Problema Versori dipendenti da parametro

[Joe452b]

Salve a tutti ho riscontrato non poche difficoltà con questo esercizio:
dati 3 versori dipendenti da un parametro $ \lambda $ , che restano mutuamente ortogonali per ogni valore del parametro, mostrare che le derivate rispetto a $ \lambda $ dei suddetti versori sono complanari.

Ho riscontrato difficoltà sia di impostazione sia concettuali, ad esempio se la derivata di un vettore di modulo costante (in particolare un versore) è sempre ortogonale al vettore (versore) stesso, non riesco a capire come facciano le 3 derivate di una terna ortogonale a risultare poi complanari.........

Non vorrei la soluzione dell'esercizio, ma piuttosto una spiegazione riguardante la teoria generale dell'esercizio, in modo tale da riuscire a risolverlo da solo.

Grazie Mille!

[anonymous_0b37e9]

Senza partire da zero, puoi rifarti al Teorema di Poisson, del quale puoi trovare la dimostrazione anche in rete:



Insomma, i tre vettori della consegna giacciono nel piano perpendicolare a $vec\omega$.

[Shackle]

No Sergeant Elias. Il primo vettore, derivata di $\veci$ rispetto al tempo, è perpendicolare al piano determinato da $\vec\omega$ e da $ veci$ . E cosí gli altri due . Non possono essere paralleli allo stesso piano.
Io credo che il problema sia sbagliato, salvo mio errore.

[anonymous_0b37e9]

Veramente, ciò che qui interessa è che i tre vettori della consegna siano perpendicolari a $vec\omega$, ergo, giacciano nel piano perpendicolare a $vec\omega$. A quale altro vettore ognuno di essi sia rispettivamente perpendicolare è, almeno in questa sede, questione di secondaria importanza. Inoltre, è addirittura possibile interpretarli come vettori applicati nello stesso punto piuttosto che liberi. Ergo, non solo si può asserire che siano paralleli a uno stesso piano, ma anche che giacciano sullo stesso piano.

[Shackle]

Siccome io sono come S. Tommaso, ho calcolato i tre prodotti vettoriali :
$vece_1= \vec\omegatimesveci$
$vece_2= \vec\omegatimesvecj$
$vece_3= \vec\omegatimesveck$

se i tre vettori cosí calcolati sono complanari, il loro prodotto misto deve essere nullo . Il prodotto misto :

$vece_1timesvece_2*vece_3$

si calcola come determinante che ha per elementi le componenti dei tre vettori anzidetti, nell'ordine:

$ |(0,\omega_z,-\omega_y) , (-\omega_z,0,\omega_x),(\omega_y,-\omega_x,0)|$

che risulta uguale a zero . Quindi i tre vettori sono complanari , hai ragione. Però questa non è l'impostazione della soluzione del problema per il nostro amico, è solo una verifica fatta sfruttando le formule di Poisson .

Invero il testo del problema mi lascia un po' perplesso :

dati 3 versori dipendenti da un parametro λ , che restano mutuamente ortogonali per ogni valore del parametro, mostrare che le derivate rispetto a λ dei suddetti versori sono complanari.

non è specificata la "dipendenza" dei tre versori da $\lambda$ . Se per esempio i moduli fossero tre funzioni come :

$f(\lambda) = \lambda ^2$ ; $g(\lambda) =\lambda + \lambda ^3 $ ; $h(\lambda) = \lambda ^-1 $

la vedo dura ...Se avesse detto " dipendenza lineare" , del tipo : $ f(\lambda) = a*\lambda$ con a= costante ,e analoghe, allora credo che forse si sarebbe potuto arrivare a dimostrare la tesi, e a ricavare addirittura le formule di Poisson, imponendo le condizioni date , e cioè :1)modulo unitario; 2)mutua ortogonalità dei tre versori . Ma cosí, non mi pare facile.

[anonymous_0b37e9]

"Shackle":
Però questa non è l'impostazione della soluzione del problema per il nostro amico, è solo una verifica fatta sfruttando le formule di Poisson.

Questa è una tua opinione che, ovviamente, non posso condividere. Insomma, se riporti pari pari la dimostrazione del teorema di Poisson e aggiungi la semplicissima considerazione del mio primo messaggio, basta ricordare le proprietà del prodotto vettoriale e mi meraviglio che tu abbia sentito la necessità di scomodare il prodotto misto, hai, senza ombra di dubbio, almeno una soluzione del problema. Se, viceversa, sei interessato a dimostrarlo per altra via, ovviamente libero di farlo. Francamente, avendone vista passare parecchia di acqua sotto i ponti, non riesco più ad appassionarmi a queste sfide.

"Shackle":
... non è specificata la "dipendenza" dei tre versori da $\lambda$.

Ovviamente, non ha alcuna rilevanza.

[Shackle]

Ehi, sergente, qui non siamo sotto le armi, perciò fossi in te mi darei una calmata.

Non ti ho lanciato alcuna sfida, ovviamente , non mi interessano le sfide. Se tu non condividi le mie opinioni, ne prendo atto. Tieniti le tue opinioni, io mi tengo le mie,ovviamente .
Per me, hai solo portato un esempio, non hai ricavato la tesi dalle ipotesi del problema, in via generale.
Ma non interessa neanche a me! Ho fatto il prodotto misto per verificare una certa cosa, e allora?

Sto osservando questo forum da molto tempo, e mi sembra che da "forum" sia diventato dapprima un "foro" , poi talvolta un ring, poi...non so che cosa vogliamo farlo diventare... un campo di battaglia del Vietnam ?

[anonymous_0b37e9]

Non avendo altro da aggiungere, abbandono definitivamente la discussione.