $θ=0$ sia diverso da quello di Shackle....boh.
Il mio risultato , per $theta = 0 $ , è che la piattaforma non gira, come ti ho detto prima, e quindi ....c'è solo la forza peso su $m$ .
Ciao.
Ma non era una critica nei tuoi confronti.
Al contrario, mi sturbava vedere che il risultato tuo, che filava da un punto di vista logico, non tornava con i miei calcoli.
Quello che mi ha portato fuoristrada era il fatto che hai supposto l'angolo piccolo.
Alla luce di quanto hai scritto, non mi sembra necessario, e mi ha portato fuori strada. Il tuo ragionamento e' giusto e applicabile per qualsiasi angolo di equilibrio.
Il busillis, l'equivoco, sta nel fatto che quando hai raggiunto l'equilibrio, tu fai compiere oscillazioni ortogonali al piano rotante passante per asse di rotazione della piataforma e filo del pendolo. Le mie oscillazioni sono invece contenute su quel piano e questo spiega la diversita' di risultato.
Anche io ho trascurato coriolis: la "mia" oscillazione non esce dal piano.
Il resto lo davo per scontato, non ne ho fatto una disanima perche era la base del ragionamento.
Per chiudere, il calcolo della funzione potenziale e l'individuazione del punto a derivata nulla e la revisione della derivata seconda sono passaggi "normali" per uno studente di fisica .
Dove sono andato oltre e' stato nella linearizzazione della funzione potenziale; ma ci son stato costretto per arrivare a un risultato (o meglio per mostrare come ci arrivavo). Senza quella spiegazione, scrivere la frequenza sarebbe stato come tirare un coniglio fuori dal cappello, o dire "fidati di me, e' cosi". Quella parte e' forse un po' troppo avanzata per uno studente che studia fisica di base, ma non saprei come spiegarla altrimenti con procedimenti piu' elementari.
A bientot!
Al contrario, mi sturbava vedere che il risultato tuo, che filava da un punto di vista logico, non tornava con i miei calcoli.
Quello che mi ha portato fuoristrada era il fatto che hai supposto l'angolo piccolo.
Alla luce di quanto hai scritto, non mi sembra necessario, e mi ha portato fuori strada. Il tuo ragionamento e' giusto e applicabile per qualsiasi angolo di equilibrio.
Il busillis, l'equivoco, sta nel fatto che quando hai raggiunto l'equilibrio, tu fai compiere oscillazioni ortogonali al piano rotante passante per asse di rotazione della piataforma e filo del pendolo. Le mie oscillazioni sono invece contenute su quel piano e questo spiega la diversita' di risultato.
Anche io ho trascurato coriolis: la "mia" oscillazione non esce dal piano.
Il resto lo davo per scontato, non ne ho fatto una disanima perche era la base del ragionamento.
Per chiudere, il calcolo della funzione potenziale e l'individuazione del punto a derivata nulla e la revisione della derivata seconda sono passaggi "normali" per uno studente di fisica .
Dove sono andato oltre e' stato nella linearizzazione della funzione potenziale; ma ci son stato costretto per arrivare a un risultato (o meglio per mostrare come ci arrivavo). Senza quella spiegazione, scrivere la frequenza sarebbe stato come tirare un coniglio fuori dal cappello, o dire "fidati di me, e' cosi". Quella parte e' forse un po' troppo avanzata per uno studente che studia fisica di base, ma non saprei come spiegarla altrimenti con procedimenti piu' elementari.
A bientot!
A partire dalla posizione di equilibrio relativo, nel sistema rotante, determinata dall'angolo $theta$ , puoi mettere in oscillazione il pendolo, con una spintarella, in qualunque piano : ortogonale, coincidente, od obliquo rispetto al piano determinato dal filo e dall'asse . Penso che , qualunque sia il piano di oscillazione, la posizione "piu bassa" rispetto al punto di sospensione , e cioe' quella in cui la tensione nel filo e' uguale e contraria al peso "relativo " $vecP + vecF_c$ sia di equilibrio stabile. Cioe il pendolo tende a ritornare verso la posizione angolata come all'inizio dell'oscillazione, solo che tale posizione non e' parallela all'asse di rotazione. E dunque l'energia potenziale "relativa" deve avere un minimo in questo punto, il peso relativo deve essere parallelo al gradiente della funzione potenziale "relativa" . Ma non ci complichiamo la vita ! 
