Problema velocità
Una palla scende lungo un piano inclinato lungo $9m$ con un'accelerazione di $0.5m/(s^2)$.
Dopo aver raggiunto la base, la palla sale lungo un altro piano inclinato, dove, percorsi $15m$ si ferma.
a) Qual è la velocità della palla alla base del primo piano inclinato? [Ris: 3m/s]
b) Quanto tempo occorre per scendere lungo il primo piano? [Ris: 6s]
c) Qual è l'accelerazione lungo il secondo piano? [Ris: -0.3m/s^2]
d) Qual è la velocità della palla dopo i primi $8m$ lungo il secondo piano? [2.05m/s]
Li ho risolti tutti meno l'ultimo punto.
Vi ho scritto tutte le domande dato che per arrivare al risultato del punto c servivano i risultati degli altri due punti precedenti.
Di solito per questi problemi uso il sistema
$x = Vot+1/2at^2$
$Vf = (Vo)+at$
Come lo risolvo? Mica con la prima formula aggiungendoci $x - xo = Vot+1/2at^2$?
Dopo aver raggiunto la base, la palla sale lungo un altro piano inclinato, dove, percorsi $15m$ si ferma.
a) Qual è la velocità della palla alla base del primo piano inclinato? [Ris: 3m/s]
b) Quanto tempo occorre per scendere lungo il primo piano? [Ris: 6s]
c) Qual è l'accelerazione lungo il secondo piano? [Ris: -0.3m/s^2]
d) Qual è la velocità della palla dopo i primi $8m$ lungo il secondo piano? [2.05m/s]
Li ho risolti tutti meno l'ultimo punto.
Vi ho scritto tutte le domande dato che per arrivare al risultato del punto c servivano i risultati degli altri due punti precedenti.
Di solito per questi problemi uso il sistema
$x = Vot+1/2at^2$
$Vf = (Vo)+at$
Come lo risolvo? Mica con la prima formula aggiungendoci $x - xo = Vot+1/2at^2$?
Risposte
Ciao, guardiamo il punto (a): sappiamo che $$
v = v_0 + at\\ s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2
$$ Dato che lo spazio iniziale e la velocità iniziale sono nulli possiamo scrivere $$v = at\\ s = \frac{1}{2}at^2$$ Dalla seconda ricaviamo $$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$$ Lo sostituiamo nella prima e otteniamo $$v = a \sqrt{\frac{2s}{a}} = 3 \frac{m}{s}$$
Tra l'altro la penultima formula, ovvero $$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$$ è anche la risposta al punto (b).
v = v_0 + at\\ s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2
$$ Dato che lo spazio iniziale e la velocità iniziale sono nulli possiamo scrivere $$v = at\\ s = \frac{1}{2}at^2$$ Dalla seconda ricaviamo $$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$$ Lo sostituiamo nella prima e otteniamo $$v = a \sqrt{\frac{2s}{a}} = 3 \frac{m}{s}$$
Tra l'altro la penultima formula, ovvero $$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$$ è anche la risposta al punto (b).
Ah ho visto adesso che li avevi già risolti tutti tranne l'ultimo...
Allora guardiamo il (d): dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato sappiamo che $$
8 = 0 + 3t - \frac{1}{2}0.3 t^2
$$ Dalla legge delle velocità $$v = 3 - 0.3 t$$
Risolviamo la prima equazione e ricaviamo $$t \approx 3.16 s \quad \mbox{(tempo impiegato per percorrere gli 8m)}$$ Quindi lo sostituiamo nella seconda e otteniamo $$v \approx 2.05 \frac{m}{s}$$
Allora guardiamo il (d): dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato sappiamo che $$
8 = 0 + 3t - \frac{1}{2}0.3 t^2
$$ Dalla legge delle velocità $$v = 3 - 0.3 t$$
Risolviamo la prima equazione e ricaviamo $$t \approx 3.16 s \quad \mbox{(tempo impiegato per percorrere gli 8m)}$$ Quindi lo sostituiamo nella seconda e otteniamo $$v \approx 2.05 \frac{m}{s}$$
Ehm...C'ero arrivato anche io a questo punto ma non ho capito da dove è venuto fuori il $3.16$. Si riscrive la prima equazione per trovare il tempo? Com'è che verrebbe la formula? Ho provato a raccogliere la $t$ e $t^2$ ma non mi torna.
