Problemi di dinamica

[Bubo1]

Ciao a tutti! Sto svolgendo due problemi di dinamica e mi piacerebbe sapere se i risultati che ottengo sono corretti.
Sul secondo ho delle difficolta' ad interpretare le figure! Grazie a tutti!

Il primo e' questo:



Ho risolto interamente il problema ed ho ottenuto questi risultati:
a) $L_P = 58.86 J$ e $L_N = 0 J$
b) $x = 20 m$

Per il secondo, invece, ho dei problemi nel capire la figura c:



a) ho uguagliato la forza F al peso, visto che lo scalatore e' fermo ho che $F = 784 N$, poi da questa stessa uguaglianza e dai dati in figura ($H = 3 m$ e $L = 13 m$) ottengo un allungamento $d = 1/8 m$, ovvero $d = 1% L$, il che' mi sembra sensato (ho fatto questo calcolo anche se non richiesto nel punto a) appunto per capire se la misura dell'allungamento avrebbe avuto senso).

b) non capisco di quanto e' l'allungamento della corda in questo caso.

[Bubo1]

Ciao a tutti...non c'e' proprio nessuno che puo' almeno confermarmi il problema 1?
Ho pubblicato gli esercizi stamattina e sto ancora pensando al problema 2, adesso che e' ora di cena!

[mgrau]

Le risposte a) e b) vanno bene.
Il secondo lo imposterei così:
Quando lo scalatore cade, scende di $2H + d$, in questa caduta il lavoro della forza peso è $mg(2H + d)$, in forma di energia cinetica, e il corpo si ferma quando questa energia si è trasformata in energia elastica,$1/2kd^2$
Qui $k = e_k*L$.
Uguagliando le due energie, ricavi $d$ e da questa, e da $k$, ricavi la forza a cui è sottoposta la corda.

[Bubo1]

Ciao mgrau, grazie per le conferme sul problema 1.
Ora provo invece a seguire il suggerimento sul problema 2.

[Bubo1]

Ciao mgrau!

Dunque, mi esce una equazione di secondo grado:
$kd^2-2mgd-4mgH=0$ con soluzione positiva $d=9.45m$, ma se la corda e' lunga $L=13m$, possibile che si abbia un allungamento di $d/L=73%$?!

NB: $k=e/L$ nella traccia, non $k=eL$

[mgrau]

"Bubo":
$kd^2-2mgd-4mgH=0$ con soluzione positiva $d=9.45m$, ma se la corda e' lunga $L=13m$, possibile che si abbia un allungamento di $d/L=73%$?!

Possibile sì, le corde per alpinismo sono mooolto elastiche (e meno male, immagina di fare una caduta di una decina di metri, ed essere trattenuto da una corda rigida... c'è da restare tagliati in due...)

"Bubo":NB: $k=e/L$ nella traccia, non $k=eL$

Certo, mi sono confuso

[Bubo1]

ok, hai ragione e grazie mille dell'opinione!

Dunque, per il punto a) ottengo $F=ed/L=14.5kJ$.

Resta pero' il fatto che non riesco ancora a capire la figura (c) e dunque la dinamica della caduta; potresti dirmi che ne pensi?

[mgrau]

Che cosa non ti è chiaro nella figura c)? E' come la a), con misure diverse.
C'è una certa lunghezza totale della corda
C'è un chiodo ad una certa altezza
C'è lo scalatore ad una certa altezza h sopra il chiodo
Se lo scalatore cade, cade di 2h in caduta libera, poi la corda si tende, come una molla, e alla fine lo ferma dopo aver subito un certo allungamento.
Questo è il momento di massima tensione della corda, quello col massimo allungamento.
Ci sono tutti i dati per calcolarla...

[Bubo1]

Hai ragione, e' solo che non avevo capito che il disegno rappresentava la situazione prima della caduta...ora e' chiarissimo, grazie!

Ottengo $mg*2H=1/2*kd^2$, ossia $d=2*sqrt(mgH/k)=0.69m$, perche' H=1m ed L=3m.

Dunque, calcolando con F=kd la forza in entrambi i casi, ottengo

caso a): $F=14.5 kN$
caso b): $F=4.6 kN$

e concludo che nel caso b) si ha una forza elastica minore che dunque corrisponde a un rischio maggiore di rottura.

Spero sia tutto consistente, anche un valore, in questo secondo caso, del 23% per $d$ rispetto ad L.