Comunque, a bientôt !
Comunque, a bientôt !
No, sorry, credo che sbagli:
L'angolo di equilibrio relativo e' quello che soddisfa la relazione:
$momega^2(d+Lsintheta)Lcostheta-mgLsintheta=0$
Esiste piu' di un angolo che soddisfa questa equazione. E per ogni soluzione trovata, la stabilita' dipendera' dalle relazioni che hanno tra loro $g$, $d$, e $omega^2L$.
Appurate queste relazioni che ci assicurano che ognuno di questi angoli sia stabile (se possibile appurarle, ovviamente, non e' detto che le posizioni di equilibrio siano stabili per forza), se la perturbazione avviene parallelamente al piano, troverai certi periodi di rotazioni, diversi per ognuno degli angoli, perche il campo centrifugo non e' costante ma varia a seconda della posizione di equilibrio.
Se invece dai una spintarella con una forza ortogonale al piano rotante, io non vedo alcuna oscillazione: la sfera comincia a girare descrivendo (per un osservatore posto nel sistema mobile, ovviamente) un cono di apertura $theta$ (indipendentemente dal fatto che $theta$ sia posizione di equilibrio stabile o meno). Non trovi?
L'angolo di equilibrio relativo e' quello che soddisfa la relazione:
$momega^2(d+Lsintheta)Lcostheta-mgLsintheta=0$
Esiste piu' di un angolo che soddisfa questa equazione. E per ogni soluzione trovata, la stabilita' dipendera' dalle relazioni che hanno tra loro $g$, $d$, e $omega^2L$.
Appurate queste relazioni che ci assicurano che ognuno di questi angoli sia stabile (se possibile appurarle, ovviamente, non e' detto che le posizioni di equilibrio siano stabili per forza), se la perturbazione avviene parallelamente al piano, troverai certi periodi di rotazioni, diversi per ognuno degli angoli, perche il campo centrifugo non e' costante ma varia a seconda della posizione di equilibrio.
Se invece dai una spintarella con una forza ortogonale al piano rotante, io non vedo alcuna oscillazione: la sfera comincia a girare descrivendo (per un osservatore posto nel sistema mobile, ovviamente) un cono di apertura $theta$ (indipendentemente dal fatto che $theta$ sia posizione di equilibrio stabile o meno). Non trovi?
Non mi sembra. Innanzitutto , nella formula che hai scritto....:
...c'è un fattore $L$ di troppo, lo puoi semplificare. Questo che segue è un esercizio trovato su un libro di Bruno Finzi ( al cui cospetto io mi inchino
...sai bene chi era ! ), le aggiunte a matita sono mie :
Fissati i valori di $omega, L , d $ , ( Finzi chiama $R$ la distanza $d$) , abbiamo questa equazione goniometrica :
$gsen\theta - omega^2(d +Lsen\theta)* cos\theta = 0 $ , da cui :
$ gsen\theta - omega^2(d +Lsen\theta)* sqrt(1-sen^2\theta) = 0$
e credo che la soluzione $theta<\pi/2$ , sia una sola, fisicamente accettabile. Non lo so, è una vita che non risolvo equazioni goniometriche. Naturalmente la soluzione deve soddisfare la semplice relazione :
$\theta = "arctg" (omega^2r)/g$
Ti ripeto, per me la posizione di equilibrio minore di 90º, soluzione dell' equazione detta, è una sola, una volta stabilita la geometria e la velocità angolare. Supponiamo pure, ora, di far oscillare il pendolo nel piano rotante: io penso che quella posizione sia di equilibrio stabile. Bisognerebbe verificarlo.
Ma penso che anche facendo oscillare il pendolo in direzione perpendicolare al piano rotante, l'osservatore posto nel sistema rotante vedrebbe delle piccole oscillazioni isocrone attorno alla posizione di equilibrio. Anche qui, bisognerebbe fare una verifica , ma francamente non me la sento.