Riordinando la prima equazione si ottiene $$0.15t^2 - 3t + 8 = 0$$ che è una normale equazione di secondo grado completa, risolvibile con la "famosa" formula $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ dove $a, b, c$ sono i coefficienti dei termini. Applicando questa formula trovi le due soluzioni $$t_1 \approx 3.16s \qquad t_2 \approx 16.83s$$ dove la seconda non è accettabile in quanto renderebbe la velocità negativa (corrisponderà alla discesa successiva alla salita). In conclusione $$t \approx 3.16s$$
Ahh lol xDDD
Che figura demmerda xD
Grazie mille!
Che figura demmerda xD
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L'importante è saltarci fuori!
Ciao.
Ciao.
Altro problema
Un'auto a $54km/h$ si trova a $300m$ dal semaforo quando scatta il rosso.
Una seconda auto a $72km/h$ si trova a $500m$; frena 5s dopo la prima.
Calcolare quale delle due auto arriva prima al semaforo.
Me lo risolve così. Non ho idea da dove minchia arrivano ste formule. Sul libro non le ho o non le ho viste...
$2(a_1)x_1 = 0-V_o^2 => a1=V_10^2/(2x_1); t_1=V_10/a_1=2x_1/V_10=40s$
$x_2=x_20-v_20t_02=400-20*5=400m$
$2(-a_2)x_2=0*V_2^2 => a_2=V_20^2/(2x_2); t_2=v_20/a_2=2x_2/v_20=40s$
$V_2t=40+5=45s$
Parecchio perplesso...
Un'auto a $54km/h$ si trova a $300m$ dal semaforo quando scatta il rosso.
Una seconda auto a $72km/h$ si trova a $500m$; frena 5s dopo la prima.
Calcolare quale delle due auto arriva prima al semaforo.
Me lo risolve così. Non ho idea da dove minchia arrivano ste formule. Sul libro non le ho o non le ho viste...
$2(a_1)x_1 = 0-V_o^2 => a1=V_10^2/(2x_1); t_1=V_10/a_1=2x_1/V_10=40s$
$x_2=x_20-v_20t_02=400-20*5=400m$
$2(-a_2)x_2=0*V_2^2 => a_2=V_20^2/(2x_2); t_2=v_20/a_2=2x_2/v_20=40s$
$V_2t=40+5=45s$
Parecchio perplesso...
A me sembra che i dati siano un po' pochi. Hai controllato bene? Non ti da l'accelerazione? Le due auto stavano viaggiando a velocità costante prima di frenare? E frenano con la stessa decelerazione? Nel caso queste informazioni fossero note, la soluzione è semplice.
Si tratta di calcolare prima quanto percorre in 5 secondi l'auto che frena dopo.
Con la legge oraria del moto rettilineo uniforme si ottiene: $x=20 m/s*5s= 100m$.
Quindi prendendo come osservatore l'auto che ha frenato dopo, che chiamo $B$, si ha:
$300m=100m+15m/s *t_1 - 1/2a(t_1)^2$ per l'auto $A$;
$400m=20 m/s*t_2-1/2a(t_2)^2$ per l'auto $B$.
Isolando le $t$ ricavi quale delle due è maggiore (scartando le radici negative).
Si tratta di calcolare prima quanto percorre in 5 secondi l'auto che frena dopo.
Con la legge oraria del moto rettilineo uniforme si ottiene: $x=20 m/s*5s= 100m$.
Quindi prendendo come osservatore l'auto che ha frenato dopo, che chiamo $B$, si ha:
$300m=100m+15m/s *t_1 - 1/2a(t_1)^2$ per l'auto $A$;
$400m=20 m/s*t_2-1/2a(t_2)^2$ per l'auto $B$.
Isolando le $t$ ricavi quale delle due è maggiore (scartando le radici negative).
Aggiungo una nota sulla formula "misteriosa": si tratta della seguente $$v^2 = v_0^2 + 2as.$$ Si ricava componendo le formule $$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$ $$v = v_0 + at$$ Si ricava il tempo dalla seconda $$t = \frac{v-v_0}{a}$$ e lo si sostituisce nella prima: $$s = v_0 \frac{v-v_0}{a} + \frac{1}{2}a \frac{\left(v-v_0\right)^2}{a^2}$$ $$s = v_0 \frac{v-v_0}{a} + \frac{1}{2} \frac{\left(v-v_0\right)^2}{a}$$ $$s = \frac{\cancel{2v v_0}-2v_0^2+v^2+v_0^2-\cancel{2v v_0}}{2a}$$ $$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$$ $$v^2 = v_0^2 + 2as$$
Ah...Come sempre nelle soluzioni scrivono le formule finali senza dire da dove le prendono. Ok nessun problema allora.
Il solito sistema del moto uniformemente accelerato.
Grazie mille!
Il solito sistema del moto uniformemente accelerato.
Grazie mille!
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