[mgrau]

Due obiezioni:
- non è $mg*2H=1/2*kd^2$ ma $mg*(2H + d) =1/2*kd^2$ perchè lo scalatore continua a scendere di d dopo la caduta di 2H
- quando scrivi
caso a): $F=14.5 kN$
caso b): $F=4.6 kN$
pare che consideri k la stessa nei due casi, ma non è così: corda più lunga, k minore (contiene un fattore 1/L)

[Bubo1]

Si', e' vero, la formula per d e' la stessa di prima, cambiano solo i valori di H ed L, ed anche le k sono diverse nel calcolo delle forze. Ora ottengo, nel secondo caso$d=0.235m$ e per le forze:

caso a): $F=14500N =14.5kN$
caso b): $F=1600N=1.6kN$

e, come prima, concludo che nel caso b) si ha una forza elastica minore che dunque corrisponde a un rischio maggiore di rottura.

Scusami, avevo fatto un po' di confusione! Grazie mille!

[mgrau]

"Bubo":
caso a): $F=14500N =14.5kN$
caso b): $F=1600N=1.6kN$

e, come prima, concludo che nel caso b) si ha una forza elastica minore che dunque corrisponde a un rischio maggiore di rottura.

Non ho fatto i conti, ma i tuoi risultati mi convincono poco... potresti esplicitare i passaggi?

[Bubo1]

Dunque, riassumendo:

$E_f=E_i$ -> $1/2kd^2=mg(2H+d)$ -> $kd^2-2mgd-4mgH=0$

$k=e/L$ --> $ed^2-2mgLd-4mgHL=0$, ovvero $ad^2-bd-c=0$, con
$a=e=20000$, $b=2mgL$, $c=4mgHL$.

Facendo i calcoli online (vedi immagini in fondo) e prendendo le soluzioni positive, ottengo
$d_1=3.0363m$ e $d_2=0.814m$.

Dunque, posso calcolare le forze:

caso 1): $F_1=e*d_1/L_1=20000*3.0363/13N=4.67kN$
caso 2): $F_2=e*d_2/L_2=20000*0.814/3N=5.43kN$

In conclusione, il maggior rischio di rottura della corda si ha nel caso in cui si ha una forza elastica minore, ovvero nel caso 1).

Che ne pensi?

[mgrau]

"Bubo":

In conclusione, il maggior rischio di rottura della corda si ha nel caso in cui si ha una forza elastica minore, ovvero nel caso 1).

Questa conclusione non l'ho capita...

[Bubo1]

Il problema vuole sapere in quale caso si ha il rischio di rottura maggiore. Secondo me quando la forza elastica e' minore allora il filo si spezzera' piu' facilmente, dunque il rischio maggiore e' nel caso 1, poiche' $F_1

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[mgrau]

"Bubo": Secondo me quando la forza elastica e' minore allora il filo si spezzera' piu' facilmente

Ma perchè???? Quale pensi che sia la forza che rompe il filo, se non la forza elastica?

[Bubo1]

L'alpinista cade a causa della forza peso (che punta verso il basso) e tende la corda, la quale cerca di ritornare all'equilibrio opponendo una forza elastica (che punta verso l'alto): in equilibrio, forza peso e forza elastica si eguagliano, ma se la corda si spezza e l'alpinista precipita, vuol dire che a "vincere" e' la forza peso, ovvero, in altri termini, la forza elastica non e' stata sufficientemente grande da contrastare il peso dell'uomo. E' per questo che, a parita' di forza peso (l'uomo e' sempre lo stesso), e' piu' probabile che si spezzi una corda in cui la forza elastica e' bassa...

Da questo ragionamento, la forza che spezza il filo e' il peso dell'uomo...

[mgrau]

Guarda che la forza elastica che hai calcolato non è altro che la tensione della corda nel momento in cui la caduta dell'alpinista si ferma, ossia nel momento in cui il suo allungamento è massimo. Questa forza NON è il peso dell'uomo, ma è maggiore. E comunque è quella che determina se la corda tiene oppure si rompe, per cui, più è BASSA, maggiori sono le speranze...

[Bubo1]

Ok, mgrau, penso di aver capito adesso. Fondamentalmente la corda puo' sopportare una tensione, fino ad un valore limite, dettato, suppongo, dal materiale e da altre sue caratteristiche; superata questa tensione massima si ha la rottura. Di qui, la conclusione che hai lasciato intendere. Grazie ancora!