A intuito, mi sembra di no. Ma l'intuito spesso ti frega, e quindi non mi pronuncio. Non ho voglia di approfondire il tema, o forse non lo so fare. Ma credo che Gugo abbia avuto la sua risposta.
A bientôt !
"professorkappa":
No, sorry, credo che sbagli:
L'angolo di equilibrio relativo e' quello che soddisfa la relazione:
$momega^2(d+Lsintheta)Lcostheta-mgLsintheta=0$
Esiste piu' di un angolo che soddisfa questa equazione. E per ogni soluzione trovata, la stabilita' dipendera' dalle relazioni che hanno tra loro $g$, $d$, e $omega^2L$.
...c'è un fattore $L$ di troppo, lo puoi semplificare. Questo che segue è un esercizio trovato su un libro di Bruno Finzi ( al cui cospetto io mi inchino
...sai bene chi era ! ), le aggiunte a matita sono mie : 
Fissati i valori di $omega, L , d $ , ( Finzi chiama $R$ la distanza $d$) , abbiamo questa equazione goniometrica :
$gsen\theta - omega^2(d +Lsen\theta)* cos\theta = 0 $ , da cui :
$ gsen\theta - omega^2(d +Lsen\theta)* sqrt(1-sen^2\theta) = 0$
e credo che la soluzione $theta<\pi/2$ , sia una sola, fisicamente accettabile. Non lo so, è una vita che non risolvo equazioni goniometriche. Naturalmente la soluzione deve soddisfare la semplice relazione :
$\theta = "arctg" (omega^2r)/g$
Appurate queste relazioni che ci assicurano che ognuno di questi angoli sia stabile (se possibile appurarle, ovviamente, non e' detto che le posizioni di equilibrio siano stabili per forza), se la perturbazione avviene parallelamente al piano, troverai certi periodi di rotazioni, diversi per ognuno degli angoli, perche il campo centrifugo non e' costante ma varia a seconda della posizione di equilibrio.
Ti ripeto, per me la posizione di equilibrio minore di 90º, soluzione dell' equazione detta, è una sola, una volta stabilita la geometria e la velocità angolare. Supponiamo pure, ora, di far oscillare il pendolo nel piano rotante: io penso che quella posizione sia di equilibrio stabile. Bisognerebbe verificarlo.
Ma penso che anche facendo oscillare il pendolo in direzione perpendicolare al piano rotante, l'osservatore posto nel sistema rotante vedrebbe delle piccole oscillazioni isocrone attorno alla posizione di equilibrio. Anche qui, bisognerebbe fare una verifica , ma francamente non me la sento.
Se invece dai una spintarella con una forza ortogonale al piano rotante, io non vedo alcuna oscillazione: la sfera comincia a girare descrivendo (per un osservatore posto nel sistema mobile, ovviamente) un cono di apertura $theta$ (indipendentemente dal fatto che $theta$ sia posizione di equilibrio stabile o meno). Non trovi?
A intuito, mi sembra di no. Ma l'intuito spesso ti frega, e quindi non mi pronuncio. Non ho voglia di approfondire il tema, o forse non lo so fare. Ma credo che Gugo abbia avuto la sua risposta.
A bientôt !
Non voglio appesantire la discussione, e ti manderei un messaggio privato ma mi pare che tu abbia i PM bloccati e l'argomento non ti interessi piu' di tanto. Mi preme pero' correggere alcune affermazioni che non corrispondono,
secondo me, al giusto
...c'è un fattore $L$ di troppo, lo puoi semplificare. Questo che segue è un esercizio trovato su un libro di Bruno Finzi ( al cui cospetto io mi inchino ...sai bene chi era ! ), le aggiunte a matita sono mie :
[/quote]
Si: l'ho fatto nel mio post originale! Questa cjhe ho scritto e' $[dV]/[d theta] $ (o se vuoi, l'equilibrio al momento). Da qui imponendo a 0 e semplificando il semplificabile (L prima di tutto!), si giunge all'equazione del Finzi, para para. Il che gia' mi conforta.
No, non e' semplice per nulla, perche $r$ contiene $sintheta$ quindi non e' risolvibile (o, almeno, non la so risolvere io).
Infatti, siccome appare quella maledetta quantita', e non la so risolvere nemmeno io, ho fatto il furbetto e ho fatto "sparire" quel termine, arrivando a un'equazione, (ora si, semplice!), con 2 soluzioni che rappresentano 2 diversi stati di equilibrio relativo: uno e' $theta=0$, l'altro e' $theta=arccos(g/[omega^2L])$.
Ma l'esistenza del termine $omega^2d$ implica che ci sono almeno 3 (se non 4, bisognerebbe sviluppare i calcoli, ma non mi va) posizioni di equilibrio
No, ne trovo io almeno 2 (se trascuro $omega^2d$), e sono almeno 3 ( o forse 4), se si risolve l'equazione goniometrica senza trascurare il termine noto.
Ma scusa, se hai la soluzione dell'esercizio di fronte, perche non guardi che le soluzioni di quell'equazione goniometrica? Per curiosita', quali sono? La risolve quella equazione?
E no, non e' detto che siano stabili. Dipende da come stanno tra loro $omega^2L$ e $g$.
Dati $omega$ ed $L$, tu devi guardare se $omega^2L-g$ e' maggiore o minore di 0.
Se e' $omega^2L-g<0$ allora avverranno oscillazioni attorno al punto $theta=0$
Se invece $omega^2L-g>0$ il pendolo trova l'equilibrio nell'altro punto, cioe' a $theta=arccos(g/(omega^2L))$
Ok, questo chiude l'argomento, come ho detto, ero anche riluttante a scrivere questo post, ma il periodo che trovi tu non mi sembra corretto, pero', e Gugo potrebbe avere una risposta erronea. Sempre che gli interessi, ovviamente.
secondo me, al giusto
"Shackle":
Non mi sembra. Innanzitutto , nella formula che hai scritto....:
[quote="professorkappa"]No, sorry, credo che sbagli:
L'angolo di equilibrio relativo e' quello che soddisfa la relazione:
$momega^2(d+Lsintheta)Lcostheta-mgLsintheta=0$
Esiste piu' di un angolo che soddisfa questa equazione. E per ogni soluzione trovata, la stabilita' dipendera' dalle relazioni che hanno tra loro $g$, $d$, e $omega^2L$.
...c'è un fattore $L$ di troppo, lo puoi semplificare. Questo che segue è un esercizio trovato su un libro di Bruno Finzi ( al cui cospetto io mi inchino
...sai bene chi era ! ), le aggiunte a matita sono mie : [/quote]
Si: l'ho fatto nel mio post originale! Questa cjhe ho scritto e' $[dV]/[d theta] $ (o se vuoi, l'equilibrio al momento). Da qui imponendo a 0 e semplificando il semplificabile (L prima di tutto!), si giunge all'equazione del Finzi, para para. Il che gia' mi conforta.
"Shackle":........Che e' quella che ho scritto io!
Fissati i valori di $omega, L , d $ , ( Finzi chiama $R$ la distanza $d$) , abbiamo questa equazione goniometrica :
$gsen\theta - omega^2(d +Lsen\theta)* cos\theta = 0 $ , da cui :
$ gsen\theta - omega^2(d +Lsen\theta)* sqrt(1-sen^2\theta) = 0$
"Shackle":
e credo che la soluzione $theta<\pi/2$ , sia una sola, fisicamente accettabile. Non lo so, è una vita che non risolvo equazioni goniometriche. Naturalmente la soluzione deve soddisfare la semplice relazione :
$\theta = "arctg" (omega^2r)/g$
No, non e' semplice per nulla, perche $r$ contiene $sintheta$ quindi non e' risolvibile (o, almeno, non la so risolvere io).
Infatti, siccome appare quella maledetta quantita', e non la so risolvere nemmeno io, ho fatto il furbetto e ho fatto "sparire" quel termine, arrivando a un'equazione, (ora si, semplice!), con 2 soluzioni che rappresentano 2 diversi stati di equilibrio relativo: uno e' $theta=0$, l'altro e' $theta=arccos(g/[omega^2L])$.
Ma l'esistenza del termine $omega^2d$ implica che ci sono almeno 3 (se non 4, bisognerebbe sviluppare i calcoli, ma non mi va) posizioni di equilibrio
"Shackle":
Ti ripeto, per me la posizione di equilibrio minore di 90º, soluzione dell' equazione detta, è una sola, una volta stabilita la geometria e la velocità angolare. Supponiamo pure, ora, di far oscillare il pendolo nel piano rotante: io penso che quella posizione sia di equilibrio stabile. Bisognerebbe verificarlo.
No, ne trovo io almeno 2 (se trascuro $omega^2d$), e sono almeno 3 ( o forse 4), se si risolve l'equazione goniometrica senza trascurare il termine noto.
Ma scusa, se hai la soluzione dell'esercizio di fronte, perche non guardi che le soluzioni di quell'equazione goniometrica? Per curiosita', quali sono? La risolve quella equazione?
E no, non e' detto che siano stabili. Dipende da come stanno tra loro $omega^2L$ e $g$.
Dati $omega$ ed $L$, tu devi guardare se $omega^2L-g$ e' maggiore o minore di 0.
Se e' $omega^2L-g<0$ allora avverranno oscillazioni attorno al punto $theta=0$
Se invece $omega^2L-g>0$ il pendolo trova l'equilibrio nell'altro punto, cioe' a $theta=arccos(g/(omega^2L))$
"Shackle":Scusa, ma l'ho gia' verificato! Nella direzione perpendicolare, nessuna delle forze in gioco (tensione, forza centrifuga e forza peso) fa lavoro. Per cui, dando un impulso ortogonale al foglio, il peso partira' con velocita' $v$, che si manterra' costante in modulo e tangenziale alla circonferenza "orizzontale", di raggio $Lsintheta$, con centro "all'altezza" del pendolo . Non puo' oscillare, il filo descrive un cono. Non ho carta a penna, ma a intuito succede qualcosa del genere anche se fai partire l'oscillazione su un altro piano qualsiasi. Lo faro' per sfizio, domani, non e' un calcolo difficile.
Ma penso che anche facendo oscillare il pendolo in direzione perpendicolare al piano rotante, l'osservatore posto nel sistema rotante vedrebbe delle piccole oscillazioni isocrone attorno alla posizione di equilibrio. Anche qui, bisognerebbe fare una verifica , ma francamente non me la sento.
"Shackle":
Non ho voglia di approfondire il tema, o forse non lo so fare. Ma credo che Gugo abbia avuto la sua risposta.
Ok, questo chiude l'argomento, come ho detto, ero anche riluttante a scrivere questo post, ma il periodo che trovi tu non mi sembra corretto, pero', e Gugo potrebbe avere una risposta erronea. Sempre che gli interessi, ovviamente.
Grazie a tutti.
Mi leggerò tutto con calma.
Per il pendolo, pensavo, non si potrebbero scrivere brutalmente le equazioni della dinamica e linearizzarle attorno all'equilibrio $\theta$ trovato in b?
Per chi ha bisogno di numeri, ho assegnati $\nu = 0,2 \text{ Hz}$, $r=5 \text{ m}$ ed $l=0,2\text{ m}$.
Per il terzo problema...
Strano. A me il testo sembra chiaro.... Non è banalmente così?
[/quote]
Esatto, mgrau.
Pensavo che il testo fosse abbastanza chiaro, ma evidentemente lasciava adito a qualche dubbio. Sorry.
Mi leggerò tutto con calma.
Per il pendolo, pensavo, non si potrebbero scrivere brutalmente le equazioni della dinamica e linearizzarle attorno all'equilibrio $\theta$ trovato in b?
Per chi ha bisogno di numeri, ho assegnati $\nu = 0,2 \text{ Hz}$, $r=5 \text{ m}$ ed $l=0,2\text{ m}$.
Per il terzo problema...
"mgrau":
[quote="Shackle"]
Non capisco che cosa vuol dire "Il corpo m è poggiato su un piano orizzontale privo di attrito" . Non importa se il piano orizzontale su cui poggia $m$ abbia o meno attrito. Quando non c'è moto relativo tra due corpi, non c'è neanche una forza d'attrito tra essi, probabilmente è un semplice trabocchetto
Neanche capisco questa richiesta :La tensione del filo nel tratto orizzontale durante la discesa.
Non vedo tratti orizzontali qui, a meno che il filo che si attacca alla massa più piccola non abbia subito una deviazione dalla verticale all'orizzontale, per esempio passando attorno a un'altra puleggina liscia , il che spiegherebbe pure il fatto che la massa piccola è poggiata su un piano orizzontale senza attrito....
Ma il testo non è chiaro al riguardo.
Strano. A me il testo sembra chiaro.... Non è banalmente così?
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
[/quote]Esatto, mgrau.
Pensavo che il testo fosse abbastanza chiaro, ma evidentemente lasciava adito a qualche dubbio. Sorry.
Gugo, Professorkappa,
ho provato a risolvere l'equazione goniometrica , e viene fuori una equazione di 4º grado in $sen\theta$ , per nulla facile. Quindi è vero, ci sono 4 soluzioni, a parte multipli $\theta+-2\pi$.
Si può linearizzare , certo, assumendo per piccoli angoli $ tg\theta \approx sen\theta \approx theta$ , e quindi viene fuori l'equazione :
$g\theta = \omega^2( d + L\theta) $ , che ha per soluzione l'angolo approssimato di equilibrio :
$\theta = (omega^2d)/(g-omega^2L) $
ma questo lo aveva già trovato Gugo all'inizio . Per il periodo del pendolo nel sistema rotante, non inerziale, io continuo a sostenere che si debba assumere una "verticale apparente" coincidente con la direzione del filo , e quindi una accelerazione gravitazionale apparente data da :
$g' = sqrt(g^2 + (omega^2r)^2)$
in sostanza, il campo gravitazionale reale si compone col campo di accelerazioni centrifughe, e quindi il campo risultante è quello di una $g'$ apparente , diretta come il filo rotante . Questo intendo come risposta, per me esauriente, al quesito di Gugo.
Faccio notare che , nel caso qui rappresentato ( oscillazione del pendolo nel piano rotante, velocità relativa diretta dalla parte dell'asse), la forza di Coriolis è diretta da chi guarda verso il foglio, per via del segno " $-$ " , e cambia verso quando cambia il verso di $vecv_r$ . Ma non è proprio il massimo , perché c'è il fattore $sen(\pi/2+\theta)$ , che è pure variabile .
No, professorkappa, non ho la soluzione dal libro di Finzi. L'esercizio finisce lí .
Ciao a tutti .
ho provato a risolvere l'equazione goniometrica , e viene fuori una equazione di 4º grado in $sen\theta$ , per nulla facile. Quindi è vero, ci sono 4 soluzioni, a parte multipli $\theta+-2\pi$.
Si può linearizzare , certo, assumendo per piccoli angoli $ tg\theta \approx sen\theta \approx theta$ , e quindi viene fuori l'equazione :
$g\theta = \omega^2( d + L\theta) $ , che ha per soluzione l'angolo approssimato di equilibrio :
$\theta = (omega^2d)/(g-omega^2L) $
ma questo lo aveva già trovato Gugo all'inizio . Per il periodo del pendolo nel sistema rotante, non inerziale, io continuo a sostenere che si debba assumere una "verticale apparente" coincidente con la direzione del filo , e quindi una accelerazione gravitazionale apparente data da :
$g' = sqrt(g^2 + (omega^2r)^2)$
in sostanza, il campo gravitazionale reale si compone col campo di accelerazioni centrifughe, e quindi il campo risultante è quello di una $g'$ apparente , diretta come il filo rotante . Questo intendo come risposta, per me esauriente, al quesito di Gugo.
Faccio notare che , nel caso qui rappresentato ( oscillazione del pendolo nel piano rotante, velocità relativa diretta dalla parte dell'asse), la forza di Coriolis è diretta da chi guarda verso il foglio, per via del segno " $-$ " , e cambia verso quando cambia il verso di $vecv_r$ . Ma non è proprio il massimo , perché c'è il fattore $sen(\pi/2+\theta)$ , che è pure variabile .
No, professorkappa, non ho la soluzione dal libro di Finzi. L'esercizio finisce lí .
Ciao a tutti .
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